1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 4 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 f(x，y)dy；2 f(x， y)dy(t0)；3 极坐标系下的累次积分 f(rcos，rsin)rdr4 I= dy；5 I= ln(1+x2+y2)dy(R0) 6 I= x3y2zdV，其中 是由 x=1，x=2，y=0 ，y=x 2，z=0 及 z= 所围成的区域7 I= (lx2+my2+nz2)dV，其中 ：x 2+y2+z2a2，l，m，n 为常数8 I= zdV，其中 ：x 2+y2+z22，x 2+y2z9 I= (x+y+z)dV，其中 ：x 2+
2、y2+z22az， z(a0)10 f(x，y，z)dy ，变成由 z 到 y 再到 x 的顺序11 f(x，y，z)dz，改换成先 y 最后 x 的顺序12 考虑柱坐标系下的三重累次积分 I= 3dz()将 I 用直角坐标(Oxyz)化为累次积分；( )将 I 用球坐标化为累次积分；()求 I 的值13 求14 设 L 为抛物线 y=x2 上，从点 A(1，1)到 B(1， 1)的一段，求 I=L(x22xy)dx+(y22xy)dy 15 求积分 I= dy，其中 C：y=1 ，x=4，y= 逆时针一周16 计算曲面积分 I= (x+y+z)dS，其中 为左半球：x 2+y2+z2=R2，
3、y017 计算曲面积分 ，其中为圆柱面 x2+y2=R2 界于 z=0 及 z=H 之间的部分，r 为曲面上的点到原点的距离(H0)18 设 S 为柱面 x2+y2=a2(0zh)的外侧，满足 x0 的一半，求I= zdydz+xyzdzdx+ydxdy19 求曲面积分 I= (x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中 S 为 x+y+z=在第一卦限部分，取上侧20 求曲线积分 I=Cxydx+yzdy+xzdz，C 为椭圆周：x 2+y2=1，x+y+z=1，逆时针方向21 求下列区域力的体积： ()：x 2+y2a2，z0，zmx(m0)； ()：由
4、y2=a2az ，x 2+y2=ax，z=0(a0)围成； () ：由 z=x2+y2，x+y+z=1 所围成22 设曲面 S 是上半球面 x2+y2+z2=a2(z0，a0)被柱面 x2+y2=ax 所割下部分，求 S的面积23 设曲面 z= (x2+y2)，其面密度 为常数，求该曲面在 0z 部分 S 的质量与质心24 设质点 P 沿以 为直径的下半圆周，从点 A(1，2)运动到 B(3，4)的过程中，受变力 F 的作用， F 的大小等于点 P 到原点 O 之距离，方向垂直于线段 ，与 y 轴正向的夹角小于 ，求变力 F 对质点 P 做的功25 设有平面光滑曲线 l：x=x(t)，y=y(
5、t) ，z=0，t， ，以及空间光滑曲线L：x=x(t)，y=y(t) z=f(x(t)，y(t)，t ，t=，t= 分别是起点与终点的参数( )试说明 l，L 及曲面 S：z=f(x，y)的关系；()若 P，Q ，R 连续，f(x，y)有连续的偏导数，求证： LP(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz=lP(x，y，f(x，y)+ R(x，y，f(x，y)dx+Q(x，y，f(x，y)+ R(x， y，f(x ，y) dy26 设 P(x，y，z)，Q(x， y，z) ，R(x，y，z)在区域 连续，：x=x(t)，y=y(t) ，z=z(t)是 中一条光滑曲线，起点
6、 A，终点 B 分别对应参数 tA 与 tB，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，使得 du=Pdx+Qdy+Rdz (称为 Pdx+Qdy+Rdz 在 的原函数)求证：I=27 设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明：28 设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?29 求一段均匀圆柱面 S： x2+y2=R2(0zh)对原点处单位质点的引力假设该圆柱面的面密度为 130 求 ，其中 L：x 2+y2=R2 的正方向考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 4 答案与解析一、解答题解答应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 如图 912 所示【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用2 【正确答案】 如图 913 所示当 x0，t 2时， t(t0)，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用3 【正确答案】 在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 914)原积分= f(rcosrsin)rdrdr2=sin2=sin( 一 2)于是 一 2=arcsinr2，=arcsinr2因此 原积分 = f(rcos，rsin)rd 【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用4 【正确答案】 如图 915 所示【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及
8、其应用5 【正确答案】 如图 916 所示【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用6 【正确答案】 () 区域 由平面 x=1，x=2，y=0，z=0 及抛物柱面 y=x2 与双曲柱面 z= 围成，易求出 在 xy 平面(或 zx 平面)上的投影区域 Dxy(或 Dzx)D xy 由 x=1，x=2，y=0，y=x 2 围成， Dxy=(x，y)1x2 ，0yx 2，见图 917 一(a)Dzx 由 x=1，x=2，z=0，z= 围成，即Dzx=(z，x) 1x2，0z ，见图 917 一(b) 于是 =(x，y，z)1 0z ，(x，y) Dxy，或 =(x，y，z) 0yx 2，(z
9、，x)Dzx ()根据 的表示，宜选择先对 z(或 y)积分后对 xy(或 zx)积分的顺序若先对 z 积分得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用7 【正确答案】 由变量的轮换对称性，可得 用球坐标变换求【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用8 【正确答案】 是旋转体(如图 918)，选用柱坐标变换先求交线由 选择先 z后 r， 的积分顺序， 的柱坐标表示：02，0r1，r 2z 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用9 【正确答案】 关于 yz 平面与 zx 平面均对称用球坐标变换，球面 x2+y2+z2=2az 与锥面的球坐标方程分别为 =2acos，= 的球
