1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（A）若 f(x， y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D0 均有 f(x，y)d=0，则 f(x，y)=0( (x，y) D)（B）若 f(x，y) 在 D 可积， f(x，y)0 但不恒等于 0 (x，y)D) ，则 f(x，y)d0（C）若 f(x，y) 在 D 连续， f2(x，y)d=0 ，则 f(x，y)0 (x，y)D) （D）若 f(x， y)在 D 连续，f(x ，y)0 (x，y) D)，则 f
2、(x，y)d02 比较积分值的大小：I 1= sin(x+y)3dxdy，其中 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，则 I1，I 2，I 3 之间的大小顺序为（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I23 比较积分值的大小：J i= e(x2+y2) dxdy，i=1，2， 3，其中 D1=(x，y)x 2+y2R2，D2=(x，y) x 2+y22R2， D3=(x，y)xR，yR则 J1，J 2，J 3 之间的大小顺序为（A）J 1J 2J 3（B） J2J 3J 1（C） J1J 3J 2（D）J 3J 2J 1二、填
3、空题4 设 f(x，y， z)在 R=(x，y，z) x 2+y2+z2R2连续，又 f(0，0，0)0，则 R0时， f(x，y ，z)dV 是 R 的_阶无穷小5 设 L 为x+y=1，取逆时针方向，则曲线积分=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 计算曲面积分 x2zcosdS，其中曲面是球面 x2+y2+z2=a2 的下半部分， 是向上的法向量与 z 轴正向的夹角7 设 为曲面 x2+y2=az 与 z=2a 所围成的空间区域(如图 935)，求它的体积，其中 a08 求柱面 x2+y2=ax 含于球面 x2+y2+z2=2 内的曲面面积 S9 记 Il 为物体对 l
4、 轴的转动惯量， 为对平行于 l 轴并通过物体质心的轴 l 的转动惯量，d 为两轴间的距离，M 为物体的质量，证明： Il= +Md210 设一均匀物体由两曲面 x2+y2=azz=2a (a0)所围成，求此物体质心11 求 I= (x+y+z)2dxdydz，其中 ：x 2+y21，z112 设 S 与 S0 分别为球面(xa) 2+(yb) 2+(zc) 2=R2 与 x2+y2+z2=R2，又 f(x，y，z)在 S 上连续，求证： f(x，y，z)ds= f(x+a，y+b，z+c)ds13 求 I= (x2+y2+z2)dS，其中 ()S：x 2+y2+z2=2Rx； ()S ：(x
5、a) 2+(yb) 2+(zc)2=R214 设 L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x，y)，Q(x，y)连续()L 关于 y 轴对称(图 940)，则其中 L1 是 L 在右半平面部分()L 关于 x 轴对称(图941) ，则其中 L1 是 L 在上半平面部分15 设分块光滑定向曲面 S 关于 xy 平面对称，S 在 xy 平面上方部分记为 S1(方程为z=z(x，y) ，(x，y)D xy)，下方部分记为 S2，又设 R(x，y，z)在 S 连续，求证：16 计算 L(x2+y2)ds，其中 L 为 x2+y2+z2=1 与 x+y+z=1 的交线17 交换累次积分的积分顺序：I= f(
6、x，y)dy18 将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：I= F(r，)dr，其中 F(r，)=f(rcos，rsin)r19 计算累次积分：I= ydy20 交换累次积分的积分顺序：I= f(x，y，z)dz ，改换成先 x 最后 y 的顺序21 求 I= dz22 将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：()f(rcos，rsin)rdr 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分；()计算 ex2 dx23 计算 (a0)，其中 D 是由圆心在点(a，a)、半径为 a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围
7、成的区域24 计算二重积分 x+y2dxdy，其中 D： 0x2，2y2 25 计算下列二重积分：() xyd，其中 D 是由曲线 r=sin2(0 )围成的区域；() xyd，其中 D 是由曲线 y= ，x 2+(y1) 2=1 与 y 轴围成的在右上方的部分26 求下列二重积分：()I= ，其中 D 为正方形域：0x1，0y1；( )I= 3x+4y dxdy，其中 D：x 2+y21；()I= ydxdy，其中D 由直线 x=2，y=0 ，y=2 及曲线 x= 所围成27 求下列三重积分：()I= xy2x3dV，其中 是由曲面 z=xy，y=x，z=0，x=1 所围成的区域；()I=
