1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）-试卷 1及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 D是有界闭区域，下列命题中错误的是（分数：2.00）A.若 f(x，y)在 D连续，对 D的任何子区域 D 0 均有 f(x，y)d=0，则 f(x，y)=0( B.若 f(x，y)在 D可积，f(x，y)0 但不恒等于 0 (x，y)D)，则C.若 f(x，y)在 D连续， D.若 f(x，y)在 D连续，f(x，y)0 (x，y)D)，则3.比较积分值的大
2、小： I 1 = sin(x+y) 3 dxdy， 其中 D由 x=0，y=0，x+y= （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 2 I 1 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1 I 2 4.比较积分值的大小： J i = （分数：2.00）A.J 1 J 2 J 3 B.J 2 J 3 J 1 C.J 1 J 3 J 2 D.J 3 J 2 J 1 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设 f(x，y，z)在 R =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 R 2 连续，又 f(0，0，0)0，则 R0 时， （分数：2.00）填空项 1:_6.设 L为
3、x+y=1，取逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.计算曲面积分 （分数：2.00）_9.设 为曲面 x 2 +y 2 =az与 z=2a 所围成的空间区域(如图 935)，求它的体积，其中 a0 （分数：2.00）_10.求柱面 x 2 +y 2 =ax含于球面 x 2 +y 2 +z 2 = 2 内的曲面面积 S（分数：2.00）_11.记 I l 为物体对 l轴的转动惯量， 为对平行于 l轴并通过物体质心的轴 l的转动惯量，d 为两轴间的距离，M 为物体
4、的质量，证明：I l = （分数：2.00）_12.设一均匀物体由两曲面 x 2 +y 2 =azz=2a （分数：2.00）_13.求 I= （分数：2.00）_14.设 S与 S 0 分别为球面(xa) 2 +(yb) 2 +(zc) 2 =R 2 与 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，又 f(x，y，z)在 S上连续，求证： f(x，y，z)ds= （分数：2.00）_15.求 I= （分数：2.00）_16.设 L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x，y)，Q(x，y)连续 ()L 关于 y轴对称(图 940)，则 其中 L 1 是 L在右半平面部分 ()L 关于 x轴对称(图 9
5、41)，则 （分数：2.00）_17.设分块光滑定向曲面 S关于 xy平面对称，S 在 xy平面上方部分记为 S 1 (方程为 z=z(x，y)，(x，y)D xy )，下方部分记为 S 2 ，又设 R(x，y，z)在 S连续，求证： （分数：2.00）_18.计算 L (x 2 +y 2 )ds，其中 L为 x 2 +y 2 +z 2 =1与 x+y+z=1的交线（分数：2.00）_19.交换累次积分的积分顺序：I= （分数：2.00）_20.将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：I= （分数：2.00）_21.计算累次积分：I= （分数：2
6、.00）_22.交换累次积分的积分顺序：I= （分数：2.00）_23.求 I= （分数：2.00）_24.将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反： () f(rcos，rsin)rdr写成直角坐标系下先对 y后对 x积分的累次积分； ()计算 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.计算二重积分 （分数：2.00）_27.计算下列二重积分： () xyd，其中 D是由曲线 r=sin2(0 )围成的区域； () xyd，其中 D是由曲线 y= （分数：2.00）_28.求下列二重积分： ()I= ，其中 D为正方形域：0x1，0y1； ()I= 3x+4y
