1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）-试卷 3及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设空间区域 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0 及 2 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0，则下列等式成立的是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.设 D是 Oxy平面上以 A(1，1)，B(1，1)和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_4.设
2、L为曲线 （分数：2.00）填空项 1:_5.设 S为球面 x 2 +y 2 +z 2 =9，取外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 D为平面区域：x 2 +y 2 4，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 是球体：(xa) 2 +(yb) 2 +(zc) 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：26，分数：52.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_9.计算 ds，其中，L 是圆周 x 2 +y 2 =4x(见图 91) （分数：2.00）_10.计算积分 9x 2 dx+(yx)dy，其中 L：()是半径
3、为 a，圆心在原点的上半圆周，起点 A(a，0)，终点 B(a，0)(见图 92)；()x 轴上由 A(a，0)到 B(a，0)的直线段 （分数：2.00）_11.将 （分数：2.00）_12.设 D是由曲线 =1(a0，b0)与 x轴，y 轴围成的区域，求 I= （分数：2.00）_13.求 I= （分数：2.00）_14.计算 z 2 ds，其中是曲面 z= （分数：2.00）_15.计算 xyzdxdy，其中是 x0，y0，x 2 +y 2 +z 2 =1的外侧(见图 99) （分数：2.00）_16.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 x+y+z+ ，求 I= （分数：2.
4、00）_17.在极坐标变换下将 （分数：2.00）_18.求积分 I= （分数：2.00）_19.利用柱坐标变换求三重积分：I= （分数：2.00）_20.将三重积分 f(x，y，z)dV 在三种坐标系下化成累次积分，其中 是由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x 2 +y 2 z 2 ，z0 所围成的区域(如图 922 所示) （分数：2.00）_21.利用球坐标变换求三重积分，I= （分数：2.00）_22.求 I= dxdy，其中 D为 y= （分数：2.00）_23.求 I= （分数：2.00）_24.求 I= （分数：2.00）_25.求 I= y 2 dV，其中 由 （分数：
5、2.00）_26.求 I= L xds，其中 L为x+y=1（分数：2.00）_27.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_28.求 I= （分数：2.00）_29.设 D由抛物线 y=x 2 ，y=4x 2 及直线 y=1所围成用先 x后 y的顺序将 I= （分数：2.00）_30.求 I= （分数：2.00）_31.计算三重积分 I= （分数：2.00）_32.求 I= dydz，其中为下半球面 z= （分数：2.00）_33.求 I= (x 2 y 2 )dydz+(y 2 z 2 )dzdx+(z 2 x 2 )dxdy，S 是上半椭球面 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分
6、的概念、计算及其应用）-试卷 3答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设空间区域 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0 及 2 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0，则下列等式成立的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 1 在 xy平面上方，关于 yz平面与 zx平面均对称， 2 是 1 的第一象限部分，两次利用对称性，可以看出等式成立的充分条件是被积函数关于 x与 y为偶函数，即 f(x，y，z)=f
7、(x，y，z)，f(x，y，z)=f(x，y，z)在本题的四个选项中，只有(C)的被积函数 f(x，y，z)=z，关于 x与 y是偶函数， 因为四个结论中只有一个正确，因此应选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.设 D是 Oxy平面上以 A(1，1)，B(1，1)和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：连 将区域 D分成 D 1 (三角形 OAB)，D 2 (三角形 OBC)两个部分(见图 928)，它们分别关于 y轴与 x轴对称由于 sin(xy)对 x与 y均为奇函数，因此 又由于 D的面积= .
