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【考研类试卷】考研数学一(多元函数积分的概念、计算及其应用)-试卷3及答案解析.doc

1、考研数学一(多元函数积分的概念、计算及其应用)-试卷 3及答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:2,分数:4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设空间区域 1 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,z0 及 2 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,x0,y0,z0,则下列等式成立的是 (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)3.设 D是 Oxy平面上以 A(1,1),B(1,1)和 C(1,1)为顶点的三角形区域,则 I= (分数:2.00)填空项 1:_4.设

2、L为曲线 (分数:2.00)填空项 1:_5.设 S为球面 x 2 +y 2 +z 2 =9,取外侧,则 (分数:2.00)填空项 1:_6.设 D为平面区域:x 2 +y 2 4,则 (分数:2.00)填空项 1:_7.设 是球体:(xa) 2 +(yb) 2 +(zc) 2 R 2 ,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:26,分数:52.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_9.计算 ds,其中,L 是圆周 x 2 +y 2 =4x(见图 91) (分数:2.00)_10.计算积分 9x 2 dx+(yx)dy,其中 L:()是半径

3、为 a,圆心在原点的上半圆周,起点 A(a,0),终点 B(a,0)(见图 92);()x 轴上由 A(a,0)到 B(a,0)的直线段 (分数:2.00)_11.将 (分数:2.00)_12.设 D是由曲线 =1(a0,b0)与 x轴,y 轴围成的区域,求 I= (分数:2.00)_13.求 I= (分数:2.00)_14.计算 z 2 ds,其中是曲面 z= (分数:2.00)_15.计算 xyzdxdy,其中是 x0,y0,x 2 +y 2 +z 2 =1的外侧(见图 99) (分数:2.00)_16.设 =(x,y,z)x 2 +y 2 +z 2 x+y+z+ ,求 I= (分数:2.

4、00)_17.在极坐标变换下将 (分数:2.00)_18.求积分 I= (分数:2.00)_19.利用柱坐标变换求三重积分:I= (分数:2.00)_20.将三重积分 f(x,y,z)dV 在三种坐标系下化成累次积分,其中 是由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,x 2 +y 2 z 2 ,z0 所围成的区域(如图 922 所示) (分数:2.00)_21.利用球坐标变换求三重积分,I= (分数:2.00)_22.求 I= dxdy,其中 D为 y= (分数:2.00)_23.求 I= (分数:2.00)_24.求 I= (分数:2.00)_25.求 I= y 2 dV,其中 由 (分数:

5、2.00)_26.求 I= L xds,其中 L为x+y=1(分数:2.00)_27.计算曲面积分 I= (分数:2.00)_28.求 I= (分数:2.00)_29.设 D由抛物线 y=x 2 ,y=4x 2 及直线 y=1所围成用先 x后 y的顺序将 I= (分数:2.00)_30.求 I= (分数:2.00)_31.计算三重积分 I= (分数:2.00)_32.求 I= dydz,其中为下半球面 z= (分数:2.00)_33.求 I= (x 2 y 2 )dydz+(y 2 z 2 )dzdx+(z 2 x 2 )dxdy,S 是上半椭球面 (分数:2.00)_考研数学一(多元函数积分

6、的概念、计算及其应用)-试卷 3答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:2,分数:4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设空间区域 1 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,z0 及 2 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,x0,y0,z0,则下列等式成立的是 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:由 1 在 xy平面上方,关于 yz平面与 zx平面均对称, 2 是 1 的第一象限部分,两次利用对称性,可以看出等式成立的充分条件是被积函数关于 x与 y为偶函数,即 f(x,y,z)=f

7、(x,y,z),f(x,y,z)=f(x,y,z)在本题的四个选项中,只有(C)的被积函数 f(x,y,z)=z,关于 x与 y是偶函数, 因为四个结论中只有一个正确,因此应选(C)二、填空题(总题数:5,分数:10.00)3.设 D是 Oxy平面上以 A(1,1),B(1,1)和 C(1,1)为顶点的三角形区域,则 I= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:8)解析:解析:连 将区域 D分成 D 1 (三角形 OAB),D 2 (三角形 OBC)两个部分(见图 928),它们分别关于 y轴与 x轴对称由于 sin(xy)对 x与 y均为奇函数,因此 又由于 D的面积= .