7、dxdy，其中 D：x 2 +y 2 1； ()I= ydxdy，其中 D由直线 x=2，y=0，y=2 及曲线 x= （分数：2.00）_29.求下列三重积分： ()I= xy 2 x 3 dV，其中 是由曲面 z=xy，y=x，z=0，x=1 所围成的区域；()I= dV，其中 由 y= ，y=0，z=0，x+z= 围成； ()I= （分数：2.00）_30.求下列三重积分： ()I= (x 2 +y 2 )dV，其中 由 z=16(x 2 +y 2 )，z=4(x 2 +y 2 )，z=16围成； ()I= dV，其中 由 x 2 +y 2 +z 2 2z 所确定； ()I= （分数：2
8、.00）_31.求下列三重积分： ()I= dV，其中 是球体 x 2 +y 2 +z 2 R 2 (hR)； ()I= ze (x+y)2 dV，其中 ：1x+y2，x0，y0，0z3； ()I= (x 3 +y 3 +z 3 )dV，其中 由半球面 x 2 +y 2 +z 2 =2z(z1)与锥面 z= （分数：2.00）_32.求下列曲线积分： ()I= L xyds，其中 L： =1(ab0)； ()I= L y 2 ds，其中平面曲线 L为旋轮线 （分数：2.00）_33.求曲线积分 I= C (x+y)dx+(3x+y)dy+zdz,其中 C为闭曲线 x=asin 2 t，y=2a
9、costsin，z=cos 2 t(0t)，C 的方向按 t从 0到 的方向（分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）-试卷 1答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 D是有界闭区域，下列命题中错误的是（分数：2.00）A.若 f(x，y)在 D连续，对 D的任何子区域 D 0 均有 f(x，y)d=0，则 f(x，y)=0( B.若 f(x，y)在 D可积，f(x，y)0 但不恒等于 0 (x，y)D)，则 C.若 f(x，
10、y)在 D连续， D.若 f(x，y)在 D连续，f(x，y)0 (x，y)D)，则解析：解析：直接指出其中某命题不正确 因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确 设(x 0 ，y 0 )是 D中某点，令 f(x，y)= 则在区域 D上 f(x，y)0且不恒等于 0，但 f(x，y)d=0因此选(B) 或直接证明其中三个是正确的 命题(A)是正确的用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证若 f(x，y)在 D不恒为零 (x 0 ，y 0 )D，f(x 0 ，y 0 )0，不妨设(x 0 ，y 0 )0，由连续性 有界闭区域 D 0 D，且当(x
11、，y)D 0 时 f(x，y)0 f(x，y)d0，与已知条件矛盾因此，f(x，y)0 ( (x，y)D) 命题(D)是正确的利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证这是因为 f(x，y) f(x，y)=f(x 0 ，y 0 0)0，其中(x 0 ，y 0 )是 D中某点于是由二重积分的不等式性质得 f(x，y)df(x 0 ，y 0 )0，其中 是 D的面积 命题(C)是正确的若 f(x，y)0 在(x，y)D 上 f 2 (x，y)0 且不恒等于 0由假设 f 2 (x，y)在 D连续 3.比较积分值的大小： I 1 = sin(x+y) 3 dxdy， 其中 D由 x
12、=0，y=0，x+y= （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 2 I 1 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1 I 2 解析：解析：在区域 D上， t1 时，lntsintt，从而有(x，y)D 时， ln 3 (x+y)sin 3 (x+y)(x+y) 3 ， 则 4.比较积分值的大小： J i = （分数：2.00）A.J 1 J 2 J 3 B.J 2 J 3 J 1 C.J 1 J 3 J 2 D.J 3 J 2 J 1 解析：解析：D 1 ，D 2 是以原点为圆心，半径分别为 R， R的圆，D 3 是正方形，显然有 D 1 二、填空题(总题数：2，分
13、数：4.00)5.设 f(x，y，z)在 R =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 R 2 连续，又 f(0，0，0)0，则 R0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：三阶）解析：解析：本题就是确定 n=?使得 =A0 由积分中值定理知， (x 0 ，y 0 ，z 0 ) R ，使得 f(x，y，z)dV=f(x 0 ，y 0 ，z 0 ). R 3 ，则 因此 R0 时， 6.设 L为x+y=1，取逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于曲线 L关于 x轴与 y轴均对称(见图 929)，且被积函数 P