8、dV，其中 由 y= ，y=0，z=0，x+z= 围成；()I=(1+x4)dV，其中 由曲面 x2=y2+z2，x=1，x=2 围成28 求下列三重积分：()I= (x2+y2)dV，其中 由 z=16(x2+y2)，z=4(x 2+y2)，z=16围成；()I= dV，其中 由 x2+y2+z22z 所确定；( )I= xyzdV，其中 ：x 2+y2+z21 位于第一卦限的部分29 求下列三重积分：()I= dV，其中 是球体x2+y2+z2R2(hR)；()I= ze(x+y)2dV，其中：1x+y2 ，x0，y0， 0z3；()I= (x3+y3+z3)dV，其中 由半球面x2+y2
9、+z2=2z(z1)与锥面 z= 围成30 求下列曲线积分：()I= Lxyds，其中 L： =1(ab0) ；()I=Ly2ds，其中平面曲线 L 为旋轮线 (0t2)的一拱；()I= L(x+y)ds，其中 L 为双纽线 r2=a2cos2(极坐标方程)的右面一瓣31 求曲线积分 I=C(x+y)dx+(3x+y)dy+zdz,其中 C 为闭曲线x=asin2t，y=2acostsin，z=cos 2t(0t)，C 的方向按 t 从 0 到 的方向考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
10、案】 B【试题解析】 直接指出其中某命题不正确 因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确设(x 0，y 0)是 D 中某点，令f(x，y)= 则在区域 D 上 f(x，y)0 且不恒等于 0，但f(x，y)d=0因此选(B)或直接证明其中三个是正确的命题(A)是正确的用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证若 f(x，y)在 D 不恒为零 (x0，y 0)D，f(x 0，y 0)0，不妨设(x 0，y 0)0，由连续性 有界闭区域 D0D，且当(x，y) D0 时 f(x，y)0 f(x，y)d0，与已知条件矛盾因此，f(x，y)0 ( (x，
11、y)D)命题(D) 是正确的利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证这是因为 f(x，y) f(x，y)=f(x 0，y 00)0，其中(x 0， y0)是 D 中某点于是由二重积分的不等式性质得 f(x，y)df(x 0，y 0)0，其中 是 D 的面积命题(C)是正确的若 f(x，y)0 在(x，y)D 上f2(x，y)0 且不恒等于 0由假设 f2(x，y)在 D 连续 f2(x，y)d0，与已知条件矛盾于是 f(x，y)0 在 D 上成立因此选(B)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用2 【正确答案】 C【试题解析】 在区域 D 上， t1时，lntsin
12、tt ，从而有(x，y)D 时， ln3(x+y)sin3(x+y)(x+y)3，则 (x+y)3d因此选 (C)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用3 【正确答案】 C【试题解析】 D 1，D 2 是以原点为圆心，半径分别为 R， R 的圆，D 3 是正方形，显然有 D1 D2因此(C)成立【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用二、填空题4 【正确答案】 三阶【试题解析】 本题就是确定 n=?使得 =A0由积分中值定理知，(x0， y0，z 0)R，使得 f(x，y，z)dV=f(x 0，y 0， z0). R3，则因此 R0 时， f(x，y，z)dV 是 R 的三阶无穷
13、小【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用5 【正确答案】 0【试题解析】 由于曲线 L 关于 x 轴与 y 轴均对称(见图 929)，且被积函数 P=Q=关于 x，y 均为偶函数，则 I=LPdx+Qdy=0【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 根据两类曲面积分的关系，知 x2zdxdy又根据 的表达式：z= ，以及 为锐角，因此其中 D 为 在 xOy平面上的投影，实际上 D 为圆：x 2+y2a2【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用7 【正确答案】 用柱形长条区域的体积公式求一个二重积分由消去 z
