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【考研类试卷】考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷17及答案解析.doc

1、考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷 17 及答案解析(总分:72.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.下列命题中不正确的是( )(分数:2.00)A.设 f(u)有连续导数,则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。B.设 f(u)连续,则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。C.设 P(x,y),Q(x,y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数,又 D.在区域 D=(x,y)(x,y)(0,0)上与路径有关。3.

2、设区域 D=(x,y)x 2 +y 2 4,x0,y0,f(x)为 D 上的正值连续函数,a,b 为常数,则 (分数:2.00)A.ab。B.。C.(a+b)。D.。4.设 L 1 :x 2 +y 2 =1,L 2 :x 2 +y 2 =2,L 3 :x 2 +2y 2 =2,L 4 :2x 2 +y 2 =2 为四条逆时针方向的平面曲线,记 I i = (分数:2.00)A.I 1 。B.I 2 。C.I 3 。D.I 4 。5.累次积分 (分数:2.00)A. 0 1 dy B. 0 1 dy C. 0 1 dx 0 1 f(x,y)dyD. 0 1 dx 6.设 D=(x,y)0x,0y

3、,则 sinxsinymaxx,yd 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.设 (分数:2.00)A.1。B.2。C.。D.。8.设曲面是 z=x 2 +y 2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分,则 (分数:2.00)A.2e 4 。B.(e 4 1)。C.2(e 4 1)。D.e 4 。9.设曲线 L:f(x,y)=1,f(x,y)具有一阶连续偏导数。过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N,为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧,则下列积分小于零的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.10.设有空间区域 1 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,z0; 2 :x

4、2 +y 2 +z 2 R 2 ,x0,y0,z0。 则有( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:11,分数:22.00)11.向量场 u(x,y,z)=xy 2 i+ye z j+xln(1+z 2 )k 在点 P(1,1,0)处的散度 divu= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分,则曲线积分 L xdy 一 2ydx 的值为 1。(分数:2.00)填空项 1:_13.设 是由锥面 z= 围成的空间区域,是 的整个边界的外侧,则 (分数:2.00)填空项 1:_14.设曲面:x+y+z=1,则 (分数

5、:2.00)填空项 1:_15.设曲面是 z= (分数:2.00)填空项 1:_16.已知曲线 L:y=x 2 (0x (分数:2.00)填空项 1:_17.设 L 是柱面方程为 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 L xzdx+xdy+ (分数:2.00)填空项 1:_18.设=(x,y,z)x+y+z=1,x0,y0,z0则 (分数:2.00)填空项 1:_19.已知 A=(2x+yz)i+(6xy)j+(z 2 +xy)k,则 div(A)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_20.已知 A=(2z 一 3y)i

6、+(3x 一 z)j+(y 一 2x)k,则 rot(A)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_21.设区域 D 为 x 2 +y 2 R 2 ,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:15,分数:30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy, 其中为曲面 z=1 一 x 2 一 (分数:2.00)_24.计算曲面积分 (z 2 +x)dydzzdxdy,其中是旋转抛物面 z= (分数:2.00)_25.计算曲面积分 I= (分数:2.00)_26.计算 I= L (

7、y 2 一 z 2 )dx+(2z 2 一 x 2 )dy+(3x 2 一 y 2 )出,其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线,从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向。(分数:2.00)_27.计算 I= L (x 一 y)dx+(x 一 z)dy+(xy)出,其中 L 是曲线 (分数:2.00)_28.设 A=(x 一 z,x 3 +yz,一 3xy 3 ),求 rotAndS。其中曲面为锥面 z=2 一 (分数:2.00)_29.已知 L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x 到点(2,0),再沿圆周 x 2 +y 2 =4 到点(0,2)的曲线段