14、=Q= 三、解答题(总题数：27，分数：54.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据两类曲面积分的关系，知 x 2 zdxdy 又根据的表达式：z= ，以及 为锐角，因此 )解析：9.设 为曲面 x 2 +y 2 =az与 z=2a 所围成的空间区域(如图 935)，求它的体积，其中 a0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用柱形长条区域的体积公式求一个二重积分 由 消去 z，得投影柱面x 2 +y 2 =a 2 ，于是， 在 xy平面上投影区域 D：x 2 +y 2 =(x，y
15、，z) ，(x，y)D，因此， 的体积为 )解析：10.求柱面 x 2 +y 2 =ax含于球面 x 2 +y 2 +z 2 = 2 内的曲面面积 S（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性只需考虑第一卦限部分将柱面方程表成 y为 x的函数是方便的：y= dzdx，D 是这部分柱面在 Ozx平面的投影区域，求出 D的关键是求柱面与球面的交线在 Ozx平面的投影曲线见图 937 柱面与球面的交线为 它在 Ozx平面上的投影曲线为 抛物线 z 2 =a 2 ax，它与 Ox轴，Oz 轴围成区域 D，则所求曲面面积为 )解析：11.记 I l 为物体对 l轴的转动惯量， 为对平行于 l轴并
16、通过物体质心的轴 l的转动惯量，d 为两轴间的距离，M 为物体的质量，证明：I l = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 l轴为 Oz轴，按右手系建立直角坐标系(如图 939)设物体占有空间区域，物体的质心坐标为( )，则由已知条件有 其中 为物体的体密度 物体对 的转动惯量为 即 I l = )解析：12.设一均匀物体由两曲面 x 2 +y 2 =azz=2a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据质量分布的均匀性以及图形关于 z轴的对称性可知，质心的坐标为(0，0，z * )，由质心坐标的计算公式得 其中 是该物体占据的空间区域， 是物体的体密度，它为常数 已经求得 a
17、 3 用先二后一的顺序求三重积分： 因此 z * = a，所求质心为(0，0， )解析：13.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= (x 2 +y 2 +z 2 )dxdydz+2 (xy+xz+yz)dxdydz = (x 2 +y 2 +z 2 )dV=2 (x 2 +y 2 +z 2 )dV， 这里 对三个坐标面均对称， xydV=0 (被积函数对 x为奇函数， 关于 yz平面对称；或被积函数对 y为奇函数， 关于 zx平面对称) 类似理由得 最后作柱坐标变换得 )解析：14.设 S与 S 0 分别为球面(xa) 2 +(yb) 2 +(zc) 2 =R 2 与 x
18、2 +y 2 +z 2 =R 2 ，又 f(x，y，z)在 S上连续，求证： f(x，y，z)ds= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：我们将证 f(x，y，z)ds 的二重积分表示即是 f(x+a，y+b，z+c)ds的二重积分表示 球面 S的方程可写成： 并分别记为 S 1 与 S 2 它们在 xy平面上的投影区域为 D xy ：(xa) 2 +(yb) 2 R 2 ，且 对二重积分作平移变换：u=xa，v=yb，可得 其中 D uv ：u 2 +v 2 R 2 ， 将 u，v 换成 x，y，上述二重积分也是 )解析：15.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()S
19、 的方程可改写成(xR) 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，是以(R，0，0)为心，R 为半径的球面，其面积为 4R 2 于是 I= 2R 2 dS=0+8R 4 =8R 4 ()I= 2(xa) 2 +(yb) 2 +(zc) 2 dS+2 a(xa)+b(yb)+c(zc)dS+ (a 2 +b 2 +C 2 )dS = R 2 dS+0+(a 2 +b 2 +c 2 ) )解析：16.设 L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x，y)，Q(x，y)连续 ()L 关于 y轴对称(图 940)，则 其中 L 1 是 L在右半平面部分 ()L 关于 x轴对称(图 941)，则 （分数：2.00）