14、，得投影柱面 x2+y2=a2，于是， 在 xy 平面上投影区域D：x 2+y2=(x，y，z) ，(x，y) D，因此， 的体积为【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用8 【正确答案】 由对称性只需考虑第一卦限部分将柱面方程表成 y 为 x 的函数是方便的：y= dzdx，D 是这部分柱面在 Ozx 平面的投影区域，求出 D 的关键是求柱面与球面的交线在 Ozx 平面的投影曲线见图937 柱面与球面的交线为 它在 Ozx 平面上的投影曲线为抛物线 z2=a2ax，它与 Ox 轴，Oz 轴围成区域 D，则所求曲面面积为【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用9 【正确答案】 取
15、l 轴为 Oz 轴，按右手系建立直角坐标系(如图 939)设物体占有空间区域 ，物体的质心坐标为( )，则由已知条件有其中 为物体的体密度物体对 的转动惯量为 即 Il= +Md2【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用10 【正确答案】 根据质量分布的均匀性以及图形关于 z 轴的对称性可知，质心的坐标为(0 ，0，z *)，由质心坐标的计算公式得 其中 是该物体占据的空间区域， 是物体的体密度，它为常数已经求得 a3用先二后一的顺序求三重积分：因此 z*=a，所求质心为 (0，0， a)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用11 【正确答案】 I= (x2+y2+z2)dxdy
16、dz+2 (xy+xz+yz)dxdydz= (x2+y2+z2)dV=2(x2+y2+z2)dV，这里 对三个坐标面均对称， xydV=0 (被积函数对 x 为奇函数， 关于 yz 平面对称；或被积函数对 y 为奇函数， 关于 zx 平面对称)类似理由得 最后作柱坐标变换得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用12 【正确答案】 我们将证 f(x，y，z)ds 的二重积分表示即是 f(x+a，y+b，z+c)ds 的二重积分表示球面 S 的方程可写成：并分别记为 S1 与 S2它们在 xy 平面上的投影区域为 Dxy：(xa) 2+(yb) 2R2，且对二重积分作平移变换：u=xa
17、，v=yb，可得其中Duv：u 2+v2R2， 将 u，v 换成x，y，上述二重积分也是 f(x+a，y+b，z+c)dS 的二重积分表示因此结论成立【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用13 【正确答案】 ()S 的方程可改写成(xR) 2+y2+z2=R2，是以(R，0，0) 为心，R为半径的球面，其面积为 4R2于是I= 2R2dS=0+8R4=8R4()I= 2(xa) 2+(yb)2+(zc) 2dS+2 a(xa)+b(yb)+c(zc)dS+ (a2+b2+C2)dS= R2dS+0+(a2+b2+c2)dS=4R4+(a2+b2+c2)4R2【知识模块】 多元函数积分的
18、概念、计算及其应用14 【正确答案】 () 记 L=L1L2，L 1，L 2 分别是 L 在右半平面与左半平面部分，则 记 L1 的参数方程为 x=x(t)，y=y(t)，t 从 a 到 b，则 L2 是：x=x(t)，y=y(t)，t 从 b 到 a，于是 Q(x(t)，y(t)y(t)dt，则有 其余类似()类似可得证【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用15 【正确答案】 R(x，y，z)dxdy注意，由S1 的方程可得 S2 的方程： z=z(x，y)(x ，y)D xy)不妨设 S1 的法向量与 z 轴正向成锐角，于是 S2 的法向量与 z 轴正向成钝角将曲面积分化为二重积分
19、得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用16 【正确答案】 由于积分弧段关于 x，y，z 是对称的，所以由坐标的轮换对称性(坐标轴名称互换时，曲线 L 的方程不变)得这样，所要计算的就是 L 的长度L 为球面与平面的交线，所以它是圆，现求它的半径 r原点O 到平面 x+y+z=1 的距离是 d= ，因此 L 的半径为 r= ，于是L(x2+y2)ds=【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用17 【正确答案】 对 x 积分，就是从区域 D 的左侧边界 x=y2 到右侧边界 x=y+2两边界线的交点为(1，1) 与(4，2) ，于是由(98)式得【试题解析】 将累次积分表为 f(x