8、,计算曲线积分 I= L 3x 2 ydx+(x 2 +x 一 2y)dy。(分数:2.00)_30.计算二重积分 (分数:2.00)_31.设 ba0,证明 a b dy y b f(x)e 2x+y dx= a b (e 3x 一 e 2x+a )f(x)dx。(分数:2.00)_32.设函数 f(x)为0,1上的单调减少且恒大于零的连续函数,证明: (分数:2.00)_33.计算二重积分 (分数:2.00)_34.设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为 a,b,试求这个三角形对其直角边的转动惯量。(分数:2.00)_35.设闭区域 D:x 2 +y 2 y,x0,f(x,y)为 D

9、上的连续函数,且 (分数:2.00)_36.计算 (分数:2.00)_考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷 17 答案解析(总分:72.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.下列命题中不正确的是( )(分数:2.00)A.设 f(u)有连续导数,则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。B.设 f(u)连续,则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。C.设 P(x,y),Q(x,y)在区域 D 内有连续的一阶偏

10、导数,又 D.在区域 D=(x,y)(x,y)(0,0)上与路径有关。解析:解析:对于(A),令 P(x,y)=xf(x 2 +y 2 ),Q(x,y)=yf(x 2 +y 2 ),则 =2xyf(x 2 +y 2 ),得到 ,且全平面是单连通区域,故 L Pdx+Qdy 在全平面内与路径无关。(A)正确。 对于(B),可求得被积函数的原函数为 f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)= (x 2 +y 2 )d(x 2 +y 2 )= , 因而, L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)与路径无关。(B)正确。 对于(C),因 D 区域不一定是单连通区域,故(C)中积分不一定与路径无

11、关。(C)不正确。 对于(D),取 L 为单位圆 x 2 +y 2 =1,并取逆时针方向,则 3.设区域 D=(x,y)x 2 +y 2 4,x0,y0,f(x)为 D 上的正值连续函数,a,b 为常数,则 (分数:2.00)A.ab。B.。C.(a+b)。D.。 解析:解析:由 x 与 y 的可互换性,4.设 L 1 :x 2 +y 2 =1,L 2 :x 2 +y 2 =2,L 3 :x 2 +2y 2 =2,L 4 :2x 2 +y 2 =2 为四条逆时针方向的平面曲线,记 I i = (分数:2.00)A.I 1 。B.I 2 。C.I 3 。D.I 4 。 解析:解析:由于 L i

12、所围区域封闭,故运用格林公式。曲线 L i 所围成的区域记为 D i (i=1,2,3,4),由格林公式得 由 L 1 :x 2 +y 2 =1,L 2 :x 2 +y 2 =2,L 3 : y 2 =1 可知 D 1 ,D 2 为圆域,D 3 ,D 4 为椭圆域,而被积函数 f(x,y)=1 一(x 2 + y 2 )为连续函数,在 D 4 上 f(x,y)0,但不恒等于 0,而在 D 4 之外,f(x,y)0 但不恒等于 0。 因为 D 4 D 1 ,故 I 4 I 1 。D 4 和 D 1 的公共部分是 D 4 ,D 1 的剩余部分 f(x,y)0,但不恒等于 0。因此 I 4 I 2

13、。 D 4 和 D 3 的公共部分是相交的区域,D 4 的剩余部分 f(x,y)0 但不恒等于 0,而 D 3 的剩余部分 1 一(x 2 + 5.累次积分 (分数:2.00)A. 0 1 dy B. 0 1 dy C. 0 1 dx 0 1 f(x,y)dyD. 0 1 dx 解析:解析:积分所对应的直角坐标平面的区域为 D:0z1,0y6.设 D=(x,y)0x,0y,则 sinxsinymaxx,yd 等于( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:根据对称性,令 D 1 =(x,y)0x,0yx,则 xsinxsinyd=2 0 sinxdx 0 x sinydy =2 0