20、_正确答案：(正确答案：()记 L=L 1 L 2 ，L 1 ，L 2 分别是 L在右半平面与左半平面部分，则 记 L 1 的参数方程为 x=x(t)，y=y(t)，t 从 a到 b，则 L 2 是：x=x(t)，y=y(t)，t 从 b到 a，于是 Q(x(t)，y(t)y(t)dt， 则有 )解析：17.设分块光滑定向曲面 S关于 xy平面对称，S 在 xy平面上方部分记为 S 1 (方程为 z=z(x，y)，(x，y)D xy )，下方部分记为 S 2 ，又设 R(x，y，z)在 S连续，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： R(x，y，z)dxdy 注意，由 S 1 的方
21、程可得 S 2 的方程：z=z(x，y)(x，y)D xy )不妨设 S 1 的法向量与 z轴正向成锐角，于是 S 2 的法向量与 z轴正向成钝角将曲面积分化为二重积分得 )解析：18.计算 L (x 2 +y 2 )ds，其中 L为 x 2 +y 2 +z 2 =1与 x+y+z=1的交线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于积分弧段关于 x，y，z 是对称的，所以由坐标的轮换对称性(坐标轴名称互换时，曲线 L的方程不变)得 这样，所要计算的就是 L的长度 L 为球面与平面的交线，所以它是圆，现求它的半径 r原点 O到平面 x+y+z=1的距离是 d= ， 因此 L的半径为 r= ，
22、于是 L (x 2 +y 2 )ds= )解析：19.交换累次积分的积分顺序：I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 x积分，就是从区域 D的左侧边界 x=y 2 到右侧边界 x=y+2两边界线的交点为(1，1)与(4，2)，于是由(98)式得 )解析：解析：将累次积分表为 f(x，y)d，累次积分的表示式表明：积分区域 D由两部分构成，当 0x1 时，区域 D的下侧边界为 y= ，上侧边界为 y= ；当 1x4 时，D 的下侧边界为y=x2，上侧边界为 y= ，即 D=(x，y)0x1， (x，y)1x4，x2y 其图形为图 942 所示，改变积分顺序，先对 x求积分，就要把区域
23、 D的边界表成 y的函数，即 D的左侧边界为 x=y 2 ，右侧边界为 x=y+2，最后再求出 x=y 2 与 x=y+2的两个交点的纵坐标 y=1和 y=2，即可将区域 D表为 20.将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r=2acos 是圆周 x 2 +y 2 =2ax，即(xa) 2 +y 2 =a 2 ，因此 D的图形如图943 所示为了先 后 r的积分顺序，将 D分成两块，如图 943 虚线所示，D=D 1 D 2 ，且 因此 )解析：解析：在直角坐标系中画出 D的图形，然后交换积分顺序
24、确定积分限或在 Or 直角坐标系中画出 D的图形，然后交换积分顺序21.计算累次积分：I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分限知：0x1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1；2x3 时xy3，于是积分区域 D如图 945 所示，因此 D可表示为 D=(x，y)xy3，y1xy，则原式= )解析：解析：本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对 y积分，必须先确定积分区域 D，然后再交换积分顺序22.交换累次积分的积分顺序：I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：据以上分析，把该累次积分看成是三重积分按先一
25、(z)后二的顺序化成的，则 I= f(x，y，z)dz， 其中 D xy =(x，y)0x1，0y1x，如图 946交换 x与 y的顺序得 I= f(x，y，z)dz 再把它看成三重积分按先二后一(y)的顺序化成的，则 I= f(x，y，z)dzdx， 其中 D zx =(z，x)0x1y，0zx+y，如图 947(对 z、x 积分时 y是参数，z、x变动时 y是不变的)，交换 x与 z的积分顺序(先对 x积分要分块积分)得 )解析：解析：这是对已化成累次积分的三重积分 f(x，y，z)dV 交换积分顺序的问题这时可不必画出 的图形(一般也很难画)，只要把它看成是一次定积分加一次二重积分化成的
26、，对其中的二重积分交换积分顺序，因而有时需分两步走，其中的每一步均是二重积分交换积分顺序问题如本题：第一步，交换 x与 y的次序；第二步，交换 x与 z的次序，就会得到以 x，z，y 的顺序的累次积分这种顺序交换可如同二重积分一样进行，关键步骤是画出二重积分区域的图形有了图形，积分限就容易写出了23.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：希望通过交换积分顺序，比较容易地算出这个累次积分把它看成是三重积分 dV按先一后二的顺序化成的于是 I= dz 其中 D xy =(x，y)，)0x1，xy1，如图 948 对外层积分按先 x后 y的顺序得 其中 D如图 949，按先 y后 z的
