1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x，y)在(0 ，0)处 ( )（A）对 x 可偏导，对 y 不可偏导（B）对 x 不可偏导，对 y 可偏导（C）对 x 可偏导，对 y 也可偏导（D）对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导2 设 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y)在(x 0，y 0)处连续（B）（C） f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（D）3 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 则函数 f(x，y)在点(0，0)处 ( )（A）取
2、极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值4 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 则f(x，y)在(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值二、填空题5 设 z=(x2+y2)xy，则6 设 f 二阶可导，7 设 f 二阶可偏导，z=f(xy，z+y 2)，则8 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=3x+4y+6+()，其中 则 dz|(1,0)=_9 设 z=f(x，y)二阶连续可导，且 fx(x，0)=2x，f(0 ，y)=sin2y，则f(x，y)=_，10 11 12 由 x=zey+z 确定 z=z(x，
3、 y)，则 dz|(c,0)=_13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 z=f(t2，e 2t)二阶连续可偏导，其中 f 二阶连续可偏导，求16 设 z=f(exsiny，xy)，其中 f 二阶连续可偏导，求17 u=f(x2，xy ，xy 2z)，其中 f 连续可偏导，求18 设 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1 ，1)=1 ，f 1(1，1)=a，f 2(1，1)=b，又u=fx， f(x，x) ，求19 20 设 y=y(x)， z=z(x)由 确定，求21 设 z=z(x，y)是由 所确定的二元函数，其中 F 连续可偏导，求22 求二元函数
4、f(x，Y)=x 3 一 3x2 一 9x+y2 一 2y+2 的极值22 已知 z=f(x，y)满足：dz=2xdx 一 4ydy 且 f(0，0)=523 求 f(x，y)24 求 f(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2+4y24上的最小值和最大值25 设 u=xyz，求 du26 设 z=yf(x2 一 y2)，其中 f 可导，证明：27 设 u=f(x+y，x 2+y2)，其中 f 二阶连续可偏导，求28 设 z=fxg(y)，xy ，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求29 设 z=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求30 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不
5、一定连续31 设 讨论函数 f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性32 讨论 在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性33 设 试讨论 f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性34 设 z=f(esint，tant)，求35 设考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导； 因为所以 fy(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处对 y 可偏导，选(B)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试
6、题解析】 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对； 函数在(0，0)处可偏导，但 不存在，(B)不对；f(x，y)在(x 0，y 0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，选(D)，事实上由 存在得【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 根据极限保号性，存在 0，当时，有 而 x2+1 一 xsiny0， 所以当时，有 f(x，y)-f(0，0)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 所以由极限的保号性，存在0，当 时， 因为当时，|x|+y 20，所以当 时，有 f(x，y)f(0，0)，即 f(x，y) 在(0，0)
7、处取极大值，选(A)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 z=e xyln(x2+y2)则 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 因为 f(x，y)连续，所以 f(1，0)=9， 由 f(x，y)=3x+4y+6+()得 由可微的定义得dz|(1,0)=3dx+4dy【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 由 得 由 fx(x，0)=2x 得 (x)=2x，即 再由 得由 f(0，y)=sin2y 得 h(y)=sin2y，故【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】
8、 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 x=e，y=0 时，z=1 x=ze y+z 两边关于 x 求偏导得将 x=e，y=0，z=1 代入得 x=zey+z 两边关于 y求偏导得 将 x=e，y=0，z=1 代入得 故【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 则【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学1
9、8 【正确答案】 由 =f1x，f(x，x)+f 2x，f(x，x)f 1(x，x)+f 2(x，x)得 =f21，f(1，1)+f 21，f(1，1)f 1(1，1)+f 2(1，1) =a+b(a+b)=a+ab+b 2【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 两边对 x 求导得 解得【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 两边对 x 求偏导得 解得 两边对 y 求偏导得 【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 由 得 当(x，y)=(一 1，1)时，A=一12，B=0，C=2， 因为 AC-B2=一 240，所以(一
10、1，1) 不是极值点； 当(x，y)=(3，1) 时，A=12，B=0，C=2， 因为 ACB2=240 且 A0，所以(3，1)为极小值点，极小值为 f(3，1)=一 26【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由 dz=2xdx 一 4ydy 得 dz=d(x2 一 2y2)， 从而 f(x，y)=x 2 一2y2+C，再由 f(0，0)=5 得 f(x，y)=x 2 一 2y2+5【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 当 x2+4y2 得 当 x2+4y2=4时，令 z=4 cos2t 一 2sin2t+5=6cos2t+3， 当 cost=
11、0 时，fmin=3；当 cost=1 时，f max=9， 故最小值为 m=0，最大值 M=9【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 由 u=eyzlnx 得【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 方法一 令 F=xyzxy 一 z， 方法二 xyz=x+y+z 两边对 x 求偏导得 解得 故【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 设 显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x
12、不可偏导，由对称性，f(x， y)在点(0， 0)处对 y 也不可偏导 设因为所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0 因为所以 不存在，而 f(0，0)=0，故 f(x，y)在点(0 ，0) 处不连续【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 因为所以不存在，故函数 f(x，y)在点(0 ，0)处不连续 因为所以函数 f(x，y)在点(0，0)处对x，y 都可偏导【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 因为所以即函数 f(x，y)在点(0 ，0) 处连续 因为所以 fx(0，0)=0 ，根据对称性得 fy(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导 因为不存在，所以函数 f(x，y)在(0，0)不可微【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 由 得 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 所以 即 f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学
