1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 6 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 +xf“ 11 +(x+z)f“ 12 +xzf“ 22B.xf“ 12 +xzf“ 22C.f 2 +xf“ 12 +xzf“ 22D.xzy“ 223.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )连续的( )（分数：2.00）A.充分条
2、件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件4.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在二、填空题(总题数：12，分数：24.00)5.设 f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 u=f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填
3、空项 1:_7.设 其中 f(u)可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=y(x，z)是由方程 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 z=f(x，y)是由 确定的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 其中 f 可导，则 （分数：
4、2.00）填空项 1:_14.由方程 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(x，y)可微，且 f 1 (-1,3)=-2，f 2 (-1，3)=1，令 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_19.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2
5、+z 2 =xyf(x 2 )所确定，其中 f 是可微函数，计算 （分数：2.00）_20.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 z=f(2xy)+g(x，3y)，求 （分数：2.00）_21.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_22.设 z=f(x 2 +y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_23.设 z=z(x，y)由 xyz+ye z-x-y =0 确定，求 （分数：2.00）_24.设 z=fxy+g(xyz)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）
6、_25.设 u=f(x)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_26.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：2.00）_27.设 z=f(x，y)由方程 zyx+xe z-y-x =0 确定，求 dz（分数：2.00）_28.设 u=f(xy，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy y=0 与 e z 一 xz=0 确定，求 （分数：2.00）_29.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)
7、和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_30.(1)设 y=f(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 (2)设 z=z(x，y)由方程 确定，求 （分数：2.00）_31.设 且 F 可微，证明： （分数：2.00）_32.设变换 可把方程 化简为 （分数：2.00）_33.设 z=fx+(xy)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_34.设 z=f(x，y)由 f(x+y，xy)=x 2 一 y
8、2 一 xy 确定，求 dz（分数：2.00）_35.(1)求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值 (2)求函数 f(x，y)=(x 2 +2x+y)e y 的极值-（分数：2.00）_36.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 一 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，一 1y2上的最大值与最小值（分数：2.00）_37.平面曲线 L： （分数：2.00）_38.设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6xx 2 +16y 一 4y 2 一2(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2 000kg，
9、现有该原料 12 000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 6 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 +xf“ 11 +(x+z)f“ 12 +xzf“ 22B.xf“ 12 +xzf“ 22C.f 2 +xf“ 12 +xzf“ 22 D.xzy“ 22解析：解析：3.函数 z=f(x，y)在点
10、(x 0 ，y 0 )可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )连续的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件 解析：解析：如 在点(0，0)处可偏导，但不连续； 又如4.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零 B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在解析：解析：可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取
11、得极小值，则有 f x (x 0 ，y 0 )=0，f 0 (x 0 ，y 0 )=0，于是 f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零，选(A)二、填空题(总题数：12，分数：24.00)5.设 f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 因为 f y (x，0)=x，所以 1 (x)=x，即 再由 ）解析：6.设 u=f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得 将x=0，y=1，z=
12、一 1 代入得 ）解析：7.设 其中 f(u)可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：8.设 y=y(x，z)是由方程 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 两边对 z 求偏导得 从而 ）解析：9.设 z=f(x，y)是由 确定的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：将 代入 e 2yz +x+y 2 +z= 中得z=0， 两边求微分得 2e 2yz (zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将 z=
13、0 代入得 ）解析：10.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：当 x=0 时，y=1， 两边对 x 求导，得将 x=0，y=1 代入得 ）解析：11.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：方法一 z+e z =xy 2 两边对 x 求偏导得 解得 z+e z =xy 2 两边对 y 求偏导得 解得 则 方法二 z+e z =xy 2 两边求微分得d(z+e z )=d(xy 2 )，即 dz+e z dz=y 2 dx+2xydy， 解得 ）解析：12.设
