1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 17 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(u)有连续导数，则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。B.设 f(u)连续，则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。C.设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 D.在区域 D=(x，y)(x，y)(0，0)上与路径有关。3.
2、设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.ab。B.。C.(a+b)。D.。4.设 L 1 ：x 2 +y 2 =1，L 2 ：x 2 +y 2 =2，L 3 ：x 2 +2y 2 =2，L 4 ：2x 2 +y 2 =2 为四条逆时针方向的平面曲线，记 I i = （分数：2.00）A.I 1 。B.I 2 。C.I 3 。D.I 4 。5.累次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy B. 0 1 dy C. 0 1 dx 0 1 f(x，y)dyD. 0 1 dx 6.设 D=(x，y)0x，0y
3、，则 sinxsinymaxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.1。B.2。C.。D.。8.设曲面是 z=x 2 +y 2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 （分数：2.00）A.2e 4 。B.(e 4 1)。C.2(e 4 1)。D.e 4 。9.设曲线 L：f(x，y)=1，f(x，y)具有一阶连续偏导数。过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N，为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设有空间区域 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0； 2 ：x
4、2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0。 则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.向量场 u(x，y，z)=xy 2 i+ye z j+xln(1+z 2 )k 在点 P(1，1，0)处的散度 divu= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 一 2ydx 的值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设曲面：x+y+z=1，则 （分数
5、：2.00）填空项 1:_15.设曲面是 z= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知曲线 L：y=x 2 (0x （分数：2.00）填空项 1:_17.设 L 是柱面方程为 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 L xzdx+xdy+ （分数：2.00）填空项 1:_18.设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0则 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 A=(2x+yz)i+(6xy)j+(z 2 +xy)k，则 div(A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.已知 A=(2z 一 3y)i
6、+(3x 一 z)j+(y 一 2x)k，则 rot(A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设区域 D 为 x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy， 其中为曲面 z=1 一 x 2 一 （分数：2.00）_24.计算曲面积分 (z 2 +x)dydzzdxdy，其中是旋转抛物面 z= （分数：2.00）_25.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_26.计算 I= L (
7、y 2 一 z 2 )dx+(2z 2 一 x 2 )dy+(3x 2 一 y 2 )出，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向。（分数：2.00）_27.计算 I= L (x 一 y)dx+(x 一 z)dy+(xy)出，其中 L 是曲线 （分数：2.00）_28.设 A=(x 一 z，x 3 +yz，一 3xy 3 )，求 rotAndS。其中曲面为锥面 z=2 一 （分数：2.00）_29.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x 到点(2，0)，再沿圆周 x 2 +y 2 =4 到点(0，2)的曲线段
8、，计算曲线积分 I= L 3x 2 ydx+(x 2 +x 一 2y)dy。（分数：2.00）_30.计算二重积分 （分数：2.00）_31.设 ba0，证明 a b dy y b f(x)e 2x+y dx= a b (e 3x 一 e 2x+a )f(x)dx。（分数：2.00）_32.设函数 f(x)为0，1上的单调减少且恒大于零的连续函数，证明： （分数：2.00）_33.计算二重积分 （分数：2.00）_34.设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为 a，b，试求这个三角形对其直角边的转动惯量。（分数：2.00）_35.设闭区域 D：x 2 +y 2 y，x0，f(x，y)为 D
9、上的连续函数，且 （分数：2.00）_36.计算 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 17 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(u)有连续导数，则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。B.设 f(u)连续，则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。C.设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏
