1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、填空题1 设 D 为两个圆 x2+y21 及(x2) 2+y24 的公共部分，则I= yd=_2 设 D 为 y=x3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= xyd=_3 I= =xydxdy=_ 4 设 D：0x1，0y1 ，则 I= d=_5 设 I1= 2x2y2d，则这三个积分的大小顺序是_ _6 设 D 为圆域 x2+y2x，则 I= d=_7 设 L 是正方形边界：x+y=a(a0) ，则I=Lxyds=_，J= Lxds=_ 8 设为平面 y+z=5 被柱面 x2+y2=25 所截得的部分，则曲面积
2、分 I= (x+y+z)dS=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求下列曲面积分：()I= ydS，其中 是平面 x+y+z=1 被圆柱面 x2+y2=1 截出的有限部分；()I= zdS，其中是锥面 z= 在柱体 x2+y22x 内的部分10 求下列曲面积分：()I= xyzdxdy +xzdydz+z2dzdx，其中 x2+z2=a2 在 x0 的一半中被 y=0 和 y=h(h0)所截下部分的外侧(见图 960)；()I= xydzdx，其中 S 是由曲线 x=ey2(0ya)绕 x 轴旋转成的旋转面，取外侧11 求区域 的体积 V其中 ：由 z=xy，x 2+y2=
3、a2，z=0 围成12 求区域 的体积 V，其中 是半球面 z= 及旋转抛物面 x2+y2=2az所围成13 求区域 的体积，其中 是由曲面 z=y2(y0)，z=4y 2(y0)，z=z，z=2x，z=4 所围成14 求下列曲面的面积：()半球面 z= 及旋转抛物面 2az=x2+y2 所围立体的表面 S；( )锥面 z= 被柱面 z2=2x 所割下部分的曲面 S15 求八分之一球面 x2+y2+z2=R2，x0，y0，z0 的边界曲线的质心，设曲线线密度 =116 求密度为 1 的均匀圆柱体 x2+y2a2，zh 对直线 L：x=y=z 的转动惯量17 设位于点(0，1) 的质点 A 对于
4、质点 M 的引力大小为 (k0 为常数，r=AM) 分别求下列运动过程中 A 对质点 M 的引力所作的功(如图 967)：() 质点 M 沿曲线 y= 自 b(2，0)运动到 O(0，0) ；()质点 M 在圆 x2+y2=22 上由 B 点沿逆时针方向运动到 B 点18 设流速 V=(x2+y2)j+(z1)k，求下列情形流体穿过曲面的体积流量 Q(如图969) ： ()为圆锥面 x2+y2=z2(0z1)，取下侧；()为圆锥体(z 2x2+y2， 0z1)的底面，法向量朝上19 设 f(u)连续，f(0)=1，区域 ： t0，又设 F(t)= f(x2+y2+z2)dV，求20 设函数 f
5、(x)在区间a，b上连续，且恒大于零，证明：21 记 (R)=(x，y) x 2+y2R2，求 dxdy；22 证明23 计算 I= dxdy，其中 D 为曲线 y=lnx 与二直线 y=0，y=(e+1)x 所围成的平面区域24 计算 I= x2ey2 dxdy，其中 D 是以 O(0，0)，A(1，1)，B(1，1)为顶点的三角形区域25 计算 I= d，其中 D：1x 2+y29，26 计算 I= sin(xy) dxdy，其中 D：0xy2；27 计算 I= (x+y)2dxdy，其中 D：x+ y1；28 计算 I= dxdy，其中 D：x0 ，y0，x+y1；29 设 a0 为常数
6、，求积分 I= xy2d，其中 D：x 2+y2ax30 f(x，y)dy；考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 3 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 0【试题解析】 D 关于 x 轴对称，被积函数对 y 为奇函数 I=0【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用2 【正确答案】 0【试题解析】 D 如图 91 所示添加辅助线 y=x 3(x0)，将 D 分解成D=D1D2，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数 xyd=0+0=0【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用3 【正确答案】 【试题解析】 区域如图 9
7、2 所示，由对称性与奇偶性 I=4 xyd，其中D1：0y1 一 x，0x1 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用4 【正确答案】 【试题解析】 D 关于直线 y=x 对称 与原式相加【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用5 【正确答案】 I 3I 1I 2【试题解析】 比较 I1 与 I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2+y21)包含在正方形区域(x1，y1)中 I1I 2比较 I1 与 I3 积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x4+y4 I1I 3因此 I 3I 1I 2【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用6 【正确答案】 【试
