1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 则 I= ( )（A）（B）（C）（D）2 由 x=0， y=0，z=0 ，x+2y+z=1 所围成，则三重积分 等于 ( )（A）（B）（C）（D）3 是由 x2+y2 一 z2 与 x=a(a0)所围成的区域，则三重积分 在柱面坐标系下累次积分的形式为 ( )（A）（B）（C）（D）4 设平面区域 D 由 x=0， y=0, ，x+y=1 围成，若则 I1，I 2，I 3 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（
2、D）I 3I 1 I25 球面 x2+y2+z2=4a2 与柱面 x2+y2=2ax 所围成立体体积等于 ( )（A）（B）（C）（D）6 设 1：x 2+y2+z2R2，z0； 2：x 2+y2+z2R2，且 x0，y0，z0则有( )（A）（B）（C）（D）7 累次积分 化为极坐标形式的累次积分为 ( )（A）（B）（C）（D）8 设 则三重积分 等于 ( )（A）（B）（C）（D）9 两个半径为 R 的直交圆柱体所围成立体的表面积 S 等于 ( )（A）（B）（C）（D）10 设 为 x2+y2+z21，则三重积分 等于 ( )（A）0（B） （C）（D）2二、填空题11 若 f(x，y
3、)为关于 z 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D上连续时，必有 =_.12 设 f(x，y)为连续函数，则 =_，其中D：x 2+y2t213 由曲线 y=x2，y=x+2 所围成的平面薄片，其上各点处的面密度 =1+x2，则此薄片的质量 M=_14 设 为曲线 z=1x2 一 y2，z=0 所围的立体，如果将三重积分化为先对 z 再对 y 最后对 x 积分，则 I=_15 设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 出化为定积分，则 I=_16 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2=y2=1 及 y=0 所围成的平面闭域，则=
4、_。17 设是球面 x2+y2+z2=a2(a0)的外侧，则=_18 已知曲线积分 与路径无关，则 f(x)=_。19 设 C 为闭域 D 的正向边界闭曲线，则 可通过 A(A为 D 的面积)表示为_20 向量场 A(z，3x，2y)在点 M(x，y，z)处的旋度 rotA=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 12 是A 的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T21 求 A 的其他特征值与特征向量；22 求 A23 24 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B) n证明： A，B 有公共
5、的特征向量24 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 an0，若 A1 2，A 2 3， An1 n，A n025 证明：26 设 在 D=a，bc，d上连续，求 并证明：I2(M 一 m)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y)在 D 上的最大值和最小值27 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为 ，设 ，求 A28 29 设 ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 P 及对角阵考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
6、确答案】 A【试题解析】 积分域由两部分组成(如图 1-61)设故应选 A【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由被积函数与积分域的特点，选择在直角坐标下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分 在 xOy 面上的投影域 的上下边界曲面方程分别为 z=1 一 x 一 2y，z=0【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 被积函数中出现 x2+y2积分域的边界曲面方程中含有 x2+y2一般说来利用柱面坐标系计算三重积分较为简便，这是因为 x2+y2=r2 在 xOy 面上的投影域 Dxy：x 2+y2a2 用极坐标可表示为 Dr：0r0，02 的上、下边
7、界曲面方程为：z=a，z=r，故【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 在 D 内， ，所以 ln(x+y)0sin(x+y)x+y，于是【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为立体关于 xOy 面以及 zOx 面对称，故 V=4V1，其中 V1 为立体在第一卦限部分的体积V 1 在 xOy 面上的投影域为 Dxy：x 2+y22ax 且 y0此刻V1 可看作以 Dxy 为底，以球面 x2+y2+z2=4a2 为曲顶的曲顶柱体体积，由二重积分的几何背景可知【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 关于 yOz 面及 zOx 面
8、对称，当 f(z，y，z)关于 x 或 y 成奇函数时，而 f(x，y，z)=z 关于 x 及 y 都成偶函数，故【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 积分域 D 为： 见图 16-2在极坐标系下 D 可表示为【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 因积分域的边界曲面含有球面 x2+y2+z2=1，故采用球面坐标系的边界曲面方程用球面坐标表示为 则 为：【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 所求面积是正交圆柱所围成的曲面面积 S由于对称性 S=16S1，S 1对应是第一卦限中曲面 ，在 xOy 面的投影域因为【知识模块】 多
9、元函数积分学10 【正确答案】 A【试题解析】 积分域 关于 xOy 面对称，被积函数 关于变量 z成奇函数，故 I=0【知识模块】 多元函数积分学二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 设连续函数 z=f(x，y) 关于 x 为奇函数 (f(一 x，y)=一 f(x，y)或关于x 为偶函数(f(一 x，y)=f(x，y)，积分域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 的位于 y 轴右方的部分则有 同理当z=f(x，y)关于 y 为奇函数或偶函数，积分域 D 关于 x 轴对称也有类似的结论【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 f(0，0)【试题解析】 因被积函数 f(x，y)
10、在闭区域 D：x 2+y2t2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：(1)用中值定理先去掉积分号再求极限；(2)用二次积分化分子为积分上限的函数因 f(x，y)在 D：x 2+y2t2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 因(，)在 D：x 2+y2t2 上，所以当 t0+时，( ，)(0，0)，于是【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 如图 163，【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 在直角坐标系下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分n 在xOy 面上的投影域 Dxy：x 2+y21， 的上、
11、下边界曲面方程为 z=1 一 x2 一y2，z=0于是【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 0【试题解析】 因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y2)关于变量 x 是奇函数，故【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 设 为球面 x2+y2+z2=a2 所围闭域，由高斯公式得【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 3x 2【试题解析】 设 P=excosy+yf(x)，Q=x 3
12、 一 exsiny一 exsiny+f(x)=3x2 一 exsiny，于是 f(x)=3x2【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 2A【试题解析】 因 P=e2y,Q=x+siny 2, 由格林公式，【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 (2，1，3)【试题解析】 设向量场 A=Pi+Qj+Rk，则因 P=z，Q=3x，R=2y ，则【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分23 【
13、正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)tr(B) ，A B，即【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 因为 r(A)r(B) n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 0 为 A，B公共的特征值，A 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 AX0 的非零解；B的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 BX0 的非零解，因为 r(A)r(B)n，所以方程组 有非零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy ，当
14、 y 从 0 变到 1 时，t从 0 变到 x，则事实上，t(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt),故【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 (2)当 a0 时， 1 31，因为 r(EA)2，所以方程组 (E 一 A)X0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)因为 ，所以方程组 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数部分
