1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）-试卷 2及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 D为两个圆 x 2 +y 2 1 及(x2) 2 +y 2 4 的公共部分，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_2.设 D为 y=x 3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_3.I= （分数：2.00）填空项 1:_4.设 D：0x1，0y1，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_5.设 I 1 = （分数：2.00）填空项 1:_6.设 D为圆域 x 2 +y 2 x，则 I= （分数：
2、2.00）填空项 1:_7.设 L是正方形边界：x+y=a(a0)，则 I= L xyds= 1，J= L xds= 2（分数：2.00）填空项 1:_8.设为平面 y+z=5被柱面 x 2 +y 2 =25所截得的部分，则曲面积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：23，分数：46.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.求下列曲面积分： ()I= ydS，其中是平面 x+y+z=1被圆柱面 x 2 +y 2 =1截出的有限部分；()I= zdS，其中是锥面 z= （分数：2.00）_11.求下列曲面积分： ()I= xyzd
3、xdy +xzdydz+z 2 dzdx，其中 x 2 +z 2 =a 2 在 x0 的一半中被 y=0和 y=h(h0)所截下部分的外侧(见图 960)； ()I= （分数：2.00）_12.求区域 的体积 V其中 ：由 z=xy，x 2 +y 2 =a 2 ，z=0 围成（分数：2.00）_13.求区域 的体积 V，其中 是半球面 z= （分数：2.00）_14.求区域 的体积，其中 是由曲面 z=y 2 (y0)，z=4y 2 (y0)，z=z，z=2x，z=4 所围成（分数：2.00）_15.求下列曲面的面积： ()半球面 z= 及旋转抛物面 2az=x 2 +y 2 所围立体的表面
4、S； ()锥面z= （分数：2.00）_16.求八分之一球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，x0，y0，z0 的边界曲线的质心，设曲线线密度=1（分数：2.00）_17.求密度为 1的均匀圆柱体 x 2 +y 2 a 2 ，zh 对直线 L：x=y=z 的转动惯量（分数：2.00）_18.设位于点(0，1)的质点 A对于质点 M的引力大小为 (k0 为常数，r=AM)分别求下列运动过程中 A对质点 M的引力所作的功(如图 967)： ()质点 M沿曲线 y= （分数：2.00）_19.设流速 V=(x 2 +y 2 )j+(z1)k，求下列情形流体穿过曲面的体积流量 Q(如图 969
5、)： （分数：2.00）_20.设 f(u)连续，f(0)=1，区域 ： t0，又设 F(t)= f(x 2 +y 2 +z 2 )dV，求 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)在区间a，b上连续，且恒大于零，证明： （分数：2.00）_22.记 (R)=(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，求 （分数：2.00）_23.证明 （分数：2.00）_24.计算 I= （分数：2.00）_25.计算 I= （分数：2.00）_26.计算 I= d，其中 D：1x 2 +y 2 9， （分数：2.00）_27.计算 I= （分数：2.00）_28.计算 I= （分数：2.00）_29.计算 I
6、= （分数：2.00）_30.设 a0 为常数，求积分 I= （分数：2.00）_31.f(x，y)dy； （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）-试卷 2答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 D为两个圆 x 2 +y 2 1 及(x2) 2 +y 2 4 的公共部分，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：D 关于 x轴对称，被积函数对 y为奇函数2.设 D为 y=x 3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
7、正确答案：0）解析：解析：D 如图 91 所示添加辅助线 y=x 3 (x0)，将 D分解成 D=D 1 D 2 ，其中 D 1 关于y轴对称，D 2 关于 x轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数 xyd=0+0=0 3.I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：区域如图 92 所示，由对称性与奇偶性 I=4 xyd，其中 D 1 ：0y1 一x，0x1 于是 4.设 D：0x1，0y1，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 关于直线 y=x对称 与原式相加5.设 I 1 = （分数：2.00）填空项 1:_
