1、考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 比较下列积分值的大小：其中 D由 x=0，y=0，x+y= x+y=1 围成，则 I1，I 2，I 3 之间的大小顺序为（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I22 i=1， 2，3，其中 D 1=(x，y)|x 2+y2R2，D 2=(x，y)|x2+y22R2， D3=(x，y)|x|R，|y|R则 J1，J 2，J 3 之间的大小顺序为（A）J 1J 2J 3（B） J2J 3J 1（C） J1J
2、3J 2（D）J 3J 2J 1二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 求 其中 ：x 2+y21，|z|14 设 S 与 S0 分别为球面(x 一 a)2+(y 一 b)2+(zc)2=R2 与 x2+y2+z2=R2，又 f(x，y，z)在 S 上连续，求证：5 求 (x2+y2+z2)dS，其中 (I)S：x 2+y2+z2=2Rx；()S：(x 一 a)2+(y 一 b)2+(z 一c)2=R26 设分块光滑定向曲面 S 关于 xy 平面对称，S 在 xy 平面上方部分记为 S1(方程为z=z(x，y) ，(x，y)D xy)，下方部分记为 S2，又设 R(x，y，z)在
3、 S 连续，求证：7 计算 其中 L 为 x2+y2+z2=1 与 x+y+z=1 的交线8 将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：9 计算累次积分：I= 01dx1x+1ydy+12dxxx+1ydy+23dxx3ydy10 交换累次积分的积分顺序： I= 01dx01-xdy0x+yf(x，y，z)dz，改换成先 x 最后 y 的顺序11 12 将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：(I)(rcos，rsin)rdr 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分；()计算13 计算 (a0)，其中 D 是由圆心在点
4、(a，a)、半径为 a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域14 计算二重积分 |x+y|一 2|dxdy，其中 D：0x2，一 2y215 计算下列二重积分：(I) 其中 D 是由曲线 围成的区域；( ) ，其中 D 是由曲线 ，x 2+(y 一 1)2=1 与 y 轴围成的在右上方的部分16 求下列二重积分：(I) 其中 D 为正方形域：0x1，0y1；( ) ，其中 D：x 2+y21；() 其中D 由直线 x=一 2，y=0 ，y=2 及曲线 所围成17 求下列三重积分：(I) ，其中 由 z=16(x2+y2)，z=4(x 2+y2)，z=16 围成；( ) 其中 由
5、 x2+y2+z22z 所确定18 求下列曲线积分： ()I=Ly2ds,其中平面曲线 L 为旋轮线 (0t2)的一拱； ()I= L(x+y)ds，其中 L 为双纽线 r2=a2cos2(极坐标方程)的右面一瓣19 求曲线积分 I=C(x+y)dx+(3x+y)dy+zdz，其中 C 为闭曲线x=asin2t，y=2acostsint，z=acos 2t(0t)，C 的方向按 t 从 0 到 的方向20 求下列曲面积分：(I) ，其中是平面 x+y+z=1 被圆柱面 x2+y2=1 截出的有限部分；() 在柱体 x2+y22x 内的部分21 求下列曲面积分：(I) +xzdydz+z2dzd
6、x，其中是 x2+z2=a2 在 x0 的一半中被 y=0 和 y=h(h0)所截下部分的外侧(见图 960)；() 其中 S 是由曲线 (0ya)绕 x 轴旋转成的旋转面，取外侧22 求区域 的体积 V，其中 ：由 z=xy，x 2+y2=a2，z=0 围成23 求区域 的体积 V，其中 是半球面 及旋转抛物面x2+y2=2az 所围成24 求八分之一球面 x2+y2+z2=R2，x0，y0，z0 的边界曲线的质心，设曲线线密度 =125 求密度为 1 的均匀圆柱体 x2+y2a2，|z|h 对直线 L：x=y=z 的转动惯量26 设位于点(0，1) 的质点 A 对于质点 M 的引力大小为
7、(k0 为常数，r=|AM|)分别求下列运动过程中 A 对质点 M 的引力所作的功(如图 965)：(I)质点 M 沿曲线 自 B(2，0)运动到 O(0，0)；()质点 M 在圆 x2+y2=22 上由 B 点沿逆时针方向运动到 B 点27 设流速 v=(x2+y2)j+(z 一 1)k，求下列情形流体穿过曲面的体积流量 Q(如图967) ： (I)为圆锥面 x2+y2=z2(0z1)，取下侧； ()为圆锥体(z 2x2+y2， 0z1)的底面，法向量朝上28 设 f(u)连续，f(0)=1，区域 : ，t 0，又设 F(t)=29 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且恒大于零，证明：30
8、 (I)记 (R)=(x，y)|x 2+y2R2，求 ()证明考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 在区域 D 上， lntsintt，从而有(x，y)D 时， 因此选 C【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用2 【正确答案】 C【试题解析】 D 1，D 2 是以原点为圆心，半径分别为 R， 的圆，D 3 是正方形，显然有 因此(C)成立【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 这里 对三
