1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）-试卷 4及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：62.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.f(x，y)dy； （分数：2.00）_3.f(x，y)dy(t0)； （分数：2.00）_4.极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）_5.I= （分数：2.00）_6.I= （分数：2.00）_7.I= x 3 y 2 zdV，其中 是由 x=1，x=2，y=0，y=x 2 ，z=0 及 z= （分数：2.00）_8.I= （分数：2.00）_9.I= （分数：2.0
2、0）_10.I= (x+y+z)dV，其中 ：x 2 +y 2 +z 2 2az， （分数：2.00）_11.f(x，y，z)dy，变成由 z到 y再到 x的顺序 （分数：2.00）_12.f(x，y，z)dz，改换成先 y最后 x的顺序 （分数：2.00）_13.考虑柱坐标系下的三重累次积分 I= （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.设 L为抛物线 y=x 2 上，从点 A(1，1)到 B(1，1)的一段，求 I= L (x 2 2xy)dx+(y 2 2xy)dy（分数：2.00）_16.求积分 I= dy，其中 C：y=1，x=4，y= （分数：2.00）_17.计算
3、曲面积分 I= （分数：2.00）_18.计算曲面积分 （分数：2.00）_19.设 S为柱面 x 2 +y 2 =a 2 (0zh)的外侧，满足 x0 的一半，求 I= （分数：2.00）_20.求曲面积分 I= （分数：2.00）_21.求曲线积分 I= C xydx+yzdy+xzdz，C 为椭圆周：x 2 +y 2 =1，x+y+z=1，逆时针方向（分数：2.00）_22.求下列区域力的体积： ()：x 2 +y 2 a 2 ，z0，zmx(m0)； ()：由 y 2 =a 2 az，x 2 +y 2 =ax，z=0(a0)围成； ()：由 z=x 2 +y 2 ，x+y+z=1 所围
4、成（分数：2.00）_23.设曲面 S是上半球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0，a0)被柱面 x 2 +y 2 =ax所割下部分，求 S的面积（分数：2.00）_24.设曲面 z= (x 2 +y 2 )，其面密度 为常数，求该曲面在 0z （分数：2.00）_25.设质点 P沿以 为直径的下半圆周，从点 A(1，2)运动到 B(3，4)的过程中，受变力 F的作用，F的大小等于点 P到原点 O之距离，方向垂直于线段 ，与 y轴正向的夹角小于 （分数：2.00）_26.设有平面光滑曲线 l：x=x(t)，y=y(t)，z=0，t，以及空间光滑曲线 L：x=x(t)，y=y(t)
5、z=f(x(t)，y(t)，t，t=，t= 分别是起点与终点的参数 ()试说明 l，L 及曲面S：z=f(x，y)的关系； ()若 P，Q，R 连续，f(x，y)有连续的偏导数，求证： L P(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz = l P(x，y，f(x，y)+ R(x，y，f(x，y)dx+Q(x，y，f(x，y)+ （分数：2.00）_27.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在区域 连续，：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是 中一条光滑曲线，起点 A，终点 B分别对应参数 t A 与 t B ，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，
6、使得 du=Pdx+Qdy+Rdz (称为 Pdx+Qdy+Rdz在 的原函数) 求证：I= （分数：2.00）_28.设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明： （分数：2.00）_29.设半径为 R的球面的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?（分数：2.00）_30.求一段均匀圆柱面 S：x 2 +y 2 =R 2 (0zh)对原点处单位质点的引力假设该圆柱面的面密度为1（分数：2.00）_31.求 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）-试卷 4答案解析(总分：62.00，做
7、题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：62.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.f(x，y)dy； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 912 所示 )解析：3.f(x，y)dy(t0)； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 913 所示当 x0，t 2 时， t(t0)，于是 )解析：4.极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 914) 原积分= f(rcosrsin)rdrd r 2 =sin2=sin( 一 2) 于是 一 2=arc