8、 （正确答案：正确答案：I 3 I 1 I 2）解析：解析：比较 I 1 与 I 2 ，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x 2 +y 2 1)包含在正方形区域(x1，y1)中 I 1 I 2 比较 I 1 与 I 3 积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x 4 +y 4 6.设 D为圆域 x 2 +y 2 x，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 如图 93用极坐标变换，D 的极坐标表示：7.设 L是正方形边界：x+y=a(a0)，则 I= L xyds= 1，J= L xds= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
9、案：正确答案：0 ）解析：解析：L 如图 94，它关于 x(或 y)轴对称，f(x，y)=xy 对 y(或 x)为奇函数 L xyds=0 L关于直线 y=x对称(变量的轮换对称性) J= L xds= L yds 8.设为平面 y+z=5被柱面 x 2 +y 2 =25所截得的部分，则曲面积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用的方程简化被积表达式得 其中 xdS=0，因为关于 yz平面对称，被积函数x对 x为奇函数 的一个单位法向量 n=(cos，cos，cos)= 因此 I=5.的面积=125二、解答题(总题数：23，分数：46.00)9.解
10、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.求下列曲面积分： ()I= ydS，其中是平面 x+y+z=1被圆柱面 x 2 +y 2 =1截出的有限部分；()I= zdS，其中是锥面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分曲面的表达式为 z=1xy，在 xy平面上的投影为圆 D：x 2 +y 2 1，所以 ()利用锥面的表示式 z= ，可知 又锥面在 Oxy平面的投影区域 D：x 2 +y 2 2x，极坐标表示是： ，0r2cos，因此 )解析：11.求下列曲面积分： ()I= xyzdxdy +xzdydz+z 2 dzdx，其中 x 2 +
11、z 2 =a 2 在 x0 的一半中被 y=0和 y=h(h0)所截下部分的外侧(见图 960)； ()I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()本题实际上可以分三个积分计算，即 I=I 1 +I 2 +I 3 将在 yz平面上的投影记为 D yz ，则 D yz ：0yh，aza注意到的法线方向与 x轴正方向夹锐角，则 I 2 = dydz 此时已化成了二重积分，注意到 D yz 关于 y轴对称，而被积函数为 z的香函数。故 I 2 =0 由于垂直于 zx平面(它在 zx平面上的投影域面积为零)，故 I 3 = z 2 dzdx=0，而 所以， I=I 1 +I 2 +I 3 =
12、h 2 a 3 ()曲面 S的方程是：x=e y2+z2 (y 2 +z 2 a 2 )，见图 961S 在 yz平面上的投影区域 D yz 易求， D yz ：y 2 +z 2 a 2 ，x=0，又 =2ye y2+z2 ， S 的法向量与 x轴正向成钝角，于是 )解析：12.求区域 的体积 V其中 ：由 z=xy，x 2 +y 2 =a 2 ，z=0 围成（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 962，注意曲面 z=xy，第一、三象限时位于 Oxy平面的上方，第二、四象限时位于 Oxy平面的下方区域 由曲面 z=xy，柱面 x 2 +y 2 =a 2 及 xy平面所围成z=xy 在
13、 Oxy平面的投影区域 D=(x，y)x 2 +y 2 a 2 因此 的体积 )解析：解析：区域 由曲面 z=z(x，y)及它在 Oxy平面上的投影区域 D及以 D的边界为准线，母线平行于 z轴的柱面所围成，则 V=13.求区域 的体积 V，其中 是半球面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先解方程组 得两曲面的交线为 由立体的形状可知，它在 Oxy平面上的投影为圆域 D=(x，y)x 2 +y 2 2a 2 ，如图 963因此 的体积为 )解析：解析： 区域 是由上、下两张曲面 z=z 2 (x，y)z=z 1 (x，y)所围成，这时关键要求出它在xy平面上的投影区域 D常用的
14、方法是：由 14.求区域 的体积，其中 是由曲面 z=y 2 (y0)，z=4y 2 (y0)，z=z，z=2x，z=4 所围成（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 如图 964，=(x，y，z (z，x)D zx ， D zx =(z，x) xz，0z4 力的体积为 或 也可表成(如图 965)：=(x，y，z) xz，(y，z) D yz )， D yz =(y，z) ，0z4， 于是 )解析：解析：这是侧面是柱面的曲顶、曲底柱体区域对这类问题要由所给条件确定出侧面柱面，然后再定上、下底曲面确定了侧面(柱面)也就确定了 的投影区域15.求下列曲面的面积： ()半球面 z= 及旋转抛物
15、面 2az=x 2 +y 2 所围立体的表面 S； ()锥面z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()两曲面的交线及在 Oxy平面上的投影区域 D曲面 S分成两块对曲面 S 1 ：z= 来说 它的面积 对于曲面 S 2 ：z= 它的面积 因此，整个曲面的面积 A=A 1 +A 2 = a 2 ()先解方程组 消去 z得 x 2 +y 2 =2x这就是两曲面的交线在Oxy平面上的投影，也就是曲面 S在 Oxy平面上投影区域 D的边界曲线，因而 D=(x，y)x 2 +y 2 2x=(x，y)(x1) 2 +y 2 1 在锥面 z= ，因此曲面 S的面积 A= )解析：解析： 在用公式1
