1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 化为极坐标系中的累次积分为 ( )2 设 D 由直线 x=0，y=0 ，x+y=1 围成，已知= ( )（A）2（B） 0（C）（D）13 曲线积 C(x2+y2)ds，其中 c 是圆心在原点，半径为 a 的圆周，则积分值为 ( )（A）2a 2（B） a3（C） 2a3（D）4a 34 设：x 2+y2+z2=a2(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则有 ( )5 设 ( )（A）与 L 的取向无关，与 a，b 的值有关（B）与 L 的取向无关，与 a，b 的值无关（C）
2、与 L 的取向有关，与 a，b 的值有关（D）与 L 的取向有关，与 a，b 的值无关6 设是 yOz 平面上的圆域 y2+z21，则 (x4+y4+z4)dS 为 ( )二、填空题7 设 C 为闭域 D 的正向边界闭曲线，则 C( -y)dx+(xsiny2)dy 可通过 A(A 为 D 的面积)表示为 _8 向量场 A(x，3x，2y) 在点 M(x，y，z) 处的旋度 rotA=_9 空间曲线 x=3t，y=3t 2， z=2t3 从 O(0，0，0) 到 A(3，3，2)的弧长为_10 已知 F=x3i+y3j+z3k，则在点 (1，0，-1)处的 divF 为_三、解答题解答应写出文
3、字说明、证明过程或演算步骤。11 将 化为先 y，再 x，后 z 的三次积分，其中 f 为连续函数12 求函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2 在区域 x2+y2+z2z+y+z 内的平均值13 计算曲线积分 其中 L 圆周(x-1) 2+y2=2，其方向为逆时针方向13 设 f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何 x，y，t 下式成立 f(tx，ty)=t 2f(x，y)14 证明：15 设 D 是由 L：x 2+y2=4 正向一周所围成的闭区域，证明： Lf(x,y)dx=Ddivgrad f(x,y)d16 设 L 为曲线 x2+y2=R2(常数 R0)一周，n
4、为 L 的外法线方向向量，u(x，y)具有二阶连续偏导数且17 已知平面区域 D=(x，y)x 2+y21)，L 为 D 的边界正向一周证明：18 计算 的上半部分的上侧19 设 S 为平面 x-y+z=1 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 z 轴交角为锐角，f(x，y，z)连续，计算 I=S(x，y，z)+xdydz+2f(x，y，z)+ydzdx+f(x，y，z)+zdxdy20 计算 I=L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y =1 的交线，从 z 轴正向看 L，L 是逆时针方向21 在过点 O(0，0) 和
5、A(，0)的曲线族 y=asin x(a 0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小22 证明：对于曲线积分的估计式为 LPdx+QdylM，式中 l 为积分曲线段长度，并证明22 在下列区域 D 上， 是否存在原函数?若存在，求出原函数23 D：x 2+y20；24 D：y0；25 D：x026 计算 Sx2ds，其中 S 为圆柱面 x2+y2=a2 介于 z=h 和 z=h 之间的部分27 计算曲面积分 (x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中 为上半球面的上侧考研数学一（多元函数积分学
6、）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 y= 可得 x2+(y-1)2=1(y1)，所以积分区域 D 是圆x2+(y-1)21 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 C：x 2+y2=a2，周长 lC=2a， C(x2+y2)ds=Ca2ds=a2.lC=2a3【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 关于 yOz 面，zOx 面对称，当 f(x
7、，y，z)关于变量 x 或变量 y 成奇函数时， r(x，y，z)dS=0，但 f(x，y，z)=z 关于变量 x，y 都是偶函数，因此【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 因 ，故在以L 为边界的区域 D 内，有偏导数不存在的点(0，0)，可取 C 为包含原点但含于 L内部并与 L 同向的曲线，此刻在 L 与 C 所围区域 D1 上应用格林公式，当 L+C-为 D1 正向闭曲线时，取“+” 号，否则取“-” 号因 D1 上，此积分与 C 的方向即 L 的方向有关，但与 a，b 无关【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因：x=0，且 x2+y2
8、1故 Dyz：y 2+z21， ，从而【知识模块】 多元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 2A【试题解析】 因 P= 由格林公式，原式=【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 (2，1，3)【试题解析】 设向量场 A=Pi+Qj+Rk，则因 P=z，Q=3x，R=2y ，则【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 6【试题解析】 设向量场 F=Pi+Qj+Rk，则在点 M(x0，y 0，z 0)处【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 y，z 的积分区域为 D
