1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设空间区域 1：x 2+y2+z2R2，z0 及 2：x 2+y2+z2R2，x0，y0，z0，则下列等式成立的是二、填空题2 设 D 是 Oxy 平面上以 A(1，1)，B(1，1) 和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I= sin(xy)+4dxdy=_3 设 L 为曲线 常数 a0，则 I=L(xy+yz+zx)ds=_4 设 S 为球面 x2+y2+z2=9，取外侧，则 zdxdy=_；5 设 D 为平面区域：x 2+y24，则 dxdy=_；6
2、 设 是球体：(xa) 2+(yb) 2+(zc) 2R2，则 (x+y+z)dV=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 计算 ds，其中，L 是圆周 x2+y2=4x(见图 91)8 计算积分 9x2dx+(yx)dy ，其中 L：()是半径为 a，圆心在原点的上半圆周，起点 A(a，0)，终点 B( a，0)(见图 92)；()x 轴上由 A(a，0) 到 B(a ，0)的直线段9 将 f(x，y)dxdy 化为累次积分，其中 D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay 的公共部分(a 0)10 设 D 是由曲线 =1(a0，b0)与 x 轴，y 轴围成的区域，求I=
3、 ydxdy11 求 I= xdV， 由三个坐标面及平面 x+y+2z=2 围成12 计算 z2ds，其中是曲面 z= (0z1)13 计算 xyzdxdy，其中是 x0，y0，x 2+y2+z2=1 的外侧( 见图 99)14 设 =(x，y，z)x 2+y2+z2x+y+z+ ，求 I= (x+y+z)dxdydz15 在极坐标变换下将 f(x，y)d 化为累次积分，其中 D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay的公共部分(a0)16 求积分 I= dxdy，其中 D 由 y=x 与 y=x4 围成17 利用柱坐标变换求三重积分：I= zdxdydz，：x 2+y2z，x 2+y2+
4、z2218 将三重积分 f(x，y，z)dV 在三种坐标系下化成累次积分，其中 是由x2+y2+z2R2， x2+y2z2，z0 所围成的区域( 如图 922 所示)19 利用球坐标变换求三重积分，I= dV，其中 ：x 2+y2+z22z20 求 I= dxdy，其中 D 为 y= ，y=x 及 x=0 所围成区域21 求 I= dxdy其中 D 是由抛物线 y2=x，直线 x=0，y=1 所围成22 求 I= xydy，其中 由 z=xy，z=0，x+y=1 围成23 求 I= y2dV，其中 由 =1(0yb)及 y=0 围成24 求 I=Lxds，其中 L 为x+ y=125 计算曲面
5、积分 I= (ax+by+cz+)2ds，其中是球面：x 2+y2+z2=R226 求 I= dxdy，其中 D：x1 ，0y2 27 设 D 由抛物线 y=x2，y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后 y 的顺序将I= f(x，y)dxdy 化成累次积分28 求 I= xydxdy，D 由曲线 x2+y2=2x+2y1 所围成29 计算三重积分 I= (x2+y2+z2)dV，其中=(x，y，z)x 2+y2+z24，x 2+y2+z24z30 求 I= dydz，其中 为下半球面 z= 的上侧，a031 求 I= (x2y 2)dydz+(y2z 2)dzdx+(z2x 2)dx
6、dy， S 是上半椭球面+z2=1(z0)取上侧考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 1 在 xy 平面上方，关于 yz 平面与 zx 平面均对称， 2 是 1 的第一象限部分，两次利用对称性，可以看出等式成立的充分条件是被积函数关于 x与 y 为偶函数，即 f(x，y，z)=f(x ，y，z)，f(x ，y，z)=f(x ，y，z) 在本题的四个选项中，只有(C) 的被积函数 f(x，y，z)=z ，关于 x 与 y 是偶函数， 因为四个结论中只有一个正确，因此
7、应选(C)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用二、填空题2 【正确答案】 8【试题解析】 连 将区域 D 分成 D1(三角形 OAB)，D 2(三角形 OBC)两个部分(见图 928) ，它们分别关于 y 轴与 x 轴对称由于 sin(xy)对 x 与 y 均为奇函数，因此又由于 D 的面积=.2.2=2，所以 4dxdy=4.2=8于是 I=0+8=8 【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用3 【正确答案】 一 a3【试题解析】 注意(x+y+z) 2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)，则 xy+yz+zx= (x+y+z)2 (x2+y2+z2)，因此 I= L(
