1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设空间区域 1：x 2+y2+z2R2，z0 及 2：x 2+y2+z2R2，x0，y0，z0，则下列等式成立的是2 设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（A）若 f(x， y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D0 均有 f(x，y)d=0，则 f(x，y)0( (x，y) D)（B）若 f(x，y) 在 D 可积， f(x，y)0 但不恒等于 0 (x，y)D) ，则（C）若 f(x，y) 在 D 连续 f2(x，y)d=0 ，则 f(x，y)0(
2、x，y)D) （D）若 f(x， y)在 D 连续，f(x ，y)0 (x，y) D)，则二、填空题3 设 L 为曲线 常数 a0，则 (xy+yz+zz)ds=_4 设 f(x，y， z)在 R=(x，y，z)|x 2+y2+z2R2连续，又 f(0，0，0)0，则 R0 时，是 R 的_阶无穷小三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 计算 其中，L 是圆周 x2+y2=4x(见图 91)6 计算积分 +(y 一 x)dy，其中 L：(I)是半径为 a，圆心在原点的上半网周，起点 A(a，0)，终点 B(一 a，0)(见图 92)；()x 轴上由 A(a，0) 到 B(-a，0
3、)的直线段7 将 f(x，y)dxdy 化为累次积分，其中 D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay 的公共部分(a 0)8 设 D 是由曲线 =1(a0，b0)与 x 轴，y 轴围成的区域，求9 计算 (0z1)10 设 =(x，y,z)|x 2+y2+z2x+y+z+ ，求11 在极坐标变换下将 f(x，y)d 化为累次积分，其中 D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay的公共部分(a0)12 求积分 其中 D 由 y=x 与 y=x4 围成13 利用柱坐标变换求三重积分： ：x 2+y2z，x 2+y2+z2214 利用球坐标变换求三重积分 其中 ：x 2+y2+z22z15
4、 求 y=x 及 x=0 所围成区域16 求 其中 D 是由抛物线 y2=x，直线 x=0，y=1 所围成17 求 ，其中 由 z=xy，z=0 ，x+y=1 围成18 求 (0yb)及 y=0 围成19 求 I=L|x|ds，其中 L 为|x|+|y|=120 计算曲面积分 (ax+by+cz+)2dS，其中是球面：x 2+y2+z2=R221 求 ，其中 D：|x|1，0y222 设 D 由抛物线 y=x2，y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后 y 的顺序将化成累次积分23 求 I= D 由曲线 x2+y2=2x+2y 一 1 所围成24 计算三重积分 (x2+y2+z2)dV
5、，其中 =(x，y，z)|x2+y2+z24，x 2+y2+z24z25 求 其中为下半球面 的上侧，a026 设 S 为球面 x2+y2+z2=9，取外侧，则27 设 D 为平面区域：x 2+y24，则28 设 是球体：(x 一 a)2+(y 一 b)2+(zc)2R2，则29 计算曲面积分 ，其中曲面是球面 x2+y2+z2=a2 的下半部分， 是向上的法向量与 z 轴正向的夹角30 设 为曲面 x2+y2=az 与 所围成的空间区域 (如图 935)，求它的体积，其中 a031 求柱面 x2+y2=ax 含于球面 x2+y2+z2=a2 内的曲面面积 S，其中 a0 为常数考研数学一（多
6、元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用2 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用二、填空题3 【正确答案】 一 a3，【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用4 【正确答案】 三【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 利用直角坐标系【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用6 【正确答案】 化成对 x 的定积分(I)上半圆周的表达式为： 起点
7、A对应于 x=a，终点 B 对应于 x=一 a，则()对于从 A(a，0)到 B(一 a，0)的直线段，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用7 【正确答案】 如图 95，x 2+y2=2ax 与 x2+y2=2ay 是两个圆，其交点为 O(0，0)，P(a，a)因此，若先对 y 积分，就有 若先对 X 求积分，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用8 【正确答案】 先对 x 积分区域 D 如图 96 所示【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用9 【正确答案】 由于为锥面若记在 xOy 平面上的投影域为 D：z=0 ，x 2+y21，则【知识模块】 多元函数积分的概
8、念、计算及其应用10 【正确答案】 将 改写成【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用11 【正确答案】 由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acos 与 r=2asin，交点 P 处的极坐标是 于是连接 OP 将区域 D 分成两部分(见图 916)，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用12 【正确答案】 D 的图形如图 917 所示，虽然 D 的边界不是圆弧，但被积函数是 选用极坐标变换方便在极坐标变换下，D 的边界方程是从而【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用13 【正确答案】 过 z 轴极角为 的半平面与 相交的截面为(图 919)【知识模块】 多元函数