9、yz：0y1x，0zx+y(x 视为0，1上的一个常数)，换序后 Dyz=D1D2，D 1：0zx，0y1-x；D 2：xz1,z-xy1-x，故【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 区域 x2+y2+z2x+y+z，即，其体积【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 由于 z=y=0 时，被积函数无意义，故 L 所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点(0，0)，作逆时针方向的圆周l：x=rcos， y=rsin，02，使 l 全部被 L 所包围，在 L 和 l 为边界的区域 D 内，根据格林公式，有【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学14 【正
10、确答案】 方程 f(tx，ty)=t 2f(x，y)两边对 t 求导得 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=2tf(x，y) ， 再对 t 求导得， xsf11(tx,ty)+yf12(tx，ty)+yxf“ 21(tx，ty)+yf 22(tx，ty)=2f(x， y) 于是 txtxf 11(tx,ty)+tyf12(tx，ty)+tytxf 21(tx，ty)+tyf 22(tx，ty)=2t2f(x，y)=2f(tx ，ty) 由此得 x2fxx(x，y)+2xyf xy(x，y)+y 2fyy(x，y)=2f(x，y).即结论成立.【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答
11、案】 由 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=2tf(x，y)得 txf1(tx，ty)+tyf 2(tx，ty)=2t2f(x，y) ，即 xfx(x，y)+yf x(x，y)=2f(x，y)，又 divgradf(x，y)= ，故【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 如图 16-13 所示，设 0=(cosa，sina) 为 L 沿逆时针方向的单位向量将它按顺时针方向转 ，便得 L 的法线方向的单位向量为 n0=(sina，-cosa)方向导数其中 D=(x， y)x 2+y2R2为 L 所围成的有界区域【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 有两个方法方法一(
12、参数法)方法二(格林公式法)【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 方法一(逐个投影法) 先计算 I1= 为此，应将 S 投影到yOz 平面记用极坐标计算y=brcos，z=crsin，0，0r1，则为此，将 S 投影到 zOx平面，也需将 S 剖分为左、右两个：它们在 zOx 平面上的投影均为方法二(加、减曲面片高斯公式法) 添加曲面片【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 将 S 投影到 xOy 平面，其投影域(如图 16-14)为 D=(x，y)x-y1，x0，y0 从 S 的方程解出 z=1-x+y 方法一 化成第一型曲面积分，S 与 z 轴交角为锐角的法向量为 n=(
13、1，-1，1)，n 0=(1，-1，1)，则方法二 直接将该积分化为一个二重积分由【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 方法一 封闭曲线积分容易想到斯托克斯公式法用斯托克斯公式，取平面 x+y+z=2 被 L 所围成的有界部分为绷在 L 上的曲面 S，按斯托克斯公式，S的法向量与 z 轴正向的交角应为锐角 I=L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz =S(-2y-4z)dydz+(-2z-6x)dzdx+(-2x-2y)dxdy 方法 11 改换成第一型曲面积分，S 的单位法向量Dxy 既对称于 x 轴，又对称于 y 轴，所以分别令 y0，y0，2-y-z0
14、 ，2-y-z0 ，可得 Dyz 的 4 条边的方程，从而 Dyz 可改写为将第 2 个积分的 S 投影到 zOx 平面上去，其中 Dxy=(x，y) x+y1 ，所以 I3=0从而 I=I1+I2+I3=-24 方法二(用参数式计算) 由于 L 是由 4 个直线段构成的四边形，所以用参数式计算时，要一段段计算 L：x+y =1，z=2-x-y 当 x0，y0 时，L 1：y=1-x ，z=2-x-y=1，x 从 1 到 0，方法三(降维法) 将 L 所在的方程 z=2-x-y 代入曲线积分以降低一维，降为其中 L1 为 L 在 zOy 平面上的投影：x+y =1，D xy=(x，y) x+y
15、1 最后得到 -24【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 令 I(a)=4(a2-1)=0，得 a=1(a=-1 舍去)，且 a=1 是 I(a)在(0 ，+)内的唯一驻点，又由于 I(1)=80，所以 I(a)在 a=1 处取到最小值，因此所求曲线是 y=sinx(0x)【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 因为 LPdx+Qdy=LF.ds，这里 F=(P，Q)，ds=(dx，dy)，F=，ds=ds 所以在曲线 x2+y2=R2 上，【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 存在原函数记P= D：x 2+y20 不是单连通的，则 (x，y)D)不是 LPdx+Qdy 在 D 内积分与路径无关的充分条件 事实上，若取闭曲线 C：x 2+y4=r4，逆时针方向，则【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 D：y0 是单连通的， 在 D 上与路径无关，存在原函数【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 同理，存在原函数，可求得原函数为 ，其中 C，为任意常数【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 由轮换对称性， ，从而【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 记 S 为平面 z=0(x2+y2a2)的下侧， 为与 S 所围成的空间区域【知识模块】 多元函数积分学