8、xy+yz+zx)ds= L(x+y+z)2ds L(x2+y2+z2)ds由 L的方程，其中 x+y+z=0，x 2+y2+z2=a2，于是 I=0 La2ds= a2.2a=a 3，其中L 是球面 x2+y2+z2=a2 与平面 x+y+z=0 的交线，它是半径为 a 的圆周【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用4 【正确答案】 36【试题解析】 S 围成的球体为 ，则由高斯公式得.33=36(球体的体积)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用5 【正确答案】 【试题解析】 由二重积分的几何意义知 dxdy=柱体的体积锥体的体积=.222 【知识模块】 多元函数积分的概念、
9、计算及其应用6 【正确答案】 R3(a+b+c)【试题解析】 由球的质心公式知 则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 利用直角坐标系【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用8 【正确答案】 化成对 x 的定积分()上半圆周的表达式为：y= 起点 A对应于 x=a，终点 B 对应于 x=a，则()对于从 A(a，0)到 B(a，0)的直线段，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用9 【正确答案】 如图 95，x 2+y2=2ax 与 x 2+y2=2ay，是两个圆，其交点为 O(0，0) ，P(a， a
10、)因此，若先对 y 积分，就有若先对 x 求积分，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用10 【正确答案】 先对 x 积分区域 D 如图 96 所示 D=(x，y)0yb，0xa(1 )2，【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用11 【正确答案】 因区域 可表成(99)的形式：=(x，y，z)0z1 (x+y)，(x，y)D xy， Dxy=(x，y)x0，y0，x2y ，见图 97所以可用公式(910)求得 I 值，即【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用12 【正确答案】 由于为锥面 z= (0z1)，因此= d若记在 xOy，平面上的投影域为 D：z=0，x 2
11、+y21，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用13 【正确答案】 投影到 xy 平面将积分曲面分成上下两部分，分别记为 1 与2，则 =12并且在 1 上法向量 n 与 z 轴正方向的夹角为锐角，故公式(914) 中符号应取“+”号；在 2 上法向量与 x 轴正方向的夹角为钝角，故应取“” 号 1， 2 在 xOy 平面上的投影域均为D：z=0 ，x0，y0，x 2+y21，所以【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用14 【正确答案】 将 改写成 =(x，y，z(x 1，作平移变换：u=x ，则其中=(u，v，w) u 2+v2+w21【知识模块】 多元函数积分的概念、计算
12、及其应用15 【正确答案】 由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acos 与 r=2asin，交点 P 处的极坐标是 ，于是连接 OP 将区域 D 分成两部分(见图 916)，则或者先对 积分，则 f(rcos，rsin)d【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用16 【正确答案】 D 的图形如图 917 所示，虽然 D 的边界不是圆弧，但被积函数是 r= ，选用极坐标变换方便在极坐标变换下，D的边界方程是 = 从而 D： 0 ，0r 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用17 【正确答案】 区域 的边界面分别是旋转抛物面 x2+y2=z与球面 x2+y2+z2=2，见
13、图 918，两曲面的交线是 作柱坐标变换：x=rcos，y=rsin，z=z，则边界面的方程是：z=r 2，z= 又 在 xOy 平面上投影区域的极坐标表示为：D=(r，) 0r1 ， 02，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用18 【正确答案】 使用直角坐标系先求区域 在 xOy 平面上的投影域 D，它是由球面与锥面的交线所确定，即 x2+y2 R2，z=0若依照由 z 到 y 再到 x 的顺序积分，则 就本题积分域的特点先对 z 求积分是自然的【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用19 【正确答案】 是球体：x 2+y2+(z1) 21，在球坐标变换：x=sincos