9、积分的概念、计算及其应用14 【正确答案】 是球体：x 2+y2+(x1)21，在球坐标变换： x=psincos，y=psinsin，z=pcos 下，【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用15 【正确答案】 区域 D 如图 923 先对 x 积分，将 D 分块：【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用16 【正确答案】 的原函数不是初等函数，故 积不出来，因此选先 x 后y 的顺序积分区域 D 如图 924，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用17 【正确答案】 域 的图形不好画(可不必画出)，但易求出 在 xOy 平面上的投影区域 D(见图 925) ，D 的
10、边界线是：x+y=1 ，x=0 ，y=0 因而易写出 的不等式表示 =(x，y，z)|0zxy(x，y) D于是选择先一 (先 z)后二( 后 x，y)的积分顺序： 再将二重积分化为定积分(先 x 后 y 或先 y 后x 均可)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用18 【正确答案】 区域 由右半椭球面及 zx 平面围成的右半椭球体 (如图 926 所示)它在 zx 平面的投影区域 Dzx 是： ，于是另一方面，过 y 轴上任意点y0，b作垂直 y 轴的平面与 相交成区域 D(y)，则它的面积 S(y)= 于是=(x，y，z)|0yb ，(z，x)D(y)由于被积函数仅与 y 有关，而
11、 D(y)面积已知，我们选择先二后一(先 zx 后 y)的积分顺序得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用19 【正确答案】 L 为正方形的边界如图 929因为 L 关于 x，y 轴均对称，被积函数|x|关于 y 与 x 均为偶函数，于是 其中L1 是 L 在第一象限部分【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用20 【正确答案】 I= (ax+by+cz+)2dS= (ax)2+(by)2+(cz)2+2+2abxy+2aczx+2bcyz+2ax+2by+2czdS根据积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知 又由坐标的轮换对称性知【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用2
12、1 【正确答案】 在积分区域 D 上被积函数分段表示为因此要将 D 分块，用分块积分法又 D关于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数，记 D 1=(x，y)|(x ，y) D，x0，yx 2，D2=(x，y)|(x，y)D，x0，yx 2，【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用22 【正确答案】 区域 D 如图 930 所示，将 D 分成 x0 与 x0 两部分，用分块积分法得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用23 【正确答案】 D 是圆域：(x1) 2+(y 一 1)21，见图 931作平移变换：u=x一 1，v=y 一 1，则 =0+=其中 D=(u，v)|u 2+
13、v21【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用24 【正确答案】 是两个球体 x2+y2+z24 与 x2+y2+z24z(x2+y2+(z 一 2)24)的公共部分，两球面的交线是 图 932 是 在 yz平面上的截面图 这里适宜用球坐标变换的情形这时要用锥面 (以原点为顶点，通过两球的交线)将 分成 =12，其中见截面图 933用球坐标表示 1：02,0 ，02， 其中球面 x2+y2+z2=4z 的球坐标方程是 p=4cos，锥面因此【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用25 【正确答案】 注意上 x2+y2+z2=a2，则 在 xy 平面上的投影区域Dxy：x 2+y2a
14、2，且 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用26 【正确答案】 36【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用29 【正确答案】 根据两类曲面积分的关系，知 又根据的表达式： 以及 为锐角，因此其中 D 为 在 xOy平面上的投影，实际上 D 为圆：x 2+y2a2【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用30 【正确答案】 由 消去 z，得投影柱面 x2+y2=a2，于是， 在xy 平面上投影区域 D：x 2+y2a2该立体因此， 的体积为【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用31 【正确答案】 由对称性只需考虑第一卦限部分将柱面方程表成 y 为 x 的函数是方便的 D 是这部分柱面在 Ozx 平面的投影区域，求出 D 的关键是求柱面与球面的交线在 Ozx 平面的投影曲线见图937 柱面与球面的交线为 它在 Ozx 平面上的投影曲线为抛物线 z2=a2 一 ax，它与 Ox 轴，Oz 轴围成区域 D，则所求曲面面积为【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用