8、2.2=2,所以 4.设 L为曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 a 3)解析:解析:注意(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2(xy+yz+zx),则 xy+yz+zx= (x+y+z) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ), 因此 I= L (xy+yz+zx)ds= L (x+y+z) 2 ds L (x 2 +y 2 +z 2 )ds 由 L的方程,其中 x+y+z=0,x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ,于是 I=0 L a 2 ds= 5.设 S为球面 x 2 +y 2 +z 2 =9,取外侧,则 (分数:2.00)填空项 1:_

9、(正确答案:正确答案:36)解析:解析:S 围成的球体为 ,则由高斯公式得 6.设 D为平面区域:x 2 +y 2 4,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由二重积分的几何意义知 dxdy=柱体的体积锥体的体积 =.2 2 2 7.设 是球体:(xa) 2 +(yb) 2 +(zc) 2 R 2 ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:由球的质心公式知 则三、解答题(总题数:26,分数:52.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:9.计算 ds,其中,L 是圆周 x 2 +

10、y 2 =4x(见图 91) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用直角坐标系 )解析:10.计算积分 9x 2 dx+(yx)dy,其中 L:()是半径为 a,圆心在原点的上半圆周,起点 A(a,0),终点 B(a,0)(见图 92);()x 轴上由 A(a,0)到 B(a,0)的直线段 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:化成对 x的定积分 ()上半圆周的表达式为:y= 起点 A对应于 x=a,终点 B对应于 x=a,则 ()对于从 A(a,0)到 B(a,0)的直线段,则 )解析:11.将 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 如图 95,x 2 +y 2 =2ax

11、与 x 2 +y 2 =2ay,是两个圆,其交点为O(0,0),P(a,a)因此,若先对 y积分,就有 若先对 x求积分,则 )解析:12.设 D是由曲线 =1(a0,b0)与 x轴,y 轴围成的区域,求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:先对 x积分区域 D如图 96 所示 D=(x,y)0yb,0xa(1 ) 2 , )解析:13.求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因区域 可表成(99)的形式: =(x,y,z)0z1 (x+y),(x,y)D xy , D xy =(x,y)x0,y0,x2y,见图 97 所以可用公式(910)求得 I值,即 )解析:14

12、.计算 z 2 ds,其中是曲面 z= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于为锥面 z= (0z1),因此 = d若记在 xOy,平面上的投影域为 D:z=0,x 2 +y 2 1,则 )解析:15.计算 xyzdxdy,其中是 x0,y0,x 2 +y 2 +z 2 =1的外侧(见图 99) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:投影到 xy平面将积分曲面分成上下两部分,分别记为 1 与 2 ,则 = 1 2 并且在 1 上法向量 n与 z轴正方向的夹角为锐角,故公式(914)中 符号应取“+”号;在 2 上法向量与 x轴正方向的夹角为钝角,故应取“”号 1 , 2 在 xOy

13、平面上的投影域均为 D:z=0,x0,y0,x 2 +y 2 1,所以 )解析:16.设 =(x,y,z)x 2 +y 2 +z 2 x+y+z+ ,求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 改写成 =(x,y,z(x 1, 作平移变换:u=x ,则 )解析:17.在极坐标变换下将 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于两个圆在极坐标下的表达式分别为:r=2acos 与 r=2asin,交点 P处的极坐标是 ,于是连接 OP将区域 D分成两部分(见图 916),则 或者先对 积分,则f(rcos,rsin)d )解析:18.求积分 I= (分数:2.00)_正确答案:(正

14、确答案: D的图形如图 917 所示,虽然 D的边界不是圆弧,但被积函数是r= ,选用极坐标变换方便在极坐标变换下,D 的边界方程是 = 从而 D: 0 ,0r 于是 )解析:19.利用柱坐标变换求三重积分:I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 区域 的边界面分别是旋转抛物面 x 2 +y 2 =z与球面 x 2 +y 2 +z 2 =2,见图 918,两曲面的交线是 作柱坐标变换:x=rcos,y=rsin,z=z,则边界面的方程是:z=r 2 ,z= 又 在 xOy平面上投影区域的极坐标表示为:D=(r,)0r1,02,于是 )解析:20.将三重积分 f(x,y,z)dV 在三

15、种坐标系下化成累次积分,其中 是由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,x 2 +y 2 z 2 ,z0 所围成的区域(如图 922 所示) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:使用直角坐标系 先求区域 在 xOy平面上的投影域 D,它是由球面与锥面的交线所确定,即 x 2 +y 2 R 2 ,z=0若依照由 z到 y再到 x的顺序积分,则 )解析:21.利用球坐标变换求三重积分,I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 是球体:x 2 +y 2 +(z1) 2 1,在球坐标变换:x=sincos,y=sinsin,z=cos 下, =(,)02,0 ,02cos), 于是 )

