1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设为 x+y+z=1 在第一卦限部分的下侧，则 (x2+z)dxdy 等于 ( )2 设函数 P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数，L 为 D 内曲线，则曲线积分 LPdx+Qdy 与路径无关的充要条件为 ( )（A）Pdx+Qdy 是某一函数的全微分（B） CPdx+Qdy=0，其中 Cx 2+y2=1 在 D 内（C）（D）3 设 C 为从 A(0，0)到 B(4，3)的直线段，则 C(x-y)ds 为 ( )4 设是部分锥面：x 2+y2=z
2、2，0z1 ，则曲面积分 (x2+y2)dS 等于 ( )5 曲线积分 (2xcosy+ysinx)dx-(x2sinynacosx)dy，其中曲线 为位于第一象限中的圆弧 x2+y2=1，A(1 ，0)，B(0，1)，则 I 为 ( )（A）0（B） -1（C） -2（D）26 设曲线 T 为 x2+y2+z2=1，z=z 0(z 01)，由 z 轴正向看去为逆时针方向，则曲线积分 T(x2+yz)dx+(y2+xz)dy+(z2+xy)dz 的值为 ( )（A）0（B） 1（C） -1（D）12二、填空题7 设是平面 3x+2y+ =6 在第一卦限部分的下侧，则化成对面积的曲面积分为 I=
3、_8 设光滑曲面所围闭域 上，P(x，y，z) 、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且为 的外侧边界曲面，由高斯公式可知的值为_9 设 u=x2+3y+yz，则 div(gradu)=_10 设曲线 ：x=acost ，y=asint，z=bt(0t2)，则 (x2+y2)ds=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算 ，绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z=8 所围成的区域12 计算 ，其中为球面 x2+y2+z2=1 的外侧13 已知：z=z(x，y)，(x，y)D，求证：14 计算 (ax2+by2+cz2)dS，其中 ：x 2+y2+z2=11
4、5 计算 I=L+ydx+zdy+xdz，其中 L+为曲线 其方向是从 y 轴正向看去为逆时针方向16 设 P(x，y)，Q(x，y) 在全平面有连续偏导数，且对以任意点(x 0，y 0)为中心，以任意正数 r 为半径的上半圆 L：x=x 0+rcos，y=y 0+rsin(0)，恒有 LP(x，y)dx+Q(x，y)dy=0求证：17 设球体 x2+y2+z22az(如图 16-2)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心18 设半径为 R 的球之球心位于以原点为中心、a 为半径的定球面上(2a R0，a为常数)试确定 R 为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此
5、最大值19 在密度为 1 的半球体 的底面接上一个相同材料的柱体：-hz0，x 2+y2R2(h0)，试确定 h 值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上20 设 ，计算(1)gradu；(2)div(gradu)；(3)rot(gradu) 21 如果向量场 A(x，y，z)= 是有势场，求常数 a，b 的值 A 的势函数 u22 求，自点 A(1，0，0) 至点 C(O，0，1)的长弧段23 计算24 设 =(x，y，z)x 2+y2+z21)，求25 计算三重积分 x 2+y2+z2-1dv，其中 =(x，y，z)x 2+y2+z2226 设 f(x)在0，1上连续，试证：27 计算 (x2
6、+y2+z2)ds，其中考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 ：z=1-x-y，D xy：0y1-x，0x1则【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 在单连通域 D 中， Pdx+Qdy 在 D 内与路径无关CPdx+Qdy=0，其中 C 为 D 内任意闭曲线 Pdx+Qdy 为某一函数的全微分故选(A) 【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 只有选项(B)正确【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 因 0x1，故
7、：【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 P=2xcosy+ysinx， =-2xsiny+sinx，Q=-(x 2siny+cosx)， =-2xsiny+sinx因 故该曲线积分与路径无关取 O(0，0)，则：x=0，0y1故【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 设 P=x2+yz，Q=y 2+xz，R=z 2+xy则由斯托克斯公式，其中是平面 z=z0 内且以曲线 为边界的那部分的上侧【知识模块】 多元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 指定侧法向量 n=(-3，-2 ， )，n 的方向余弦由两类曲面积分的联系，【知识模块】
8、多元函数积分学8 【正确答案】 0【试题解析】 因 P，Q，R 在 上有二阶连续偏导数，故 Ryx=Rxy，Q zx=Qxz，P zy=Pyz，从而 用高斯公式 原式=【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由第一型曲线积分公式知：【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 旋转曲面的方程为： 因此【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 方法一(利用对称性并直接计算) 由球面的对称性，知方法二(第二型化第一型) 球面：x 2+y2+z2=1 的外侧单
9、位法向量为 n0=(x，y，z)，将第二型曲面积分化为第一型曲面积分，得由对称性知【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 因曲面 z=z(x，y)在任一点(x，y， z)的法线向量为(-z x，-z y，1)，故【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 方法一 利用高斯公式，设的外法线向量 n=(cos，cos ，cos) ，则对 (x，y，z)，cos=x，cosy，cos=z ，因此利用高斯公式，有【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 设 x+y+z=1 上圆的内部区域为 S，法向量取向上由斯托克斯公式：易知 S 指定侧的单位法向量为 n=其中 ， 为 n 的方向角
10、 由第一、二型曲面积分的联系，得其中S为圆 S 的面积易知 S的半径 R=【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 设以任意点(x 0，y 0)为中心，以任意正数 r 为半径的上半圆的直径为 AB，上半圆域为 D，则其中 M1D 为某一点又【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 由于所给球体的质量分布关于 z 轴对称，所以它的重心位于 z 轴上，而密度是 其中 k 是比例常数，因此可得 xG=yG=0，米用球坐标计算这两个三重积分，将 x=rsincos，y=rsinsin，z=rcos 代入球体的不等式，得 0r2acos，且02,0 则故所给球体的重心坐标为【知识模块】 多元
11、函数积分学18 【正确答案】 以定球球心为原点，两球心之连线为 z 轴建立坐标系，则两球面方程为定球：x 2+y2+z2=a；动球：x 2+y2+(z-a)2=R2两球交线为该交线在 xOy 平面上的投影圆： x2+y2= (4a2-R2)设动球夹在定球内部的表面积为 S对于动球故当 R= 时，动球夹在定球内部的表面积 S 最大，最大值为【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 之重心为 而【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 有势场是旋度恒为零的向量场，由 rotA=0 即可求得有关量由得 a=1，b=0由于【知识模块】 多元函
12、数积分学22 【正确答案】 方法一(加、减弧段斯托克斯公式法)添直线段 (如图 16-15)，由斯托克斯公式，记 S 为平面 x+y+z=1 上由 L所围成的曲面，法向量与 z 轴交角为锐角，于是换成第一型曲面积分，n0=(cos，cos，cos)= (1，1，1)，于是方法二(参数法)L 的参数式可写成【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查三重积分的精确定义，类比于定积分和二重积分，我们首先给出三重积分的精确定义：这里的 不是一般的空间有界闭区域，而是一个 “长方体区域”于是，给出“凑三重积分定义”的步骤如下：【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 由轮换对称性可知，【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 将 分解成 1：x 2+y2+z21 和 2：1x 2+y2+z22，使被积函数在每个子区域内不变号，故【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，所以在 0，1 上存在原函数设 F(t)=f(t)(t0，1)，则【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 先写出参数式 ，0t2，于是，【知识模块】 多元函数积分学