14、 xsinx(1 一 cosx)dx=2 0 xsinxdx 一 0 sin2xdx =2(xcosx+sinx) 0 7.设 (分数:2.00)A.1。B.2。 C.。D.。解析:解析:8.设曲面是 z=x 2 +y 2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分,则 (分数:2.00)A.2e 4 。B.(e 4 1)。 C.2(e 4 1)。D.e 4 。解析:解析:将曲面投影到 xOy 面上,记为 D xy ,则 9.设曲线 L:f(x,y)=1,f(x,y)具有一阶连续偏导数。过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N,为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧,则下列积分小于零的是( ) (

15、分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:记 M(x M ,y M ),N(x N ,y N ),则 x M 0,y M 0;x N 0,y N 0。 10.设有空间区域 1 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,z0; 2 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,x0,y0,z0。 则有( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:由题设可知 1 关于 yOz 坐标平面对称,选项 A 的左端积分中被积函数为 x 的奇函数。由三重积分的对称性质可知 =0, (*) 而在 2 上,x0,从而 0,可知(A)不正确。 由于 2 的边界曲面方程对 x,y 具有轮换对称性,可知 0。又

16、由于 1 关于 zOx 戈坐标平面对称,选项(B)中左端积分的被积函数为 y 的奇函数,由三重积分对称性可知 =0, 可知(B)不正确。 由于 1 关于 yOz 坐标平面对称,也关于 xOz 坐标平面对称,(C)左端积分的被积函数 z 既为 x 的偶函数,也为 y 的偶函数,由两次使用三重积分对称性质,可得 二、填空题(总题数:11,分数:22.00)11.向量场 u(x,y,z)=xy 2 i+ye z j+xln(1+z 2 )k 在点 P(1,1,0)处的散度 divu= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:由题设条件,P=xy 2 ,Q=ye z

17、,R=xln(1+z 2 ),则 12.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分,则曲线积分 L xdy 一 2ydx 的值为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限的部分,用极坐标可表示为 13.设 是由锥面 z= 围成的空间区域,是 的整个边界的外侧,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(2 一 )解析:解析:由高斯公式知,14.设曲面:x+y+z=1,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由于曲面关于平面 x=0 对称,因此

18、 =0。又曲面:x+y+z=1 具有轮换对称性,于是15.设曲面是 z= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:作辅助面 1 :z=0,取下侧。则由高斯公式,有 16.已知曲线 L:y=x 2 (0x (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:曲线 L 可与成参数形式,x=x,y=x 2 ,0x ,则 17.设 L 是柱面方程为 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 L xzdx+xdy+ (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:)解析:解析:

19、曲线 L 的参数方程为18.设=(x,y,z)x+y+z=1,x0,y0,z0则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由曲面积分的计算公式可知 y 2 dxdy,其中 D=(x,y)x0,y0,x+y1。故 原式= 19.已知 A=(2x+yz)i+(6xy)j+(z 2 +xy)k,则 div(A)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2+6x+2z)解析:解析:由散度定义公式 div(A)=20.已知 A=(2z 一 3y)i+(3x 一 z)j+(y 一 2x)k,则 rot(A)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正

20、确答案:正确答案:2i+4j+6k)解析:解析:由公式得21.设区域 D 为 x 2 +y 2 R 2 ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:利用极坐标系,则三、解答题(总题数:15,分数:30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy, 其中为曲面 z=1 一 x 2 一 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:补充曲面: 1 :x 2 + =1,z=0,取下侧。则 其中 为与 1 所围成的空间区域,D 为平面区域 x 2 + 1。 由于

21、区域 D 关于 x 轴对称,因此 3xydxdy=0又 =3 0 1 z2(1z)dz=, 其中 D z :x 2 + 1 一 z。 故 I= )解析:24.计算曲面积分 (z 2 +x)dydzzdxdy,其中是旋转抛物面 z= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由两类曲面积分之间的联系,可得 )解析:25.计算曲面积分 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:取为 xOy 平面上被圆 x 2 +y 2 =1 所围成部分的下侧,记 为由与围成的空间闭区域,则 I= 2x 3 dydz+2y 3 dzdx+3(z 2 1)dxdy 一 2x 3 dydz+2y 3 dzdx+3