16、解析:22.求 I= dxdy,其中 D为 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 区域 D如图 923被积函数只含 y,先对 x积分,虽然积分区域要分块,但计算较简单若先对 y积分,则求积分 dy要费点功夫 选择先对 x积分,将 D分块: D=(x,y)0y 于是 )解析:23.求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: dy的原函数不是初等函数,故 dy积不出来,因此选先 x后 y的顺序积分区 域 D如图 924,于是 )解析:24.求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 区域 的图形不好画(可不必画出),但易求出 在 xOy平面上的投影区域 D(见图 9

17、25),D 的边界线是:x+y=1, x=0, y=0 因而易写出 的不等式表示=(x,y,z)0zxy,(x,y)D 于是选择先一(先 z)后二(后 x,y)的积分顺序:I= x 2 y 2 dxdy 再将二重积分化为定积分(先 x后 y或先 y后 x均可) )解析:25.求 I= y 2 dV,其中 由 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 区域 由右半椭球面及 zx平面围成的右半椭球体(如图 926 所示)它在 zx平面 的投影区域 D zx 是: 1,于是 =(x,y,z)0yb ,(z,x)D zx 另一方面,过 Y轴上任意点 y0,b作垂直 y轴的平面与 相交成区域 D(y)

18、,则 D(y): ,0yb, 它的面积 S(y)=ac ,于是 =(x,y,z)0yb,(z,x)D(y) 由于被积函数仅与 y有关,而 D(y)面积已知,我们选择先二后一(先 zx后 y)的积分顺序得 )解析:26.求 I= L xds,其中 L为x+y=1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:L 为正方形的边界如图 929因为 L关于 x,y 轴均对称,被积函数x关于 y与 x均为偶函数,于是 I=4 L1 xds=4 )解析:27.计算曲面积分 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:I= (ax+by+cz+) 2 dS = (ax) 2 +(by) 2 +(cx) 2 +

19、 2 +2abxy+2aczx+2bcyz+2ay+2by+2czdS 根据积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知 又由坐标的轮换对称性知 因此 )解析:28.求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:在积分区域 D上被积函数分段表示为 yx 2 = (x,y)D, 因此要将D分块,用分块积分法又 D关于 y轴对称,被积函数关于 x为偶函数,记 D 1 =(x,y)(x,y)D,x0,yx 2 ,D 2 =(x,y)(x,y)D,x0,yx 2 , 于是 )解析:29.设 D由抛物线 y=x 2 ,y=4x 2 及直线 y=1所围成用先 x后 y的顺序将 I= (分数:2.00)_正

20、确答案:(正确答案: 区域 D如图 930 所示,将 D分成 x0 与 x0 两部分,用分块积分法得 )解析:30.求 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:D 是圆域:(x1) 2 +(y1) 2 1,见图 931作平移变换: u=x1,v=y1,则 I= )解析:31.计算三重积分 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 是两个球体 x 2 +y 2 +z 2 4 与 x 2 +y 2 +z 2 4z(x 2 +y 2 +(z2) 2 4)的公共部分,两球面的交线是 图 932 是 在 yz平面上的截面图 这里适宜用球坐标变换的情形这时要用锥面 z= (以原点为顶点,通

21、过两球的交线) 将 分成 = 1 2 ,其中 1 =(x,y,z)x 2 +y 2 +z 2 4,z , 2 =x,y,z)x 2 +y 2 +z 2 4z,z ,见截面图 933,用球坐标表示 1 :02,0 ,02, 2 :04cos, ,02, 其中球面 x 2 +y 2 +z 2 =4z的球坐标方程是 =4cos,锥面 z= 的方程是 = 因此 )解析:32.求 I= dydz,其中为下半球面 z= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:注意上 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ,则 I= xdydz 在 xy平面上的投影区域D xy :x 2 +y 2 a 2 ,且 于是 )解析:33.求 I= (x 2 y 2 )dydz+(y 2 z 2 )dzdx+(z 2 x 2 )dxdy,S 是上半椭球面 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:易求 S在 xy平面上的投影区域 D: 1于是 这里,D 关于 x,y 轴均对称, 对 x是奇函数, 对 y也是奇函数,就有 现归结为求 其中 D 1 =Dx0,y0 用极坐标变换:x=rcos,y=rsin,则 于是 由对称性(将 x,y 互换,同时 a,b 也互换,D 不变) dxdy 因此 I=ab )解析:

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