27、顺序配限得 )解析：24.将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反： () f(rcos，rsin)rdr写成直角坐标系下先对 y后对 x积分的累次积分； ()计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()D 的极坐标表示： ，0rsin，即 0，r 2 rsin，即 x 2 +y 2 y，x0，则 D为左半圆域：x 2 +y 2 y，x0，即 x 2 +(y ，x0 用先对 y后对 x积分D： ，于是 原式= ()积分区域 D为扇形(x，y)0y R，0xy(x，y) RyR，0x 所以 原式= )解析：解析：题()是极坐标变换下的累次积分，先写成 25.计算 （分数：
28、2.00）_正确答案：(正确答案：由于圆的方程为：(xa) 2 +(ya) 2 =a 2 ，区域 D的边界所涉及的圆弧为y=a 所以 )解析：26.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 如图 950，用直线 y=x+2，y=x 将 D分成 D 1 ，D 2 与 D 3 于是 )解析：27.计算下列二重积分： () xyd，其中 D是由曲线 r=sin2(0 )围成的区域； () xyd，其中 D是由曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分域 D见图 951D 的极坐标表示是：0 ，0rsin2，于是 ()选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为 r=
29、1与 r=2sin，交点的极坐标为(1，)，见图 952，于是积分域 D的极坐标表示为 D=(r，) ，1r2sin，则 )解析：28.求下列二重积分： ()I= ，其中 D为正方形域：0x1，0y1； ()I= 3x+4ydxdy，其中 D：x 2 +y 2 1； ()I= ydxdy，其中 D由直线 x=2，y=0，y=2 及曲线 x= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解 ()尽管 D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便 D 的边界线 x=1及 y=1的极坐标方程分别为 于是 ()在积分区域 D上被积函数分块表示，若用分
30、块积分法较复杂因 D是圆域，可用极坐标变换转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质 作极坐标变换x=rcos，y=rsin，则 D：02，0r1从而 其中 sin 0 = 由周期函数的积分性质，令 t=+ 0 就有 () D 的图形如图 953 所示若把 D看成正方形区域挖去半圆 D 1 ，则计算 D 1 上的积分自然选用极坐标变换 若只考虑区域 D，则自然考虑先 x后 y的积分顺序化为累次积分若注意 D关于直线 y=1对称，选择平移变换则最为方便 作平移变换 u=x，v=y1，注意曲线 x= 即 x 2 +(y1) 2 =1，x0，则 D变成 DD由 u=2，v
31、=1，v=1，u 2 +v 2 =1(u0)围成，则 )解析：29.求下列三重积分： ()I= xy 2 x 3 dV，其中 是由曲面 z=xy，y=x，z=0，x=1 所围成的区域；()I= dV，其中 由 y= ，y=0，z=0，x+z= 围成； ()I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()空间区域 的图形不太直观，但是，它在 xOy平面上的投影区域 D xy 为由y=0，y=x 及 x=1所围成的三角形，即图 954 所示，并且 的下侧边界是 z=0，上侧边界为 z=xy这些条件对确定积分限已足够=(x，y，z)0zxy，(x，y)D xy ，D xy ：0x1，0yx ()
32、 是柱形长条区域，上顶是平面 x+z= ，下底是 Oxy平面，即 z=0，侧面是柱面y=0，y= ，注意，x+z= 与 Oxy平面交于直线 x= ，于是 =(x，y，z)0z x，(x，y)D xy ，D xy 如图 955 也可看成 =(x，y，z)0y ，(x，y)D zx 注意 y= 与 Ozx平面交于 x=0，D zx 如图 956 因此有 () 是锥体(顶点是原点，对称轴是 x轴)被平面 x=1，x=2 所截部分，被积函数只与 x有关，x1，2，与 x轴垂直平面截 得圆域D(x)，半径为 x，面积为 x 2 ，于是用先二后一(先 yz后 x)的积分顺序得 )解析：30.求下列三重积分： ()I= (x 2 +y 2 )dV，其中 由 z=16(x 2 +y 2 )，z=4(x 2 +y 2 )，z=16围成； ()I= dV，其