16、6.求八分之一球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，x0，y0，z0 的边界曲线的质心，设曲线线密度=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设边界曲线在 Oxy，Oyz，Ozx 坐标平面内的弧段分别记为 L 1 ，L 2 ，L 3 (见图966) 设曲线的质心为 直接按质心计算公式知： 其中 L=L 1 L 2 L 3 ，m= L ds= L ds为曲线 L的质量 由于 =1，则质量 m=L的长度=3 R又因 由对称性知 即质心为 )解析：17.求密度为 1的均匀圆柱体 x 2 +y 2 a 2 ，zh 对直线 L：x=y=z 的转动惯量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
17、先求圆柱体上任意点(x，y，z)到直线 L的距离的平方 再求圆柱体对 L的转动惯量 )解析：解析：这里不是求物体对坐标轴的转动惯量，因此不能套用已有的公式，要学会求转动惯量的方法质量为 m的质点对 L的转动惯量是 md 2 ，d 是质点到 L的距离因此，这里必须先求点(x，y，z)到直线 L的距离18.设位于点(0，1)的质点 A对于质点 M的引力大小为 (k0 为常数，r=AM)分别求下列运动过程中 A对质点 M的引力所作的功(如图 967)： ()质点 M沿曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由曲线的参数方程计算曲线积分 半圆的参数方程 0，)解析：解析：首先求出引力
18、 F：F= F与 (x，1y) 求功就是求曲线积分 W=19.设流速 V=(x 2 +y 2 )j+(z1)k，求下列情形流体穿过曲面的体积流量 Q(如图 969)： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()首先，用曲面积分表示流量，即 Q= (x 2 +y 2 )dzdx+(z1)dxdy 直接投影到 xy平面上代公式求 Q 由的方程 z= ，在 xy平面上的投影区域 D： x 2 +y 2 1(z=0) ()圆锥体(z 2 x 2 +y 2 ，0z1)的底面即 x 2 +y 2 1，z=1，它垂直于zx平面，在上 z1=0，因此 Q= )解析：20.设 f(u)连续，f(0)=1，区
19、域 ： t0，又设 F(t)= f(x 2 +y 2 +z 2 )dV，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此 )解析：解析：本题需要先将 F(t)化为定积分，由于力由球面与锥面围成，又被积函数只与 =21.设函数 f(x)在区间a，b上连续，且恒大于零，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用积分变量的改变，可得 其中 D=(x，y)axb，ayb并且利用对称性(D 关于 y=x对称)，可得 )解析：解析：有时把一元函数的积分问题转化为二元函数的积分问题便可使问题得到解决 这里记D=(x，y)axb，ayb，则定积分之积就可表为二重积分：22.记 (R)=(x，y
20、)x 2 +y 2 R 2 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先用极坐标变换求出 I(R)= dxdy，然后求极限 I(R) 作极坐标变换X=rcos，y=rsin 得 因此， )解析：23.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 e x2 在(，+)可积，则 e x2 dx 通过求 e x2 dx再求极限的方法行不通，因为e x2 dx积不出来(不是初等函数)但可以估计这个积分值为了利用 e (x2+y2) dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题 其中 D(R)=(x，y)xR，yR显然 I(R) 又 =，于是 )解析：24.计算 I=
21、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=lnx 与 y=(e+1)一 x的交点是(e，1)，D 如图 95 所示，在 Oxy坐标系中选择先 x后 y的积分顺序(D 不必分块)得 )解析：25.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 如图 96 所示，D 关于 y轴对称，被积函数对 x为偶函数 I=2 x 2 e y2 dxdy， 其中 D 1 =Dx0选择先 x后 y的积分顺序 )解析：26.计算 I= d，其中 D：1x 2 +y 2 9， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=rcos，y=rsin，则 D：1r3， 于是 )解析：27.计算 I= （分
22、数：2.00）_正确答案：(正确答案：(分块积分法) D 如图 97 一(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将 D分成D=D 1 D 2 ，以 y一 x= 为分界线(如图 97 一(b) 在 D 1 上，y 一 x2；在 D 2 上，0y一 x，则 I= sin(y一 x)d+ sin(y一 x)d 在 D 2 上边界分段表示(如图 97 一(c)，也要分块积分 )解析：28.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D 1 ，如图 98 )解析：29.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：极坐标变换 x=rcos，y=rsinD：0 于是 )解析：30.设 a0 为常数，求积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域(如图 910)：(x 一 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，并由 D关于 x轴对称，x 轴上方部分为 D 1 ：0 0racos 于是 )解析：31.f(x，y)dy； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 911 所示 )解析：