10、导数，又 D.在区域 D=(x，y)(x，y)(0，0)上与路径有关。解析：解析：对于(A)，令 P(x，y)=xf(x 2 +y 2 )，Q(x，y)=yf(x 2 +y 2 )，则 =2xyf(x 2 +y 2 )，得到 ，且全平面是单连通区域，故 L Pdx+Qdy 在全平面内与路径无关。(A)正确。 对于(B)，可求得被积函数的原函数为 f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)= (x 2 +y 2 )d(x 2 +y 2 )= ， 因而， L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)与路径无关。(B)正确。 对于(C)，因 D 区域不一定是单连通区域，故(C)中积分不一定与路径无
11、关。(C)不正确。 对于(D)，取 L 为单位圆 x 2 +y 2 =1，并取逆时针方向，则 3.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.ab。B.。C.(a+b)。D.。 解析：解析：由 x 与 y 的可互换性，4.设 L 1 ：x 2 +y 2 =1，L 2 ：x 2 +y 2 =2，L 3 ：x 2 +2y 2 =2，L 4 ：2x 2 +y 2 =2 为四条逆时针方向的平面曲线，记 I i = （分数：2.00）A.I 1 。B.I 2 。C.I 3 。D.I 4 。 解析：解析：由于 L i
12、所围区域封闭，故运用格林公式。曲线 L i 所围成的区域记为 D i (i=1，2，3，4)，由格林公式得 由 L 1 ：x 2 +y 2 =1，L 2 ：x 2 +y 2 =2，L 3 ： y 2 =1 可知 D 1 ，D 2 为圆域，D 3 ，D 4 为椭圆域，而被积函数 f(x，y)=1 一(x 2 + y 2 )为连续函数，在 D 4 上 f(x，y)0，但不恒等于 0，而在 D 4 之外，f(x，y)0 但不恒等于 0。 因为 D 4 D 1 ，故 I 4 I 1 。D 4 和 D 1 的公共部分是 D 4 ，D 1 的剩余部分 f(x，y)0，但不恒等于 0。因此 I 4 I 2
13、。 D 4 和 D 3 的公共部分是相交的区域，D 4 的剩余部分 f(x，y)0 但不恒等于 0，而 D 3 的剩余部分 1 一(x 2 + 5.累次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy B. 0 1 dy C. 0 1 dx 0 1 f(x，y)dyD. 0 1 dx 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0z1，0y6.设 D=(x，y)0x，0y，则 sinxsinymaxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，令 D 1 =(x，y)0x，0yx，则 xsinxsinyd=2 0 sinxdx 0 x sinydy =2 0
14、 xsinx(1 一 cosx)dx=2 0 xsinxdx 一 0 sin2xdx =2(xcosx+sinx) 0 7.设 （分数：2.00）A.1。B.2。 C.。D.。解析：解析：8.设曲面是 z=x 2 +y 2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 （分数：2.00）A.2e 4 。B.(e 4 1)。 C.2(e 4 1)。D.e 4 。解析：解析：将曲面投影到 xOy 面上，记为 D xy ，则 9.设曲线 L：f(x，y)=1，f(x，y)具有一阶连续偏导数。过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N，为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ) （
15、分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：记 M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，则 x M 0，y M 0；x N 0，y N 0。 10.设有空间区域 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0； 2 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0。 则有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题设可知 1 关于 yOz 坐标平面对称，选项 A 的左端积分中被积函数为 x 的奇函数。由三重积分的对称性质可知 =0， (*) 而在 2 上，x0，从而 0，可知(A)不正确。 由于 2 的边界曲面方程对 x，y 具有轮换对称性，可知 0。又
16、由于 1 关于 zOx 戈坐标平面对称，选项(B)中左端积分的被积函数为 y 的奇函数，由三重积分对称性可知 =0， 可知(B)不正确。 由于 1 关于 yOz 坐标平面对称，也关于 xOz 坐标平面对称，(C)左端积分的被积函数 z 既为 x 的偶函数，也为 y 的偶函数，由两次使用三重积分对称性质，可得 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.向量场 u(x，y，z)=xy 2 i+ye z j+xln(1+z 2 )k 在点 P(1，1，0)处的散度 divu= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设条件，P=xy 2 ，Q=ye z
17、，R=xln(1+z 2 )，则 12.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 一 2ydx 的值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限的部分，用极坐标可表示为 13.设 是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2 一 ）解析：解析：由高斯公式知，14.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于曲面关于平面 x=0 对称，因此
18、 =0。又曲面：x+y+z=1 具有轮换对称性，于是15.设曲面是 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：作辅助面 1 ：z=0，取下侧。则由高斯公式，有 16.已知曲线 L：y=x 2 (0x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线 L 可与成参数形式，x=x，y=x 2 ，0x ，则 17.设 L 是柱面方程为 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 L xzdx+xdy+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：
19、曲线 L 的参数方程为18.设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由曲面积分的计算公式可知 y 2 dxdy，其中 D=(x，y)x0，y0，x+y1。故 原式= 19.已知 A=(2x+yz)i+(6xy)j+(z 2 +xy)k，则 div(A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2+6x+2z）解析：解析：由散度定义公式 div(A)=20.已知 A=(2z 一 3y)i+(3x 一 z)j+(y 一 2x)k，则 rot(A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正