10、坐标表示D：02， 0 ，02acos，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用10 【正确答案】 这里每个二重积分都是矩形区域上二重积分的积分次序的交换【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用11 【正确答案】 I= f(x，y， z)dydz，其中 D(x)：0y1，0zx 2+y2现改为先 y 后 z 的顺序，将 D(x)分成两块：0xx2，0y1；x 2z1+x2， y1，如图 919则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用12 【正确答案】 () 积分区域 ： (x，y)Dxy，其中 Dxy=(x，y)x 2+y22于是 I= 3dz()是由锥面 z= (球坐
11、标方程是 =2)围成 的球坐标表示是 02，0 ，02，于是()用球坐标最为方便【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用13 【正确答案】 I= ，其中 ：1z1+ ，(x，y)D xy 如图 920 一(a) 它是由半球面：(z 一 1)2=1 一 x2 一 y2 (z1)与平面 z=1 所围成的 y0 部分作球坐标变换z=1 对应 = ，半球面对应p=2cos 的球坐标表示(如图 920 一(b)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用14 【正确答案】 L：y=x 2，x 1，1【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用15 【正确答案】 (直接计算)【知识模块】 多元函
12、数积分的概念、计算及其应用16 【正确答案】 关于 xy 平面，yz 平面对称(如图 922)投影到 zx 平面，由 x2+y2+z2=R2， y0投影区域 Dzx：x 2+z2R2，于是 I=dxdz=R.R 2= R3【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用17 【正确答案】 r 2=x2+y2+z2关于 zx 平面，yz 平面均对称，则 I=4 ，如图 923 1：x 2+y2=R2，x，y0，投影区域Dzx：0xR ， 0zH，【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用18 【正确答案】 S 如图 924，S 垂直 xy 平面，于是ydxdy=0，I= zdydz+xyzdz
13、dx投影到 yz 平面直接计算较为方便s 表为 x=(y，z)D yz，其中 Dyz：0zh，一 aya代公式得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用19 【正确答案】 I= xdydz+ydzdx+zdxdy+ cosydydz+coszdzdx+cosxdxdy I1+I2平面 S 的单位法向量 N=(cos，cos ，cos)= (1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得下面求 I2投影到 xy平面上化为二重积分S 的投影区域为 Dxy，如图 925，则有I2= cosy.(一 zx)+cos( 一(x+y).( 一 zy)+cosxdxdy=cos(x+y)dxdy，其中
14、由 z= 一(x+y)得 zx= 1，z y=1由于 Dxy 关于 y=x 对称，则有因此I2=22( 2)=6因此 I=I 1+I2= +6【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用20 【正确答案】 C 的参数方程为 t0，2I= costsint(一sint)+sint(1 一 costsint)cost+cost(1 一 costsint)(sint 一 cost)dt=cos3tdt=+ (1sin 2t)dsint=【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用21 【正确答案】 ()D xy： x2+y2a2， x0，如图926 =x，y，z) 0zmx，(x，y)D xy(
15、)=(x，y，z) 0z (a2 一 y2)，(x，y)D xy，()由消去 z 得 x2+y2+y=1，即 于是 在 Oxy 平面上的投影区域(如图 927)是 D=(x，y)(x+ ，围成 区域的上曲面是 z=1 一 x 一 y，下曲面是 z=x2+y2，因此 的体积【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用22 【正确答案】 S ：z= (x，y) Dxy： ，如图928【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用23 【正确答案】 质量 M= (x2+y2)，(x，y)D xy：x 2+y23又=y，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用24 【正确答案】 如图 92
16、9 ()先求作用于 P(x，y)的力 F：F= 与 =x，y垂直的向量 y，x，其中与 y 轴正向成锐角的是一 y，x，于是 F=一 y，x ()F 对 P 所做的功 W= ydx+xdy()写出 的参数方程：(x 一 2)2+(y 一 3)2=【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用25 【正确答案】 ()l 是 L 在 xy 平面上的投影曲线，定向相同以 l 为准线，母线平行于 z 轴的柱面与曲面 S 相交得曲线 L()按线积分化定积分公式得三式相加即得证【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用26 【正确答案】 由 du=Pdx+Qdy+Rdz 由曲线积分化定积分公式 再由复
17、合函数求导公式得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用27 【正确答案】 先将累次积分表成二重积分，则有其中 D=(x，y)0x1，xy1，如图930，它与 D=(x，y) 0x1，0yx关于 y=x 对称于是因此，【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用28 【正确答案】 可设的球心为(0，0，a)， 的方程是 x2+y2+(z 一 a)2=R2，与定球的交线为 a2 一 z2=R2 一(z a)2，x 2+y2=R2 一(z a)2，即 在定球内部那部分在 Oxy 平面上的投影区域为这部分球面的方程是 z=a 一(x，y) D它的面积是现计算 S(R)=4R因 S(0)=S(
18、2a)=0，所以 R=时，在定球内部的那部分面积最大【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用29 【正确答案】 () 设引力 F=Fx，F y，F z，由对称性知，F x=0，F y=0因此只需求 F 沿 z 轴的分量 Fz如图 931 ()在圆柱面上任一点(x，y， z)处取一小块曲面元 dS，记 r=x，y，z，r= r= ，则曲面元对原点处单位质点的引力 dF=k. dS，它沿 z 轴的分量为 dFz=k dS()圆柱面对原点单位质点的引力的 z 分量 Fz= dS () 计算曲面积分要投影到 yz平面(或 zx 平面)来计算圆柱面 S 在 yz 平面的投影区域为 Dyz=(y，z)0zh，一 RyR，曲面 S 的方程为 x=，记 S1 为前半圆柱面，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用30 【正确答案】 将 L 表成参数方程的形式，即 x=Rcos，y=Rsin(002)，于是注意到右端积分存在且为一常数，所以 =0【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用