20、，y)d ，累次积分的表示式表明：积分区域 D由两部分构成，当 0x1时，区域 D 的下侧边界为 y= ，上侧边界为 y= ；当 1x4时，D 的下侧边界为 y=x2，上侧边界为 y= ，即D=(x，y)0x1， (x，y)1x4，x2y 其图形为图942 所示，改变积分顺序，先对 x 求积分，就要把区域 D 的边界表成 y 的函数，即 D 的左侧边界为 x=y2，右侧边界为 x=y+2，最后再求出 x=y2 与 x=y+2 的两个交点的纵坐标 y=1 和 y=2，即可将区域 D 表为D：(x， y)1y2 ，y 2xy+2，由此不难写出新的累次积分【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应
21、用18 【正确答案】 r=2acos 是圆周 x2+y2=2ax，即(xa) 2+y2=a2，因此 D 的图形如图943 所示为了先 后 r 的积分顺序，将 D 分成两块，如图 943 虚线所示，D=D1D2，且因此(*)【试题解析】 在直角坐标系中画出 D 的图形，然后交换积分顺序确定积分限或在 Or直角坐标系中画出 D的图形，然后交换积分顺序【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用19 【正确答案】 由累次积分限知：0x1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1；2x3时 xy3，于是积分区域 D 如图 945 所示，因此 D 可表示为D=(x，y) xy3 ，y1xy，则 原式=4
22、【试题解析】 本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对 y 积分，必须先确定积分区域 D，然后再交换积分顺序【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用20 【正确答案】 据以上分析，把该累次积分看成是三重积分按先一(z)后二的顺序化成的，则 I= f(x，y，z)dz ，其中 Dxy=(x，y)0x1，0y1 x ，如图 946交换 x 与 y 的顺序得 I= f(x，y，z)dz 再把它看成三重积分按先二后一(y)的顺序化成的，则 I= f(x，y，z)dzdx，其中Dzx=(z，x) 0x1y，0zx+y ，如图 947(对
23、z、x 积分时 y 是参数，z、x 变动时 y 是不变的)，交换 x 与 z 的积分顺序(先对 x 积分要分块积分)得【试题解析】 这是对已化成累次积分的三重积分 f(x，y，z)dV 交换积分顺序的问题这时可不必画出 的图形(一般也很难画)，只要把它看成是一次定积分加一次二重积分化成的，对其中的二重积分交换积分顺序，因而有时需分两步走，其中的每一步均是二重积分交换积分顺序问题如本题：第一步，交换 x 与 y 的次序；第二步，交换 x 与 z 的次序，就会得到以 x，z ，y 的顺序的累次积分这种顺序交换可如同二重积分一样进行，关键步骤是画出二重积分区域的图形有了图形，积分限就容易写出了【知识
24、模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用21 【正确答案】 希望通过交换积分顺序，比较容易地算出这个累次积分把它看成是三重积分 dV 按先一后二的顺序化成的于是I= dz其中 Dxy=(x，y) ，)0x1，xy1，如图 948对外层积分按先 x 后 y 的顺序得其中D 如图 949，按先 y 后 z 的顺序配限得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用22 【正确答案】 ()D 的极坐标表示： ，0rsin，即 0，r 2rsin，即x2+y2y，x0，则 D 为左半圆域：x 2+y2y，x0，即x2+(y ，x0用先对 y 后对 x 积分D：，于是原式=()积分区域 D 为扇形(x，
25、y)0y R，0xy(x，y) RyR，0x所以 原式= (1e R2 )【试题解析】 题() 是极坐标变换下的累次积分，先写成 f(x，y)dxdy，确定积分区域 D，再化成累次积分题()中无论是先对 x，还是先对 y 积分都很难进行，这是因为 e x2，e y2 的原函数不是初等函数，所以必须改用其他坐标系又由于被积函数属 f(x2+y2)的形式，因此选用极坐标系较方便【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用23 【正确答案】 由于圆的方程为：(xa) 2+(ya) 2=a2，区域 D 的边界所涉及的圆弧为 y=a 所以【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用24 【正确答案】
26、 因如图 950，用直线 y=x+2 ，y= x 将 D 分成 D1，D 2 与D3于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用25 【正确答案】 () 积分域 D 见图 951D 的极坐标表示是：0 ，0rsin2，于是()选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为 r=1 与 r=2sin，交点的极坐标为(1， )，见图 952，于是积分域 D 的极坐标表示为 D=(r，) ，1r2sin，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用26 【正确答案】 察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解()尽管 D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便D 的边界线 x=1