8、2.2=2，所以 4.设 L为曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 a 3）解析：解析：注意(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2(xy+yz+zx)，则 xy+yz+zx= (x+y+z) 2 (x 2 +y 2 +z 2 )， 因此 I= L (xy+yz+zx)ds= L (x+y+z) 2 ds L (x 2 +y 2 +z 2 )ds 由 L的方程，其中 x+y+z=0，x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，于是 I=0 L a 2 ds= 5.设 S为球面 x 2 +y 2 +z 2 =9，取外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_
9、（正确答案：正确答案：36）解析：解析：S 围成的球体为 ，则由高斯公式得 6.设 D为平面区域：x 2 +y 2 4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由二重积分的几何意义知 dxdy=柱体的体积锥体的体积 =.2 2 2 7.设 是球体：(xa) 2 +(yb) 2 +(zc) 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由球的质心公式知 则三、解答题(总题数：26，分数：52.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：9.计算 ds，其中，L 是圆周 x 2 +
10、y 2 =4x(见图 91) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用直角坐标系 )解析：10.计算积分 9x 2 dx+(yx)dy，其中 L：()是半径为 a，圆心在原点的上半圆周，起点 A(a，0)，终点 B(a，0)(见图 92)；()x 轴上由 A(a，0)到 B(a，0)的直线段 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：化成对 x的定积分 ()上半圆周的表达式为：y= 起点 A对应于 x=a，终点 B对应于 x=a，则 ()对于从 A(a，0)到 B(a，0)的直线段，则 )解析：11.将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 如图 95，x 2 +y 2 =2ax
11、与 x 2 +y 2 =2ay，是两个圆，其交点为O(0，0)，P(a，a)因此，若先对 y积分，就有 若先对 x求积分，则 )解析：12.设 D是由曲线 =1(a0，b0)与 x轴，y 轴围成的区域，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先对 x积分区域 D如图 96 所示 D=(x，y)0yb，0xa(1 ) 2 ， )解析：13.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因区域 可表成(99)的形式： =(x，y，z)0z1 (x+y)，(x，y)D xy ， D xy =(x，y)x0，y0，x2y，见图 97 所以可用公式(910)求得 I值，即 )解析：14
12、.计算 z 2 ds，其中是曲面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于为锥面 z= (0z1)，因此 = d若记在 xOy，平面上的投影域为 D：z=0，x 2 +y 2 1，则 )解析：15.计算 xyzdxdy，其中是 x0，y0，x 2 +y 2 +z 2 =1的外侧(见图 99) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：投影到 xy平面将积分曲面分成上下两部分，分别记为 1 与 2 ，则 = 1 2 并且在 1 上法向量 n与 z轴正方向的夹角为锐角，故公式(914)中 符号应取“+”号；在 2 上法向量与 x轴正方向的夹角为钝角，故应取“”号 1 ， 2 在 xOy
13、平面上的投影域均为 D：z=0，x0，y0，x 2 +y 2 1，所以 )解析：16.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 x+y+z+ ，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 改写成 =(x，y，z(x 1， 作平移变换：u=x ，则 )解析：17.在极坐标变换下将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acos 与 r=2asin，交点 P处的极坐标是 ，于是连接 OP将区域 D分成两部分(见图 916)，则 或者先对 积分，则f(rcos，rsin)d )解析：18.求积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正
14、确答案： D的图形如图 917 所示，虽然 D的边界不是圆弧，但被积函数是r= ，选用极坐标变换方便在极坐标变换下，D 的边界方程是 = 从而 D： 0 ，0r 于是 )解析：19.利用柱坐标变换求三重积分：I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 区域 的边界面分别是旋转抛物面 x 2 +y 2 =z与球面 x 2 +y 2 +z 2 =2，见图 918，两曲面的交线是 作柱坐标变换：x=rcos，y=rsin，z=z，则边界面的方程是：z=r 2 ，z= 又 在 xOy平面上投影区域的极坐标表示为：D=(r，)0r1，02，于是 )解析：20.将三重积分 f(x，y，z)dV 在三