8、题解析】 D 如图 93用极坐标变换，D 的极坐标表示：【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用7 【正确答案】 0 【试题解析】 L 如图 94，它关于 x(或 y)轴对称，f(x，y)=xy 对 y(或 x)为奇函数Lxyds=0L 关于直线 y=x 对称(变量的轮换对称性) J=Lxds= Lyds【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用8 【正确答案】 【试题解析】 用的方程简化被积表达式得其中 xdS=0，因为关于 yz 平面对称，被积函数 x 对 x 为奇函数的一个单位法向量 n=(cos，cos，cos)=因此 I=5.的面积=125【知识模块】 多元函数积分的概念、
9、计算及其应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 () 积分曲面的表达式为 z=1xy，在 xy 平面上的投影为圆D：x 2+y21，所以 ()利用锥面的表示式 z= ，可知又锥面在 Oxy 平面的投影区域 D：x 2+y22x，极坐标表示是： ，0r2cos ，因此【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用10 【正确答案】 () 本题实际上可以分三个积分计算，即 I=I1+I2+I3将在 yz 平面上的投影记为 Dyz，则 Dyz：0yh，aza注意到 的法线方向与 x 轴正方向夹锐角，则 I2= dydz此时已化成了二重积分，注意到 Dyz 关于 y 轴
10、对称，而被积函数为 z 的香函数。故 I2=0由于垂直于 zx 平面(它在 zx 平面上的投影域面积为零)，故 I3= z2dzdx=0，而所以， I=I 1+I2+I3=h2a3 () 曲面 S 的方程是：x=e y2+z2(y2+z2a2)，见图961S 在 yz 平面上的投影区域 Dyz 易求，D yz： y2+z2a2，x=0，又=2yey2+z2，S 的法向量与 x 轴正向成钝角，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用11 【正确答案】 如图 962，注意曲面 z=xy，第一、三象限时位于 Oxy 平面的上方，第二、四象限时位于 Oxy 平面的下方区域 由曲面 z=xy，
11、柱面 x2+y2=a2 及xy 平面所围成z=xy 在 Oxy 平面的投影区域 D=(x，y)x 2+y2a2因此 的体积【试题解析】 区域 由曲面 z=z(x，y)及它在 Oxy 平面上的投影区域 D 及以 D 的边界为准线，母线平行于 z 轴的柱面所围成，则 V= z(x ，y)dxdy关键是由所给条件得出曲顶的曲面方程与底面的区域 D【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用12 【正确答案】 先解方程组 得两曲面的交线为由立体的形状可知，它在 Oxy 平面上的投影为圆域D=(x，y) x 2+y22a2，如图 963因此 的体积为【试题解析】 区域 是由上、下两张曲面 z=z2(x
12、，y)z=z 1(x，y)所围成，这时关键要求出它在 xy 平面上的投影区域 D常用的方法是：由 消去 z 得某方程 F(x，y)=0，D 就是 xy 平面上由曲线 F(x，y)=0 所围的区域【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用13 【正确答案】 如图 964，=(x，y，z (z，x)Dzx， Dzx=(z，x) xz，0z4力的体积为或 也可表成(如图 965)：=(x，y，z) xz，(y，z) Dyz)，Dyz=(y，z) ，0z4 ，于是【试题解析】 这是侧面是柱面的曲顶、曲底柱体区域对这类问题要由所给条件确定出侧面柱面，然后再定上、下底曲面确定了侧面(柱面)也就确定了
13、的投影区域【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用14 【正确答案】 () 两曲面的交线及在 Oxy 平面上的投影区域 D曲面 S 分成两块对曲面 S1：z= 来说 它的面积对于曲面 S2：z=它的面积因此，整个曲面的面积 A=A1+A2=a2 ()先解方程组 消去 z 得 x2+y2=2x这就是两曲面的交线在Oxy 平面上的投影，也就是曲面 S 在 Oxy 平面上投影区域 D 的边界曲线，因而D=(x，y) x 2+y22x=(x，y) (x1) 2+y21在锥面 z=，因此曲面 S 的面积 A=(D 是半径为 1 的圆，面积为 )【试题解析】 在用公式 dxdy 求曲面 S：z=f(
14、x，y)(x ，y) D)的面积时，关键之一是确定 S 在 Oxy 平面的投影区域 D因为题目中往往不是直接给出这个投影区域若曲面是由垂直于 Oxy 平面的柱面所截，则它在 Oxy 平面上的投影区域就是柱面截下 Oxy 平面部分若曲面是由两张相交曲面组成，则需求它们的交线才可求得投影区域如题()对于题(1I)，求投影区域的方法本质上与题()相同【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用15 【正确答案】 设边界曲线在 Oxy，Oyz，Ozx 坐标平面内的弧段分别记为L1，L 2，L 3(见图 966) 设曲线的质心为 直接按质心计算公式知： 其中 L=L1L2L3，m= Lds=Lds为曲