8、sinr 2 ，= arcsinr 2 因此 原积分= )解析：5.I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 915 所示 )解析：6.I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 916 所示 )解析：7.I= x 3 y 2 zdV，其中 是由 x=1，x=2，y=0，y=x 2 ，z=0 及 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()区域 由平面 x=1，x=2，y=0，z=0 及抛物柱面 y=x 2 与双曲柱面 z= 围成，易求出 在 xy平面(或 zx平面)上的投影区域 D xy (或 D zx )D xy 由 x=1，x=2，y=0，y=x 2 围成，
9、 D xy =(x，y)1x2，0yx 2 ，见图 917 一(a) D zx 由 x=1，x=2，z=0，z= 围成，即 D zx =(z，x)1x2，0z ，见图 917 一(b) 于是 =(x，y，z)1 0z ，(x，y)D xy ， 或 =(x，y，z)0yx 2 ，(z，x)D zx ()根据 的表示，宜选择先对 z(或 y)积分后对 xy(或 zx)积分的顺序 若先对 z积分得 )解析：8.I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由变量的轮换对称性，可得 用球坐标变换求 )解析：9.I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是旋转体(如图 918)，选用柱坐标变换
10、 先求交线由 选择先z后 r， 的积分顺序， 的柱坐标表示： ：02，0r1，r 2 z 于是 )解析：10.I= (x+y+z)dV，其中 ：x 2 +y 2 +z 2 2az， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 关于 yz平面与 zx平面均对称 用球坐标变换，球面 x 2 +y 2 +z 2 =2az与锥面的球坐标方程分别为 =2acos，= 的球坐标表示 D：02，0 ，02acos，于是 )解析：11.f(x，y，z)dy，变成由 z到 y再到 x的顺序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.f(x，y，z)dz，改换成先 y最后 x的顺序 （分数：2.0
11、0）_正确答案：(正确答案：I= f(x，y，z)dydz， 其中 D(x)：0y1，0zx 2 +y 2 现改为先 y后 z的顺序，将 D(x)分成两块：0xx 2 ，0y1；x 2 z1+x 2 ， y1，如图919则 )解析：13.考虑柱坐标系下的三重累次积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分区域 ： (x，y)D xy ， 其中 D xy =(x，y)x 2 +y 2 2于是 I= 3dz () 是由锥面 z= (球坐标方程是 =2)围成 的球坐标表示是02，0 ，02，于是 ()用球坐标最为方便 )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I=
12、 ，其中 ：1z1+ ，(x，y)D xy 如图 920 一(a) 它是由半球面：(z 一 1) 2 =1一 x 2 一 y 2 (z1)与平面 z=1所围成的 y0 部分 作球坐标变换z=1 对应 = ，半球面对应 p=2cos 的球坐标表示(如图 920 一(b) )解析：15.设 L为抛物线 y=x 2 上，从点 A(1，1)到 B(1，1)的一段，求 I= L (x 2 2xy)dx+(y 2 2xy)dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L：y=x 2 ，x1，1 )解析：16.求积分 I= dy，其中 C：y=1，x=4，y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(直
13、接计算) )解析：17.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 xy平面，yz 平面对称(如图 922) 投影到 zx平面，由 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ， y0 投影区域 D zx ：x 2 +z 2 R 2 ，于是 I= )解析：18.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r 2 =x 2 +y 2 +z 2 关于 zx平面，yz 平面均对称，则 I=4 ，如图923 1 ：x 2 +y 2 =R 2 ，x，y0，投影区域 D zx ：0xR，0zH， )解析：19.设 S为柱面 x 2 +y 2 =a 2 (0zh)的外侧，满足
14、x0 的一半，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 如图 924，S 垂直 xy平面，于是 ydxdy=0， I= zdydz+xyzdzdx 投影到 yz平面直接计算较为方便s 表为 x= (y，z)D yz ， 其中 D yz ：0zh，一 aya 代公式得 )解析：20.求曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= xdydz+ydzdx+zdxdy+ cosydydz+coszdzdx+cosxdxdy I 1 +I 2 平面 S的单位法向量 N=(cos，cos，cos)= (1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得 下面求 I 2 投影到
15、 xy平面上化为二重积分S 的投影区域为 D xy ，如图 925，则有 I 2 = cosy.(一 z x )+cos( 一(x+y).(一 z y )+cosxdxdy = cos(x+y)dxdy， 其中由 z= 一(x+y)得 z x =1，z y =1由于 D xy 关于 y=x对称，则有 因此 I 2 =22(2)=6 因此 I=I 1 +I 2 = )解析：21.求曲线积分 I= C xydx+yzdy+xzdz，C 为椭圆周：x 2 +y 2 =1，x+y+z=1，逆时针方向（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：C 的参数方程为 t0，2 I= costsint(一 sin