15、种坐标系下化成累次积分，其中 是由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x 2 +y 2 z 2 ，z0 所围成的区域(如图 922 所示) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用直角坐标系 先求区域 在 xOy平面上的投影域 D，它是由球面与锥面的交线所确定，即 x 2 +y 2 R 2 ，z=0若依照由 z到 y再到 x的顺序积分，则 )解析：21.利用球坐标变换求三重积分，I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是球体：x 2 +y 2 +(z1) 2 1，在球坐标变换：x=sincos，y=sinsin，z=cos 下， =(，)02，0 ，02cos)， 于是 )
16、解析：22.求 I= dxdy，其中 D为 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 区域 D如图 923被积函数只含 y，先对 x积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单若先对 y积分，则求积分 dy要费点功夫 选择先对 x积分，将 D分块： D=(x，y)0y 于是 )解析：23.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： dy的原函数不是初等函数，故 dy积不出来，因此选先 x后 y的顺序积分区 域 D如图 924，于是 )解析：24.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 区域 的图形不好画(可不必画出)，但易求出 在 xOy平面上的投影区域 D(见图 9
17、25)，D 的边界线是：x+y=1， x=0， y=0 因而易写出 的不等式表示=(x，y，z)0zxy，(x，y)D 于是选择先一(先 z)后二(后 x，y)的积分顺序：I= x 2 y 2 dxdy 再将二重积分化为定积分(先 x后 y或先 y后 x均可) )解析：25.求 I= y 2 dV，其中 由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 区域 由右半椭球面及 zx平面围成的右半椭球体(如图 926 所示)它在 zx平面 的投影区域 D zx 是： 1，于是 =(x，y，z)0yb ，(z，x)D zx 另一方面，过 Y轴上任意点 y0，b作垂直 y轴的平面与 相交成区域 D(y)
18、，则 D(y)： ，0yb， 它的面积 S(y)=ac ，于是 =(x，y，z)0yb，(z，x)D(y) 由于被积函数仅与 y有关，而 D(y)面积已知，我们选择先二后一(先 zx后 y)的积分顺序得 )解析：26.求 I= L xds，其中 L为x+y=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 为正方形的边界如图 929因为 L关于 x，y 轴均对称，被积函数x关于 y与 x均为偶函数，于是 I=4 L1 xds=4 )解析：27.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= (ax+by+cz+) 2 dS = (ax) 2 +(by) 2 +(cx) 2 +
19、 2 +2abxy+2aczx+2bcyz+2ay+2by+2czdS 根据积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知 又由坐标的轮换对称性知 因此 )解析：28.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在积分区域 D上被积函数分段表示为 yx 2 = (x，y)D， 因此要将D分块，用分块积分法又 D关于 y轴对称，被积函数关于 x为偶函数，记 D 1 =(x，y)(x，y)D，x0，yx 2 ，D 2 =(x，y)(x，y)D，x0，yx 2 ， 于是 )解析：29.设 D由抛物线 y=x 2 ，y=4x 2 及直线 y=1所围成用先 x后 y的顺序将 I= （分数：2.00）_正
20、确答案：(正确答案： 区域 D如图 930 所示，将 D分成 x0 与 x0 两部分，用分块积分法得 )解析：30.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域：(x1) 2 +(y1) 2 1，见图 931作平移变换： u=x1，v=y1，则 I= )解析：31.计算三重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是两个球体 x 2 +y 2 +z 2 4 与 x 2 +y 2 +z 2 4z(x 2 +y 2 +(z2) 2 4)的公共部分，两球面的交线是 图 932 是 在 yz平面上的截面图 这里适宜用球坐标变换的情形这时要用锥面 z= (以原点为顶点，通
21、过两球的交线) 将 分成 = 1 2 ，其中 1 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 4，z ， 2 =x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 4z，z ，见截面图 933，用球坐标表示 1 ：02，0 ，02， 2 ：04cos， ，02， 其中球面 x 2 +y 2 +z 2 =4z的球坐标方程是 =4cos，锥面 z= 的方程是 = 因此 )解析：32.求 I= dydz，其中为下半球面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意上 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，则 I= xdydz 在 xy平面上的投影区域D xy ：x 2 +y 2 a 2 ，且 于是 )解析：33.求 I= (x 2 y 2 )dydz+(y 2 z 2 )dzdx+(z 2 x 2 )dxdy，S 是上半椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求 S在 xy平面上的投影区域 D： 1于是 这里，D 关于 x，y 轴均对称， 对 x是奇函数， 对 y也是奇函数，就有 现归结为求 其中 D 1 =Dx0，y0 用极坐标变换：x=rcos，y=rsin，则 于是 由对称性(将 x，y 互换，同时 a，b 也互换，D 不变) dxdy 因此 I=ab )解析：