14、，y=sinsin，z=cos 下，=(， ，)02，0 ，02cos)，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用20 【正确答案】 区域 D 如图 923被积函数只含 y，先对 x积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单若先对 y 积分，则求积分dy 要费点功夫选择先对 x 积分，将 D 分块：D=(x，y) 0y 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用21 【正确答案】 dy 的原函数不是初等函数，故 dy 积不出来，因此选先 x后 y 的顺序积分区域 D 如图 924，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用22 【正确答案】 区域 的图形不好画(可不必画出
15、)，但易求出 在 xOy 平面上的投影区域 D(见图 925)，D 的边界线是：x+y=1， x=0， y=0因而易写出 的不等式表示 =(x，y，z)0zxy ，(x，y)D 于是选择先一(先 z)后二(后 x，y) 的积分顺序：I= x2y2dxdy再将二重积分化为定积分(先 x 后 y 或先 y 后 x 均可)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用23 【正确答案】 区域 由右半椭球面及 zx 平面围成的右半椭球体(如图 926 所示) 它在 zx 平面的投影区域 Dzx 是： 1，于是=(x，y，z)0yb ，(z，x) Dzx另一方面，过 Y 轴上任意点y0，b作垂直 y 轴
16、的平面与 相交成区域 D(y)，则 D(y)：，0yb，它的面积 S(y)=ac ，于是=(x，y，z)0yb，(z，x) D(y)由于被积函数仅与 y 有关，而 D(y)面积已知，我们选择先二后一(先 zx 后 y)的积分顺序得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用24 【正确答案】 L 为正方形的边界如图 929因为 L 关于 x，y 轴均对称，被积函数x关于 y 与 x 均为偶函数，于是 I=4L1xds=4，其中 L1 是 L 在第一象限部分【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用25 【正确答案】 I= (ax+by+cz+)2dS= (ax)2+(by)2+(cx)2
17、+2+2abxy+2aczx+2bcyz+2ay+2by+2czdS根据积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知 又由坐标的轮换对称性知 因此【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用26 【正确答案】 在积分区域 D 上被积函数分段表示为 yx 2=(x，y) D，因此要将 D 分块，用分块积分法又 D 关于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数，记 D1=(x，y)(x，y)D，x0，yx 2，D2=(x，y) (x，y)D，x0，yx 2，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用27 【正确答案】 区域 D 如图 930 所示，将 D 分成 x0 与 x0 两部分，用分块积
18、分法得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用28 【正确答案】 D 是圆域：(x1) 2+(y1) 21，见图 931作平移变换：u=x1 ，v=y1，则 I=dudv =0+=其中D=(u，v) u 2+v21【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用29 【正确答案】 是两个球体 x2+y2+z24 与 x2+y2+z24z(x2+y2+(z2) 24)的公共部分，两球面的交线是 图 932 是 在 yz平面上的截面图 这里适宜用球坐标变换的情形这时要用锥面 z= (以原点为顶点，通过两球的交线)将 分成 =12，其中1=(x，y，z)x 2+y2+z24，z ， 2=x，y，
19、z)x 2+y2+z24z，z，见截面图 933，用球坐标表示1：02，0 ，02， 2：04cos， ，02，其中球面x2+y2+z2=4z 的球坐标方程是 =4cos，锥面 z= 的方程是 = 因此【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用30 【正确答案】 注意上 x2+y2+z2=a2，则 I= xdydz在 xy 平面上的投影区域Dxy：x 2+y2a2，且 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用31 【正确答案】 易求 S 在 xy 平面上的投影区域 D： 1于是这里，D 关于 x，y 轴均对称， 对 x 是奇函数， 对 y 也是奇函数，就有 现归结为求其中 D1=Dx0，y0 用极坐标变换：x=rcos，y=rsin，则 于是由对称性(将 x，y互换，同时 a，b 也互换， D 不变) dxdy因此 I=ab(2a 2)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用