20、确答案：正确答案：2i+4j+6k）解析：解析：由公式得21.设区域 D 为 x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用极坐标系，则三、解答题(总题数：15，分数：30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy， 其中为曲面 z=1 一 x 2 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：补充曲面： 1 ：x 2 + =1，z=0，取下侧。则 其中 为与 1 所围成的空间区域，D 为平面区域 x 2 + 1。 由于
21、区域 D 关于 x 轴对称，因此 3xydxdy=0又 =3 0 1 z2(1z)dz=， 其中 D z ：x 2 + 1 一 z。 故 I= )解析：24.计算曲面积分 (z 2 +x)dydzzdxdy，其中是旋转抛物面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由两类曲面积分之间的联系，可得 )解析：25.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取为 xOy 平面上被圆 x 2 +y 2 =1 所围成部分的下侧，记 为由与围成的空间闭区域，则 I= 2x 3 dydz+2y 3 dzdx+3(z 2 1)dxdy 一 2x 3 dydz+2y 3 dzdx+3
22、(z 2 一 1)dxdy。 由高斯公式知 2x 3 dydz+2y 3 dzdx+3(z 2 1)dxdy= (x 2 +y 2 +z)dxdydz =6 0 2 d 0 1 d (z+ 2 )dz =12 0 1 (1 2 ) 2 + 3 (1 2 )d=2， 又有 2x 3 dydz+2y 3 dzdx+3(z 2 1)dxdy=一 )解析：26.计算 I= L (y 2 一 z 2 )dx+(2z 2 一 x 2 )dy+(3x 2 一 y 2 )出，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向。（分数：2.00）_正确答案：(正确答
23、案：记为平面 x+y+z=2 上 L 所围部分。由 L 的定向，按右手法则取上侧，的单位法向量 n=(cos，cos，cos)= (1，1，1)。 由斯托克斯公式得 按第一类曲面积分化为二重积分得： 其中 D 为在 xOy 平面上的投影区域x+y1。由 D 关于 x，y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得 )解析：27.计算 I= L (x 一 y)dx+(x 一 z)dy+(xy)出，其中 L 是曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 C 的参数方程为：x=cost，y=sint，z=sintcost+2，则 I= 2 0 (2 一cost)(一 sint)+(2costsint
24、一 2)cost+(costsint)(cost+sint)dt =一 2。)解析：28.设 A=(x 一 z，x 3 +yz，一 3xy 3 )，求 rotAndS。其中曲面为锥面 z=2 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 L 为 xOy 面上的圆周 x 2 +y 2 =4，取正向。由斯托克斯公式的向量形式，有 rotAndS= L (x 一 z)dx+(x 3 +yz)dy 一 3xy 2 dz = L xdx+x 3 dy(L 为 xOy 面上的曲线) )解析：29.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x 到点(2，0)，再沿圆周 x 2
25、 +y 2 =4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 I= L 3x 2 ydx+(x 2 +x 一 2y)dy。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设圆 x 2 +y 2 =2z 为圆 C 1 ，圆 x 2 +y 2 =4 为圆 C 2 ，如图 6 一 14：补线段 L 1 为 x=0，y：20， 则由格林公式得 I= 3x 2 ydx+(x 3 +x 一 2y)dy 一 3x 2 ydx+(x 2 +x一 2y)dy = (3x 2 +13x 2 )dxdy 一 2 0 (一 2y)dy )解析：30.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出积分区域 D 如图
26、615 所示。 用直线 x=1 将 D 分成两个积分区域： )解析：31.设 ba0，证明 a b dy y b f(x)e 2x+y dx= a b (e 3x 一 e 2x+a )f(x)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出二次积分 a b dy y b f(x)e 2x+y dx 的积分区域，如图 616 所示，即D：ayb，yxb。 交换该二次积分的次序，有 I= a b dx a x f(x)e 2x+y dy = a b e 2x (e x 一 e a )f(x)dx = a b (e 3x e 2x+a )f(x)dx。 故等式左端=右端，证毕。 )解析：32.设
27、函数 f(x)为0，1上的单调减少且恒大于零的连续函数，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上单调减少且 f(x)0。 所以不等式 )解析：33.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出积分区域 D，如图 617 所示。 积分区域为扇形，令 x=rcos，y=rsin，其中 则 )解析：34.设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为 a，b，试求这个三角形对其直角边的转动惯量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以两直角边为坐标轴建立坐标系，如图 618 所示，横轴、纵轴上边长分别为 a和 b，则绕 y 轴的转动惯量 )解析：35.设闭区域 D：x 2 +y 2 y，x0，f(x，y)为 D 上的连续函数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(u，v)dudv=A(常数)。在已知等式两边求区域 D 上的二重积分，得)解析：36.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出积分区域 D，如图 619 所示，先对 x 积分，后对 y 积分，有 )解析：