22、(z 2 一 1)dxdy。 由高斯公式知 2x 3 dydz+2y 3 dzdx+3(z 2 1)dxdy= (x 2 +y 2 +z)dxdydz =6 0 2 d 0 1 d (z+ 2 )dz =12 0 1 (1 2 ) 2 + 3 (1 2 )d=2, 又有 2x 3 dydz+2y 3 dzdx+3(z 2 1)dxdy=一 )解析:26.计算 I= L (y 2 一 z 2 )dx+(2z 2 一 x 2 )dy+(3x 2 一 y 2 )出,其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线,从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向。(分数:2.00)_正确答案:(正确答

23、案:记为平面 x+y+z=2 上 L 所围部分。由 L 的定向,按右手法则取上侧,的单位法向量 n=(cos,cos,cos)= (1,1,1)。 由斯托克斯公式得 按第一类曲面积分化为二重积分得: 其中 D 为在 xOy 平面上的投影区域x+y1。由 D 关于 x,y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得 )解析:27.计算 I= L (x 一 y)dx+(x 一 z)dy+(xy)出,其中 L 是曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲线 C 的参数方程为:x=cost,y=sint,z=sintcost+2,则 I= 2 0 (2 一cost)(一 sint)+(2costsint

24、一 2)cost+(costsint)(cost+sint)dt =一 2。)解析:28.设 A=(x 一 z,x 3 +yz,一 3xy 3 ),求 rotAndS。其中曲面为锥面 z=2 一 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设曲线 L 为 xOy 面上的圆周 x 2 +y 2 =4,取正向。由斯托克斯公式的向量形式,有 rotAndS= L (x 一 z)dx+(x 3 +yz)dy 一 3xy 2 dz = L xdx+x 3 dy(L 为 xOy 面上的曲线) )解析:29.已知 L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x 到点(2,0),再沿圆周 x 2

25、 +y 2 =4 到点(0,2)的曲线段,计算曲线积分 I= L 3x 2 ydx+(x 2 +x 一 2y)dy。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设圆 x 2 +y 2 =2z 为圆 C 1 ,圆 x 2 +y 2 =4 为圆 C 2 ,如图 6 一 14:补线段 L 1 为 x=0,y:20, 则由格林公式得 I= 3x 2 ydx+(x 3 +x 一 2y)dy 一 3x 2 ydx+(x 2 +x一 2y)dy = (3x 2 +13x 2 )dxdy 一 2 0 (一 2y)dy )解析:30.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:画出积分区域 D 如图

26、615 所示。 用直线 x=1 将 D 分成两个积分区域: )解析:31.设 ba0,证明 a b dy y b f(x)e 2x+y dx= a b (e 3x 一 e 2x+a )f(x)dx。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:画出二次积分 a b dy y b f(x)e 2x+y dx 的积分区域,如图 616 所示,即D:ayb,yxb。 交换该二次积分的次序,有 I= a b dx a x f(x)e 2x+y dy = a b e 2x (e x 一 e a )f(x)dx = a b (e 3x e 2x+a )f(x)dx。 故等式左端=右端,证毕。 )解析:32.设

27、函数 f(x)为0,1上的单调减少且恒大于零的连续函数,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在0,1上单调减少且 f(x)0。 所以不等式 )解析:33.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:画出积分区域 D,如图 617 所示。 积分区域为扇形,令 x=rcos,y=rsin,其中 则 )解析:34.设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为 a,b,试求这个三角形对其直角边的转动惯量。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:以两直角边为坐标轴建立坐标系,如图 618 所示,横轴、纵轴上边长分别为 a和 b,则绕 y 轴的转动惯量 )解析:35.设闭区域 D:x 2 +y 2 y,x0,f(x,y)为 D 上的连续函数,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(u,v)dudv=A(常数)。在已知等式两边求区域 D 上的二重积分,得)解析:36.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:画出积分区域 D,如图 619 所示,先对 x 积分,后对 y 积分,有 )解析:

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