14、z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求 x 求偏导得 解得 ）解析：13.设 其中 f 可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 则 ）解析：14.由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 两边求微分得 把(1，0，一 1)代入上式得 ）解析：15.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
15、答案：正确答案： x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导得 将x=0，y=1，z=一 1 代入得 ）解析：16.设 f(x，y)可微，且 f 1 (-1,3)=-2，f 2 (-1，3)=1，令 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 则 ）解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(x 2 )所确定，其中 f 是可微函数，计算
16、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边对 x 求偏导得 解得 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边对 y 求偏导得 解得 故 )解析：20.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 z=f(2xy)+g(x，3y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 z=f(x 2 +y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数
17、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 z=z(x，y)由 xyz+ye z-x-y =0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 xyz+ye z-y-x =0 两边对 x 求偏导得 解得 方程 xyz+ye z-x-y =0 两边对 y 求偏导得 解得 )解析：24.设 z=fxy+g(xyz)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 z=f(xy+g(xyz)两边对 x 求偏导得 解得 等式 z=f(xy+g(xyz)两边对 y 求偏导得 解得 )解析：25.设 u=f(x)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y
18、 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x 求偏导得 解得 则 两边对 y 求偏导得 解得则 所以 )解析：26.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 解得 于是 )解析：27.设 z=f(x，y)由方程 zyx+xe z-y-x =0 确定，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 zyx+x z-y=x =0 两边求微分，得 dzdydx+e
19、z-y-x dx+x e z-y-x (dzdydx)=0， 解得 )解析：28.设 u=f(xy，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy y=0 与 e z 一 xz=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 方程 e xy 一 y=0 两边对 x 求导得 解得 方程 e z 一 xz=0 两边对 x 求导得 解得 则 )解析：29.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=xf(x+y)
20、及 F(x，y，z)=0 两边对 x 求导数，得 解得 )解析：30.(1)设 y=f(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 (2)设 z=z(x，y)由方程 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得 解得 (2)当x=0，y=0 时，z=1 两边分别对 x 和 y 求偏导得 两边对 y 求偏导得 故 )解析：31.设 且 F 可微，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x 求偏导得 解得 两边对 y 求
21、偏导得 解得 于是)解析：32.设变换 可把方程 化简为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 z=f(u，v)， 则有 将上述式子代入方程 根据题意得 )解析：33.设 z=fx+(xy)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=fx+(xy)，y两边对 y 求偏导得 )解析：34.设 z=f(x，y)由 f(x+y，xy)=x 2 一 y 2 一 xy 确定，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 代入得 )解析：35.(1)求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+
22、ylny 的极值 (2)求函数 f(x，y)=(x 2 +2x+y)e y 的极值-（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)|y0， 因为 ACB 2 0 且A0，所以 为 f(x，y)的极小值点，极小值为 (2)由 得 )解析：36.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 一 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，一 1y2上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(x，y)在区域 D 内时， 在 L 1 ：y=一 1(0x2)上，z=x 3 +3x 一 1， 因为 z=3x 2 +30，所以最小值为 z(0
23、)=一 l，最大值为 z(2)=13； 在 L 2 ：y=2(0x2)上，z=x 3 一 6x+8， 由 z=3x 2 一 6=0 得 z(2)=4； 在 L 3 ：x=0(-1y2)上，z=y 3 ， 由 z=3y 2 =0得 y=0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8； 在 L 4 ：x=2(-1y2)上，z=y 3 一 6y+8， 由 z=3y 2 一6=0 得 )解析：37.平面曲线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 L： 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为 S： 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为 M(x，y，z)，则体积为 V=8xyz 令
24、 由 由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为 )解析：38.设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6xx 2 +16y 一 4y 2 一2(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2 000kg，现有该原料 12 000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，即求函数 L(x，y)=6xx 2 +16y 一 4y 2 2 在 0x+y6 下的最大值 L(x，y)的唯一驻点为(3，2)， 令 F(x，y，)=6xx 2 +16y 一 4y 2 一 2+(x+y 一 6)， 由 )解析：