9、个坐标面均对称， (被积函数对 x 为奇函数， 关于 yz 平面对称；或被积函数对 y 为奇函数， 关于 zx 平面对称)类似理由得 最后作柱坐标变换得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用4 【正确答案】 我们将证 的二重积分表示即是的二重积分表示 球面 S 的方程可写成：并分别记为 S1 与 S2它们在 xy 平面上的投影区域为 Dxy：(x 一 a)2+(y 一 b)2R2，且对二重积分作平移变换：u=x 一 a，v=yb，可得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用5 【正确答案】 (I)S 的方程可改写成(x 一 R)2+y2+z2=R2，是以(R，0，0)为球心，R
10、为半径的球面，其面积为 4R2，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用6 【正确答案】 注意，由 S1 的方程可得S 2 的方程： z=一 z(x，y)(x，y) Dxy)不妨设 S1 的法向量与 z 轴正向成锐角，于是 S2 的法向量与 z 轴正向成钝角将曲面积分化为二重积分得将两式相加即得结论【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用7 【正确答案】 由于积分弧段关于 x，y，z 是对称的，所以由坐标的轮换对称性(坐标轴名称互换时，曲线 L 的方程不变)得这样，所要计算的就是 L 的长度L 为球面与平面的交线，所以它是圆，现求它的半径 r原点 O 到平面 x+y+z=1 的
11、距离是 因此 L 的半径为 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用8 【正确答案】 r=2acos 是圆周 x2+y2=2ax，即(x 一 a)2+y2=a2，因此 D 的图形如图943 所示为了先 后 r 的积分顺序，将 D 分成两块，如图 943 虚线所示，D=D1D2，且【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用9 【正确答案】 由累次积分限知：0x1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1；2x3时 xy3，于是积分区域 D 如图 945 所示，因此 D 可表示为 D=(x，y)|1y3，y 一 1xy，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用10 【正确答案】
12、 把该累次积分看成是三重积分按先一(z)后二的顺序化成的，则其中 Dxy=(x，y)|0x1，0y1x，如图 946交换 x 与 y 的顺序得 I= 01dy01-ydx0x+yf(x，y，z)dz 再把它看成三重积分按先二后一(y)的顺序化成的，则 其中 Dzx=(z，x)|0x1 一y，0zx+y，如图 947(对 z、x 积分时 y 是参数，z 、x 变动时 y 是不变的)，交换 x 与 z 的积分顺序 (先对 x 积分要分块积分) 得 I=01dy0ydz01-yf(x，y，z)dx+01dyy1dzz-y1-yf(x，y， z)dx【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用11
13、【正确答案】 希望通过交换积分顺序，比较容易地算出这个累次积分把它看成是三重积分 按先一后二的顺序化成的于是其中 Dxy=(x，y)|0x1，xy1，如图 9.48? 对外层积分按先 x 后 y 的顺序得其中 D 如图 949，按先 y 后 z 的顺序配限得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用12 【正确答案】 (I)D 的极坐标表示：，r 2rsin，即 x2+y2y，x0，则 D 为左半圆域：x2+y2y，x0，即 用先对 y 后对 x 积分于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用13 【正确答案】 由于圆的方程为：(x 一 a)2+(y 一 a)2=a2，区域 D 的
14、边界所涉及的圆弧为 y=a 一 所以【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用14 【正确答案】 如图 950，用直线 y=一 x+2，y=一 x 将 D 分成 D1，D 2 与 D3于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用15 【正确答案】 (I)积分域 D 见图 951D 的极坐标表示是：0rsin2，于是()选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为 r=1 与 r=2sin，交点的极坐标为。见图 952，于是积分域 D 的极坐标表示为则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用16 【正确答案】 (I)尽管 D 的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便D
15、的边界线 x=1 及 y=1 的极坐标方程分别为()在积分区域 D 上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因 D 是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin ，则 D：02，0r1从而其中 由周期函数的积分性质，令 t=+0 就有()D 的图形如图 953所示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D1，则计算 D1 上的积分自然选用极坐标变换若只考虑区域 D，则自然考虑先 x 后 y 的积分顺序化为累次积分若注意 D关于直线 y=1 对称，选择平移变换则最为方便作平移变换 u=x，v=y 一 1，注意曲
