1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中不正确的是( )（A）设 f(u)有连续导数，则 Lf(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。（B）设 f(u)连续，则 Lf(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关。（C）设 P(x， y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 ，则LPdx+Qdy 在区域 D 内与路径无关。（D） 在区域 D=(x，y)(x，y)(0，0)上与路径有关。2 设区域 D=(x，y) x 2+y24，x0，y0 ，f(x)为 D 上的正值连续
2、函数，a，b 为常数，则 =( )（A）ab 。（B） 。（C） (a+b)。（D） 。3 设 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2，L 4：2x 2+y2=2 为四条逆时针方向的平面曲线，记 Ii= dy(i=1，2，3，4)，则maxI1，I 2，I 3，I 4=( )（A）I 1。（B） I2。（C） I3。（D）I 4。4 累次积分 d0cosf(cos，sin)d 等于( )（A） 01dy f(x，y)dx（B） 01dy f(x，y)dx（C） 01dx01f(x，y)dy（D） 01dx f(x，y)dy5 设 D=(x， y)0x ，
3、0y，则 sinxsinymaxx，yd 等于( )6 设 ，其中 D：x 2+y2a2，则 a 为( )（A）1。（B） 2。（C） 。（D） 。7 设曲面是 z=x2+y2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 等于( )（A）2e 4。（B） (e41)。（C） 2(e41)。（D）e 4。8 设曲线 L：f(x，y)=1，f(x，y)具有一阶连续偏导数。过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( )9 设有空间区域 1：x 2+y2+z2R2，z0； 2：x 2+y2+z2R2，x0，y0，z0。则有( )二、填空题
4、10 向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k 在点 P(1，1，0)处的散度divu=_11 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线积分 Lxdy 一 2ydx 的值为_。12 设 是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 xdydz+ydzdx+zdxdy=_。13 设曲面：x+y+z=1 ，则 (x+y)dS=_ 。14 设曲面是 z= xydydz+xdzdx+x2dxdy=_15 已知曲线 L：y=x 2(0x )，则 Lxds=_。16 设 L 是柱面方程为 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正
5、向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 Lxzdx+xdy+ dz=_。17 设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0则 y2dS=_。18 已知 A=(2x+yz)i+(6xy)j+(z2+xy)k，则 div(A)=_。19 已知 A=(2z 一 3y)i+(3x 一 z)j+(y 一 2x)k，则 rot(A)=_。20 设区域 D 为 x2+y2R2，则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中为曲面 z=1 一 x2 一(0z1)的上侧。22 计算曲面积分 (z2+x)dydz
6、zdxdy，其中是旋转抛物面 z= (x2+y2)介于平面z=0 及 z=2 之间的部分的下侧。23 计算曲面积分 I= 2x3dydz+2y3dzdx+3(z2 一 1)dxdy，其中 是曲面 z=1 一 x2 一y2(z0)的上侧。24 计算 I=L(y2 一 z2)dx+(2z2 一 x2)dy+(3x2 一 y2)出，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y =1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向。25 计算 I=L(x 一 y)dx+(x 一 z)dy+(xy)出，其中 L 是曲线 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向。26 设 A=(x 一 z，x 3+y
7、z，一 3xy3)，求 rotAndS。其中曲面 为锥面 z=2 一在 xOy 面的上方部分，其单位法向量 n 指向锥面 外侧。27 已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4到点(0 ，2) 的曲线段，计算曲线积分 I=L3x2ydx+(x2+x 一 2y)dy。28 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0x2，xy2，x 2+y22。29 设 ba 0，证明 abdyybf(x)e2x+ydx=ab(e3x 一 e2x+a)f(x)dx。30 设函数 f(x)为0，1上的单调减少且恒大于零的连续函数，证明：31 计算二重积分 ，直
8、线 y=x 及 x 轴所围成的闭区域。32 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为 a，b，试求这个三角形对其直角边的转动惯量。33 设闭区域 D：x 2+y2y， x0，f(x，y) 为 D 上的连续函数，且求 f(x，y)。34 计算 siny2dxdy，D 是由 x=1，y=2 ，y=x 一 1 所围成的区域。考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对于(A) ，令 P(x，y)=xf(x 2+y2)，Q(x，y)=yf(x 2+y2)，则 =2xyf(x2+y2)，得到 ，
9、且全平面是单连通区域，故 LPdx+Qdy 在全平面内与路径无关。 (A)正确。 对于(B)，可求得被积函数的原函数为 f(x 2+y2)(xdx+ydy)= (x2+y2)d(x2+y2)= ，因而， Lf(x2+y2)(xdx+ydy)与路径无关。(B)正确。 对于(C)，因 D 区域不一定是单连通区域，故(C)中积分不一定与路径无关。(C)不正确。 对于(D) ，取 L 为单位圆 x2+y2=1，并取逆时针方向，则 因此积分与路径有关。(D) 正确。故选 C。【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 x 与 y 的可互换性，故应选 D。【知识模块】 多元函数积分学
10、3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 Li 所围区域封闭，故运用格林公式。曲线 Li 所围成的区域记为Di(i=1，2，3，4)，由格林公式得由L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3： y2=1 可知 D1，D 2 为圆域，D3，D 4 为椭圆域，而被积函数 f(x，y)=1 一(x 2+ y2)为连续函数，在 D4 上 f(x，y)0，但不恒等于 0，而在 D4 之外，f(x，y)0 但不恒等于 0。 因为 D4 D1，故I4I 1。D 4 和 D1 的公共部分是 D4，D 1 的剩余部分 f(x，y)0，但不恒等于 0。因此I4I 2。 D 4 和 D3 的公共部分是相
11、交的区域，D 4 的剩余部分 f(x，y)0 但不恒等于0，而 D3 的剩余部分 1 一(x 2+ y2)0，但是不恒等于 0，所以 I4I 3。 因此最大值为 I4，所以选 D。【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0z1 ，0y ，故选 D。【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1=(x，y)0x，0yx，则 xsinxsinyd=20sinxdx0xsinydy =20xsinx(1 一 cosx)dx=20xsinxdx 一 0sin2xdx =2(xcosx+sinx) 0。 故府
12、诜(B)。【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 故得a=2，应选 B。【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 将曲面投影到 xOy 面上，记为 Dxy，则选B。【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 记 M(xM，y M)，N(x N，y N)，则 x M 0，y M0；x N0，y N0。故选 B。【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知 1 关于 yOz 坐标平面对称，选项 A 的左端积分中被积函数为 x 的奇函数。由三重积分的对称性质可知 =0， (*) 而在 2 上，x0，从而 0，可知
13、(A)不正确。 由于 2 的边界曲面方程对 x，y 具有轮换对称性，可知 0。又由于 1 关于 zOx 戈坐标平面对称，选项 (B)中左端积分的被积函数为 y 的奇函数，由三重积分对称性可知 =0， 可知(B)不正确。 由于 1 关于 yOz 坐标平面对称，也关于 xOz 坐标平面对称， (C)左端积分的被积函数 z 既为 x 的偶函数，也为 y 的偶函数，由两次使用三重积分对称性质，可得可知(C) 正确。 由(*) 式可知(D)在左端积分为零，而右端积分大于零。可知(D) 不正确。【知识模块】 多元函数积分学二、填空题10 【正确答案】 2【试题解析】 由题设条件，P=xy 2，Q=ye z
14、，R=xln(1+z 2)，则因此 divu=1+1+0=2。【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限的部分，用极坐标可表示为【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 (2 一 )R3【试题解析】 由高斯公式知，【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由于曲面关于平面 x=0 对称，因此 =0。又曲面：x+ y+ z =1 具有轮换对称性，于是【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 4【试题解析】 作辅助面 1：z=0，取下侧。则由高斯公式，有【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析
15、】 曲线 L 可与成参数形式，x=x，y=x 2，0x ，则【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 曲线 L 的参数方程为【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 由曲面积分的计算公式可知y2dxdy，其中D=(x，y)x0，y0 ，x+y1 。故原式= 。【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 2+6x+2z【试题解析】 由散度定义公式 div(A)= =2+6x+2z。【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 2i+4j+6k【试题解析】 由公式得【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 利用极坐标系，则【知识模块
16、】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 补充曲面： 1：x 2+ =1，z=0，取下侧。则其中 为与 1所围成的空间区域，D 为平面区域 x2+ 1。 由于区域 D 关于 x 轴对称，因此3xydxdy=0又 =301z2(1 z)dz=，其中 Dz：x 2+ 1 一 z。 故 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy=。【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 由两类曲面积分之间的联系，可得【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 取为 xOy 平面上被圆 x2+y2=1 所围成部分的下侧，记 为由与围成的空间闭区域，则
17、I= 2x3dydz+2y3dzdx+3(z21)dxdy 一2x3dydz+2y3dzdx+3(z2 一 1)dxdy。 由高斯公式知 2x3dydz+2y3dzdx+3(z21)dxdy= (x2+y2+z)dxdydz =602d01d (z+2)dz =1201 (12)2+3(12)d=2，又有 2x3dydz+2y3dzdx+3(z21)dxdy=一 一 3dxdy=3。 故 I=2一 3=一 。【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 记为平面 x+y+z=2 上 L 所围部分。由 L 的定向，按右手法则取上侧，的单位法向量 n=(cos ，cos ，cos)= (1，1，
18、1)。 由斯托克斯公式得按第一类曲面积分化为二重积分得：其中 D 为 在 xOy 平面上的投影区域x+y1。由 D 关于 x，y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 曲线 C 的参数方程为：x=cost ，y=sint，z=sintcost+2，则 I=20(2 一 cost)(一 sint)+(2costsint 一 2)cost+(costsint)(cost+sint)dt =一 2。【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 设曲线 L 为 xOy 面上的圆周 x2+y2=4，取正向。由斯托克斯公式的向量形式，有 rotAndS= L(x
19、一 z)dx+(x3+yz)dy 一 3xy2dz =Lxdx+x3dy(L 为xOy 面上的曲线)【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 设圆 x2+y2=2z 为圆 C1，圆 x2+y2=4 为圆 C2，如图 6 一 14：补线段 L1 为 x=0，y：20，则由格林公式得 I= 3x2ydx+(x3+x 一 2y)dy 一3x2ydx+(x2+x 一 2y)dy = (3x2+13x2)dxdy 一 20(一 2y)dy 【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 画出积分区域 D 如图 615 所示。 用直线 x=1 将 D 分成两个积分区域：【知识模块】 多元函数积分学2
20、9 【正确答案】 画出二次积分 abdyybf(x)e2x+ydx 的积分区域，如图 616 所示，即D：ayb，yxb。 交换该二次积分的次序，有 I= abdxaxf(x)e2x+ydy =abe2x(ex 一 ea)f(x)dx =ab(e3xe2x+a)f(x)dx。 故等式左端=右端，证毕。【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上单调减少且 f(x)0。所以不等式等价变形为 0xxf2x+y(x)dx 0xf(x)dx0xxf(x)dx 0xf2x+y(x)dx。从而原题可转化为证明不等式 0xxf(x)dx 0xf2x+y(x)dx 一 0xxf2
21、x+y(x)dx 0xf(x)dx0。令 I= 0xxf(x)dx0xf2x+y(x)dx 一 0xxf2x+y(x)dx 0xf(x)dx =0xxf(x)dx0xf2x+y(y)dy 一0xf(x)dx 0xyf2x+y(y)dy (1) =0x0xf2x+y(y)f(x)(x 一 y)dxdy 又 I= 0xyf(y)dy0xf2x+y(x)dx 一0xf(y)dy0xxf2x+y(x)dx =0x0xf(y)f2x+y(x)(y 一 x)dxdy， (2)(1)+(2)得 2I=0x0xff(x)f(y)(x一 y)f(y)一 f(x)dxdy，由题设， f(x)0 且在0，1上单调递
22、减，所以当 yx 时，f(y)f(x)，即(x 一 y)f(t)一 f(x)0。故 2I0，即 I0。 命题得证。【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 画出积分区域 D，如图 617 所示。积分区域为扇形，令x=rcos，y=rsin，其中 则【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 以两直角边为坐标轴建立坐标系，如图 618 所示，横轴、纵轴上边长分别为 a 和 b，则绕 y 轴的转动惯量【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 设 f(u，v)dudv=A(常数)。在已知等式两边求区域 D 上的二重积分，得【知识模块】 多元函数积分学34 【正确答案】 画出积分区域 D，如图 619 所示，先对 x 积分，后对 y 积分，有【知识模块】 多元函数积分学