16、t)+sint(1一costsint)cost+cost(1一 costsint)(sint一 cost)dt = cos 3 tdt =+ )解析：22.求下列区域力的体积： ()：x 2 +y 2 a 2 ，z0，zmx(m0)； ()：由 y 2 =a 2 az，x 2 +y 2 =ax，z=0(a0)围成； ()：由 z=x 2 +y 2 ，x+y+z=1 所围成（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()D xy ：x 2 +y 2 a 2 ， x0，如图 926 =x，y，z)0zmx，(x，y)D xy ()=(x，y，z)0z (a 2 一 y 2 )，(x，y)D xy ，
17、 ()由 消去 z得 x 2 +y 2 +y=1，即 于是 在 Oxy平面上的投影区域(如图 927)是 D=(x，y)(x+ ，围成 区域的上曲面是 z=1一 x一 y，下曲面是 z=x 2 +y 2 ，因此 的体积 )解析：23.设曲面 S是上半球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0，a0)被柱面 x 2 +y 2 =ax所割下部分，求 S的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S：z= (x，y)D xy ： ，如图 928 )解析：24.设曲面 z= (x 2 +y 2 )，其面密度 为常数，求该曲面在 0z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：质量 M= (
18、x 2 +y 2 )，(x，y)D xy ：x 2 +y 2 3又 =y，于是 )解析：25.设质点 P沿以 为直径的下半圆周，从点 A(1，2)运动到 B(3，4)的过程中，受变力 F的作用，F的大小等于点 P到原点 O之距离，方向垂直于线段 ，与 y轴正向的夹角小于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 929 ()先求作用于 P(x，y)的力 F：F= 与 =x，y垂直的向量y，x，其中与 y轴正向成锐角的是一 y，x，于是 F=一 y，x ()F 对 P所做的功 W= ydx+xdy ()写出 的参数方程： (x 一 2) 2 +(y一 3) 2 = )解析：26.设有平面光
19、滑曲线 l：x=x(t)，y=y(t)，z=0，t，以及空间光滑曲线 L：x=x(t)，y=y(t) z=f(x(t)，y(t)，t，t=，t= 分别是起点与终点的参数 ()试说明 l，L 及曲面S：z=f(x，y)的关系； ()若 P，Q，R 连续，f(x，y)有连续的偏导数，求证： L P(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz = l P(x，y，f(x，y)+ R(x，y，f(x，y)dx+Q(x，y，f(x，y)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()l 是 L在 xy平面上的投影曲线，定向相同以 l为准线，母线平行于 z轴的柱面与曲面 S相交得曲线
20、L ()按线积分化定积分公式得 )解析：27.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在区域 连续，：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是 中一条光滑曲线，起点 A，终点 B分别对应参数 t A 与 t B ，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，使得 du=Pdx+Qdy+Rdz (称为 Pdx+Qdy+Rdz在 的原函数) 求证：I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 du=Pdx+Qdy+Rdz 由曲线积分化定积分公式 再由复合函数求导公式得)解析：28.设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将
21、累次积分表成二重积分，则有 其中 D=(x，y)0x1，xy1，如图 930，它与 D=(x，y)0x1，0yx关于 y=x对称于是 因此， )解析：29.设半径为 R的球面的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设的球心为(0，0，a)，的方程是 x 2 +y 2 +(z一 a) 2 =R 2 ，与定球的交线为 a 2 一 z 2 =R 2 一(za) 2 ，x 2 +y 2 =R 2 一(za) 2 ，即 在定球内部那部分在 Oxy平面上的投影区域为 这部分球面的方程是 z
22、=a一 (x，y)D它的面积是 现计算 S(R)=4R 因 S(0)=S(2a)=0，所以 R= )解析：30.求一段均匀圆柱面 S：x 2 +y 2 =R 2 (0zh)对原点处单位质点的引力假设该圆柱面的面密度为1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设引力 F=F x ，F y ，F z ，由对称性知，F x =0，F y =0因此只需求 F沿 z轴的分量 F z 如图 931 ()在圆柱面上任一点(x，y，z)处取一小块曲面元 dS，记r=x，y，z，r=r= ，则曲面元对原点处单位质点的引力 dF=k. dS，它沿 z轴的分量为dF z =k dS ()圆柱面对原点单位质点的引力的 z分量 F z = dS ()计算曲面积分要投影到 yz平面(或 zx平面)来计算 圆柱面 S在 yz平面的投影区域为 D yz =(y，z)0zh，一 RyR，曲面 S的方程为 x= ，记 S 1 为前半圆柱面，于是 )解析：31.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 L表成参数方程的形式，即 x=Rcos，y=Rsin(002)，于是 注意到右端积分存在且为一常数，所以 )解析：