27、及 y=1 的极坐标方程分别为 于是 ()在积分区域 D 上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因 D 是圆域，可用极坐标变换转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质作极坐标变换 x=rcos， y=rsin，则 D：02，0r1从而其中 sin0= 由周期函数的积分性质，令 t=+0 就有() D 的图形如图 953所示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D1，则计算 D1 上的积分自然选用极坐标变换 若只考虑区域 D，则自然考虑先 x 后 y 的积分顺序化为累次积分若注意 D关于直线 y=1 对称，选择平移变换则最为方便 作平移变换u=x，v=y1 ，注意曲线
28、 x= 即 x2+(y1) 2=1，x0，则 D 变成 DD 由u=2， v= 1，v=1，u 2+v2=1(u0)围成，则(在 uv 平面上 D关于 u 轴对称)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用27 【正确答案】 () 空间区域 的图形不太直观，但是，它在 xOy 平面上的投影区域 Dxy 为由 y=0，y=x 及 x=1 所围成的三角形，即图 954 所示，并且 的下侧边界是 z=0，上侧边界为 z=xy这些条件对确定积分限已足够=(x，y，z)0zxy，(x，y) Dxy，D xy： 0x1，0yx() 是柱形长条区域，上顶是平面 x+z= ，下底是 Oxy 平面，即 z=
29、0，侧面是柱面 y=0，y= ，注意，x+z= 与 Oxy 平面交于直线 x= ，于是=(x，y，z)0z x，(x，y) Dxy，D xy 如图 955也可看成=(x，y，z)0y ，(x，y)D zx注意 y= 与 Ozx 平面交于 x=0，D zx 如图956因此有() 是锥体(顶点是原点，对称轴是 x 轴)被平面 x=1，x=2 所截部分，被积函数只与x 有关，x1，2，与 x 轴垂直平面截 得圆域 D(x)，半径为 x，面积为 x2，于是用先二后一(先 yz 后 x)的积分顺序得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用28 【正确答案】 () 由两旋转抛物面与平面 z=16 所
30、围，被积函数为 r2(r=)，故选用柱坐标变换过 x 轴，极角为 的半平面交 得平面区域 D()为已知(图 957) ，于是用先二后一(先 r，z 后 )的积分顺序化为累次积分，则有()被积函数为 = 的函数， 是球体：x 2+y2+(z1) 212，故选用球坐标变换在球坐标变换下，：02，0 ，02cos，于是()积分域 是球的一部分，球也可以看成是旋转体，所以使用球坐标系与柱坐标系都可以利用球坐标系【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用29 【正确答案】 () 积分区域 是球体，也是旋转体，结合被积函数特点，还是选用柱坐标变换，并选用先 r，z 的积分顺序极角为 的半平面交 得平面
31、区域D()为已知( 图 958)，于是() 可表成：0z3，(x，y) Dxy，其中 Dxy=(x，y) x0,y0，1x+y2，D xy 如图959于是 I= e(x+y)2dxdy 这里先 x 后 y和先 y 后 x 的积分顺序均不可行作极坐标变换，则 Dxy 的极坐标表示为于是()首先由对称性及奇偶性得 I= z3dV 由半球面及锥面围成用球坐标变换方便，此时 表为：02，0 ，02cos，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用30 【正确答案】 () 由于积分弧段的对称性与被积函数为偶函数，所以能够只在第一象限求积分又由于椭圆的参数方程为 x=cost，y=bsint，因此()L 是双纽线的右瓣：r 2=a2cos2， ，L 关于 x 轴对称，y 关于 y 为奇函数，于是有 Lyds=0从而 I=Lxds由极坐标方程下曲线积分的计算公式得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用31 【正确答案】 曲线 C 的参数方程已给出 x=x(t)=asin2t，y=y(t)=asin2t，z=acos 2t，t0，于是直接化成定积分【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用