15、线 L 的质量由于 =1，则质量 m=L 的长度=3 R又因由对称性知 即质心为【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用16 【正确答案】 先求圆柱体上任意点(x，y，z) 到直线 L 的距离的平方再求圆柱体对 L 的转动惯量【试题解析】 这里不是求物体对坐标轴的转动惯量，因此不能套用已有的公式，要学会求转动惯量的方法质量为 m 的质点对 L 的转动惯量是 md2，d 是质点到L 的距离因此，这里必须先求点(x，y，z)到直线 L 的距离【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用17 【正确答案】 () 由曲线的参数方程计算曲线积分半圆的参数方程0，()求出了原函数，积分与路径无关，
16、沿闭路积分为零，即 W=0【试题解析】 首先求出引力 F：F= F 与(x，1y)求功就是求曲线积分 W= (xdx+(1y)dy)题()与题()分别给出两种不同的路径【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用18 【正确答案】 () 首先，用曲面积分表示流量，即 Q= (x2+y2)dzdx+(z1)dxdy直接投影到 xy 平面上代公式求 Q由的方程 z=，在 xy 平面上的投影区域 D：x 2+y21(z=0)()圆锥体(z2x2+y2，0z1)的底面即 x2+y21，z=1 ，它垂直于 zx 平面，在上 z1=0，因此 Q= (x2+y2)dzdx+(z1)dxdy=0+0=0【知
17、识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用19 【正确答案】 因此【试题解析】 本题需要先将 F(t)化为定积分，由于力由球面与锥面围成，又被积函数只与 = 有关，故应选用球坐标系【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用20 【正确答案】 利用积分变量的改变，可得其中D=(x，y) axb，ayb并且利用对称性(D 关于 y=x 对称)，可得【试题解析】 有时把一元函数的积分问题转化为二元函数的积分问题便可使问题得到解决这里记 D=(x，y)axb ，ayb，则定积分之积就可表为二重积分：然后利用二重积分的性质便可得证【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用21 【正确答案】 首先
18、用极坐标变换求出 I(R)= dxdy，然后求极限I(R)作极坐标变换 X=rcos，y=rsin 得因此，dxdy=【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用22 【正确答案】 因为 e x2 在( ，+)可积，则 ex2 dx通过求 ex2 dx 再求极限的方法行不通，因为 ex2 dx 积不出来(不是初等函数)但可以估计这个积分值为了利用 e(x2+y2) dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题其中 D(R)=(x， y)xR ，y R显然 I(R) 又=，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用23 【正确答案】 y=lnx 与 y=(e+1)一
19、x 的交点是(e ，1) ，D 如图 95 所示，在 Oxy坐标系中选择先 x 后 y 的积分顺序(D 不必分块)得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用24 【正确答案】 D 如图 96 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数I=2 x2ey2 dxdy，其中 D1=Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用25 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则 D：1r3， 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用26 【正确答案】 (分块积分法)D 如图 97 一(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将 D 分成
20、D=D1D2，以 y 一 x= 为分界线( 如图 97 一(b) 在 D1 上，y 一x2；在 D2 上，0y 一 x，则 I= sin(y 一 x)d+ sin(y 一 x)d 在 D2 上边界分段表示(如图 97 一(c)，也要分块积分【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用27 【正确答案】 D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D1，如图 98【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用28 【正确答案】 极坐标变换 x=rcos，y=rsin D：0 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用29 【正确答案】 D 是圆域(如图 910)：(x 一 作极坐标变换x=rcos，y=rsin，并由 D 关于 x 轴对称，x 轴上方部分为D1：0 0racos于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用30 【正确答案】 如图 911 所示【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用
