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[考研类试卷]考研数学一(多元函数积分的概念、计算及其应用)模拟试卷4及答案与解析.doc

1、考研数学一(多元函数积分的概念、计算及其应用)模拟试卷 4 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 f(x,y)dy;2 f(x, y)dy(t0);3 极坐标系下的累次积分 f(rcos,rsin)rdr4 I= dy;5 I= ln(1+x2+y2)dy(R0) 6 I= x3y2zdV,其中 是由 x=1,x=2,y=0 ,y=x 2,z=0 及 z= 所围成的区域7 I= (lx2+my2+nz2)dV,其中 :x 2+y2+z2a2,l,m,n 为常数8 I= zdV,其中 :x 2+y2+z22,x 2+y2z9 I= (x+y+z)dV,其中 :x 2+

2、y2+z22az, z(a0)10 f(x,y,z)dy ,变成由 z 到 y 再到 x 的顺序11 f(x,y,z)dz,改换成先 y 最后 x 的顺序12 考虑柱坐标系下的三重累次积分 I= 3dz()将 I 用直角坐标(Oxyz)化为累次积分;( )将 I 用球坐标化为累次积分;()求 I 的值13 求14 设 L 为抛物线 y=x2 上,从点 A(1,1)到 B(1, 1)的一段,求 I=L(x22xy)dx+(y22xy)dy 15 求积分 I= dy,其中 C:y=1 ,x=4,y= 逆时针一周16 计算曲面积分 I= (x+y+z)dS,其中 为左半球:x 2+y2+z2=R2,

3、y017 计算曲面积分 ,其中为圆柱面 x2+y2=R2 界于 z=0 及 z=H 之间的部分,r 为曲面上的点到原点的距离(H0)18 设 S 为柱面 x2+y2=a2(0zh)的外侧,满足 x0 的一半,求I= zdydz+xyzdzdx+ydxdy19 求曲面积分 I= (x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy,其中 S 为 x+y+z=在第一卦限部分,取上侧20 求曲线积分 I=Cxydx+yzdy+xzdz,C 为椭圆周:x 2+y2=1,x+y+z=1,逆时针方向21 求下列区域力的体积: ():x 2+y2a2,z0,zmx(m0); ():由

4、y2=a2az ,x 2+y2=ax,z=0(a0)围成; () :由 z=x2+y2,x+y+z=1 所围成22 设曲面 S 是上半球面 x2+y2+z2=a2(z0,a0)被柱面 x2+y2=ax 所割下部分,求 S的面积23 设曲面 z= (x2+y2),其面密度 为常数,求该曲面在 0z 部分 S 的质量与质心24 设质点 P 沿以 为直径的下半圆周,从点 A(1,2)运动到 B(3,4)的过程中,受变力 F 的作用, F 的大小等于点 P 到原点 O 之距离,方向垂直于线段 ,与 y 轴正向的夹角小于 ,求变力 F 对质点 P 做的功25 设有平面光滑曲线 l:x=x(t),y=y(

5、t) ,z=0,t, ,以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t) z=f(x(t),y(t),t ,t=,t= 分别是起点与终点的参数( )试说明 l,L 及曲面 S:z=f(x,y)的关系;()若 P,Q ,R 连续,f(x,y)有连续的偏导数,求证: LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=lP(x,y,f(x,y)+ R(x,y,f(x,y)dx+Q(x,y,f(x,y)+ R(x, y,f(x ,y) dy26 设 P(x,y,z),Q(x, y,z) ,R(x,y,z)在区域 连续,:x=x(t),y=y(t) ,z=z(t)是 中一条光滑曲线,起点

6、 A,终点 B 分别对应参数 tA 与 tB,又设在 上存在函数 u(x,y,z),使得 du=Pdx+Qdy+Rdz (称为 Pdx+Qdy+Rdz 在 的原函数)求证:I=27 设 f(x)在区间0,1上连续,请用重积分方法证明:28 设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上,问 R 为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?29 求一段均匀圆柱面 S: x2+y2=R2(0zh)对原点处单位质点的引力假设该圆柱面的面密度为 130 求 ,其中 L:x 2+y2=R2 的正方向考研数学一(多元函数积分的概念、计算及其应用)模拟试卷 4 答案与解析一、解答题解答应

7、写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 如图 912 所示【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用2 【正确答案】 如图 913 所示当 x0,t 2时, t(t0),于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用3 【正确答案】 在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 914)原积分= f(rcosrsin)rdrdr2=sin2=sin( 一 2)于是 一 2=arcsinr2,=arcsinr2因此 原积分 = f(rcos,rsin)rd 【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用4 【正确答案】 如图 915 所示【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及

8、其应用5 【正确答案】 如图 916 所示【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用6 【正确答案】 () 区域 由平面 x=1,x=2,y=0,z=0 及抛物柱面 y=x2 与双曲柱面 z= 围成,易求出 在 xy 平面(或 zx 平面)上的投影区域 Dxy(或 Dzx)D xy 由 x=1,x=2,y=0,y=x 2 围成, Dxy=(x,y)1x2 ,0yx 2,见图 917 一(a)Dzx 由 x=1,x=2,z=0,z= 围成,即Dzx=(z,x) 1x2,0z ,见图 917 一(b) 于是 =(x,y,z)1 0z ,(x,y) