1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设是曲面 被 z=1 割下的有限部分，则曲面积分 的值为( )（A）（B）（C）（D）2 下列命题中不正确的是 ( )（A）设 f(u)有连续导数，则 在全平面内与路径无关（B）设 f(u)连续，则 在全平面内与路径无关（C）设 P(x， y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又在区域 D 内与路径无关（D） 在区域 D=(x，y)(x ，y)(0，0)上与路径有关3 设曲线 L 是区域 D 的正向边界，那么 D 的面积为 ( )（A）（B）（C）（D）4 设力
2、 f=2i 一 j+2k 作用在一质点上，该质点从点 M1(1，1，1)沿直线移动到点M2(2，2，2)，则此力所做的功为 ( )（A）2（B）一 1（C） 3（D）45 设曲线积分 与路径无关，其中，f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 ( )（A）（B）（C）（D）6 设为球面 x2+y2+z2=1 的外侧，下面 4 个结论：其中正确的个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设为球面(x 一 1)2+y2+(z+1)2=1，则第一型曲面积分 ( )（A）4（B） 2（C） （D）08 设 L 是摆线 上从 t=0 到 t=2 的一段，则
3、( )（A）一 （B） （C） 2（D）一 2二、填空题9 设 f(u)具有连续的一阶导数，L AB 为以 为直径的左上半个圆弧，从 A 到 B，其中点 A(1，1)，点 B(3，3) 则第二型曲线积分=_.10 设 S 为椭球面 ，已知 S 的面积为 A，则第一型曲面积分=_11 设封闭曲面 S：x 2+y2+z2=R20) ，法向量向外，则_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 在下列区域 D 上， 是否与路径无关 是否存在原函数?若存在，求出原函数(1)D：x 2+y20； (2)D：y 0； (3)D：x013 计算 其中 S 为圆柱面 x2+y2=a2 介于 z=
4、0 和 z=h 之间的部分14 设事件 A，B 独立证明：事件 是独立的事件组15 设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)P(B)116 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表(1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q17 已知：z=z(x，y)，(x，y)D，求证：18 计算 其中：x 2+y2+z2=119 计算 其方向是从 y 轴正向看去为逆时针方向20 设 P(x，y)，Q
5、(x，y) 在全平面有连续偏导数，且对以任意点(x 0，y 0)为中心，以任意正数 7为半径的上半圆 L：x=x 0+rcos，y=y 0+rsin(0)，恒有求证：21 设球体 x2+y2+z22az(如图 162)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心22 设半径为 R 的球之球心位于以原点为中心、a 为半径的定球面上(2a R0，a为常数)试确定 R 为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值23 在密度为 1 的半球体 的底面接上一个相同材料的柱体：一hz2+y2R2(h0)，试确定 h 值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上24 有甲、乙两个口袋，两袋
6、中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律24 设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) 25 求 ，其中曲线为自点 A(1，0，0)至点 C(0，0， 1)的长弧段26 计算27 设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数27 设随机变量 X 满足X1，且 ，在一1X1) 发生的情况下，X 在(一 1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比28 设 f
7、(x)在0，1上连续，试证：29 设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 在全平面与路径无关，且 求 f(x，y)30 设曲线 C：x 2+y2+x+y=0，取逆时针方向，证明：31 设 L 是平面单连通有界区域 的正向边界线，n 0 是 L 上任一点(x，y)处的单位外法向量设平面封闭曲线 L 上点(x，y)的矢径 r=xi+yj，r=r， 是 n0 与 y 的夹角，试求32 求矢量 穿过曲面的通量，其中三为曲线绕 z 轴旋转一周所形成旋转曲面的外侧在 1z2 间部分33 设函数 f(x)在0，+)上连续，若对任意的 t(0，+)恒有其中 (t)=(x， y，z) x 2+y2+z2
8、t2，D(t)是 (t)在 xOy 平面上的投影区域，(t)是球域 (t)的表面，L(t)是 D(t)的边界曲线证明： f(x)满足 且 f(0)=034 设 (1)通过 将 f(r，t)化为对 的定积分，其中 02；(2) 求极限考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 1 为在第一卦限部分的曲面Dxy：x 2+y21，x0，y0，用极坐标表示,因为关于 yOz 面，zOx 面对称，函数yz 关于变量 x 或 y 都为偶函数，故【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解
9、析】 对于 A，令 P(x，y)=xf(x 2+y2)，Q(x，y)=yf(x 2+y2)，则全平面是单连通区域，故 LPdxQdy 在全平面内与路径无关A 正确对于 B，可求得被积函数的原函数为因而，L(x2+y2)(xdx+ydy)与路径无关B 正确对于 C，因区域 D 不一定是单连通区域，故 C 中积分不一定与路径无关C 不正确对于 D，取 L 为单位圆 x2+y2=1，并取逆时针方向，则因而，积分与路径有关D 正确仅 C 入选 【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查用第二型曲线积分求平面面积，是一种比较新颖的提法，但是内容是经典的，主要看考生能否抓住数学
10、知识之间的联系(1)令 P=一y，Q=x，则由格林公式得因而，D 的面可表示为(2)令 P=一 y，Q=0，则由格林公式得 (3)令 P=0，Q=x，由格林公式得由上述三个面积的表达式知，答案选择 A【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 W=f.s.cos ，故【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 P=f(x)一 exsiny，Q= 一 f(x)cosy积分与路径无关，则 即f(x)一 excosy=一 f(x)cosy又由 f(0)=0 解得【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由对称性得 于是由高斯公式得(由积分
11、区域的对称性及被积函数的奇偶性)【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 是球面(x 一 1)2+y2+(z+1)2=1 的形心坐标公式，而球面的形心在球心(1，0，一 1)处，故【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 设 故曲线积分与路径无关使用路径无关选路法，令 ，则【知识模块】 多元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 3+4【试题解析】 添直线段 (即半圆的直径从 B 到 A)，有【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 37A【试题解析】 (2z+3y) 2+(6z 一 1)2=4x2+9y2+36z2+12xy 一 12z+l，南于
12、S 分别对称于三个坐标平面，所以 又在 S 上 4x2+9y2+36z2=36，所以【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 以 S 的方程代入被积函数，得令=(x，y，z)x 2+y2+z2R2，由高斯公式，【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 (1)D：x 2+y20 不是单连通的，则 在 D 内积分与路径无关的充分条件事实上，若取闭 C 线 C：x 2+y2=r2，逆时针方向，则(2)D：y0 是单连通的 在 D 上与路径无关，存在原函数【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 由轮换对称性 从而【知识
13、模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 由 A，B 独立，得 P(AB)一 P(A)P(B)，由 P(AB)P(A)一 P(AB)P(A)一 P(A)P(B)P(A)1 一 P(B) ， 【知识模块】 概率统计部分15 【正确答案】 因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 ，于是 P(C)P(AB)，而 P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)1，所以有 P(AB)P(A)P(B) 一 1，于是 P(C)P(A)P(B) 1【知识模块】 概率统计部分16 【正确答案】 (1)设 Ai 所抽取的报名表为第 i 个地区的)(i1，2，3)， Bj 第 j 次取的报名表为男生报名表)(j1，2
14、)，则【知识模块】 概率统计部分17 【正确答案】 因曲面 z=z(x，y)在任一点(x，y， z)的法线向量为(一 zx，一zy， 1)，故 又 ，利用两类曲面积分之间的关系，则得到【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 利用高斯公式，设的外法线向量 n=(cos，cos ，cos) ，则对【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 设 x+y+z=1 上圆的内部区域为 S，法向量取向上由斯托克斯公式： 易知 S 指定侧的单位法向量为 其中 ， 为 n 的方向角由第一、二型曲面积分的联系，得 其中S为圆 S 的面积易知 S 的半径【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 设
15、以任意点(x 0，y 0)为中心，以任意正数 r 为半径的上半圆的直径为 AB，上半圆域为 D，则【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 由于所给球体的质量分布关于 z 轴对称，所以它的重心位于 z 轴上，而密度是 其中 k 是比例常数，因此可得采用球坐标计算这两个三重积分，将x=rsincos，y=rsinsin，z=rcos 代入球体的不等式，得 0r2acos，且02， 则 故所给球体的重心坐标为【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 以定球球心为原点，两球心之连线为 z 轴建立坐标系，则两球面方程为定球：x 2+y2+z2=a2；动球：x 2+y2+(z-a)2=R2【
16、知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 之重心为【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 设 A从甲袋中取出黑球 ，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X iB i(i0，1，2，3)，则【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 设三个元件正常工作的时间为 Ti(i1，2，3)，T 1，T 2，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t 0 时，令 AT 1t)，BT 2t)，CT 3t)，且 A，B，C 独立，则 FT(t)P(Tt)P(ABC)P(ABC)
17、P(A)P(B)P(C)P(AB)一 P(AC)一 P(BC)P(ABC)，P(A)P(B) P(C)1e t ，F T(t)3(1 e t )一 3(1 一 et )2(1e t )3，于是【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分28 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，所以在 0，1 上存在原函数设 F(t)=f(t)(t0，1)，则【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 (1) L(x，y)dx+xcosdy 在全平面与路径无关积分得 f(x，y)=siny+C(x) (2)求 f(x，y)转化为求C(x)【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 关于
18、第二型曲线积分的估值问题，一般是先考虑用格林公式将其转化为二重积分，然后就二重积分进行估值由格林公式，有【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 本题考查第一型和第二型曲线积分之间的转化关系注意到第二型曲线积分要考虑曲线 L 在其上点(x，y)处的单位切向量，设其为0=cosi+cosj因为曲线 L 在其上点(x ，y)处的法向量 n0 与切线向量 0 互相垂直，并使闭曲线 L 取正向，故取 n0=cosicosj根据两向量内积的定义及dx=cosds，dy=cosds，得【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 添加辅助曲面1：z=2(x 2+y24)取上侧， 2：z=1 (x 2+y21)取下侧+ 1+2 形成封闭曲面，所围区域记为 ，则由高斯公式【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 D(t)=(x ，y) x 2+y2t2)，(t)(t)=(x，y，z)x 2+y2+z2=t2)，L(t)=(x， y)x 2+y2=t2，且【知识模块】 多元函数积分学34 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学