16、线 即 x2+(y1)2=1，x0，则 D 变成 DD 由 u=-2，v= 一1，v=1 ，u 2+v2=1(u0)围成，则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用17 【正确答案】 (I) 由两旋转抛物面与平面 z=16 所围，被积函数为 r2故选用柱坐标变换过 z 轴，极角为 的半平面交 得平面区域D()为已知( 图 957)，于是用先二后一 (先 r，z 后 )的积分顺序化为累次积分，则有 ()被积函数为的函数， 是球体：x 2+y2+(z1)212，故选用球坐标变换在球坐标变换下，：02，0 ，02cos，【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用18 【正确答案】 (I)由
17、于积分弧段的对称性与被积函数为偶函数，所以能够只在第一象限求积分又由于椭圆的参数方程为 x=acost，y=bsint ，因此()L 是双纽线的右瓣：r 2=a2cos2， L 关于 x 轴对称，y 关于 y 为奇函数，于是有 Lyds=0从而 I=Lxds由极坐标方程下曲线积分的计算公式得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用19 【正确答案】 曲线 C 的参数方程已给出 x=x(t)=asin 2t，y=y(t)=asin2t，z=acos 2t，t0，于是直接化成定积分 I= 0(x(t)dx(t)+y(t)dx(t)+x(t)dy(t)+2x(t)dy(t)+y(t)dy(t)
18、+z(t)dz(t)=0+2a2sin2tsin2t|0一 2a20sin22tdt=一 a202sin2tdt=一 a2,【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用20 【正确答案】 (I)积分曲面的表达式为 z=1 一 xy，在 xy 平面上的投影为圆D：x 2+y21，所以 ()利用锥面的表示式 可知又锥面在 Oxy 平面的投影区域 D：x 2+y22x，极坐标表示是： ，0r2cos ，因此【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用21 【正确答案】 (I)本题实际上可以分三个积分计算，即 I=I1+I2+I3将在 yz 平面上的投影记为 Dyz，则 Dyz：0yh，一 aza
19、注意到 的法线方向与 x 轴正方向夹锐角，则 此时已化成了二重积分，注意到 Dyz关于 y 轴对称，而被积函数为 z 的奇函数，故 I2=0由于垂直于 zx 平面(它在 zx平面上的投影域面积为零)，故 而()曲面 S 的方程是： (y2+z2a2)，见图 961S 在 yz 平面上的投影区域 Dyz 易求，S 的法向量与 x 轴正向成钝角，于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用22 【正确答案】 如图 962，注意曲面 z=xy，第一、三象限时位于 Oxy 平面的上方，第二、四象限时位于 Oxy 平面的下方，区域 由曲面 z=xy，柱面 x2+y2=a2 及xy 平面所围成z=x
20、y 在 Oxy 平面的投影区域 D=(x，y)|x 2+y2a2因此 的体积【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用23 【正确答案】 先解方程组 得两曲面的交线为由立体的形状可知，它在 Oxy 平面上的投影为圆域 D=(x，y)|x2+y22a2，如图 963因此 的体积为【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用24 【正确答案】 设边界曲线在 Oxy，Oyz，Ozx 坐标平面内的弧段分别记为L1，L 2，L 3(见图 964)设曲线的质心为 直接按质心计算公式知：其中 L=L1L2L3， m= Lds=ds 为曲线 L的质量【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用25 【
21、正确答案】 先求圆柱体上任意点(x，y，z) 到直线 L 的距离的平方再求圆柱体对 L 的转动惯量【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用26 【正确答案】 (I)由曲线的参数方程计算曲线积分()【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用27 【正确答案】 (I)首先，用曲面积分表示流量，即直接投影到 xy 平面上代公式求 Q由的方程 在 xy 平面上的投影区域 D：()圆锥体(z 2x2+y2，0z1)的底面 即 x2+y21， z=1，它垂直于 zx 平面，在上z 一 1=0，因此【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用29 【正确答案】 利用积分变量的改变，可得其中 D=(x，y)|axb，ayb 并且利用对称性 (D 关于 y=x 对称)，可得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用30 【正确答案】 (I)首先用极坐标变换求出 I(R)= ，然后求极限作极坐标变换 x=rcos，y=rsin 得通过求再求极限的方法行不通，因为 积不出来(不是初等函数)但可以估计这个积分值为了利用 我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题其中 D(R)=(x，y)|x|R，|y|R 显然 I(R) 又于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用
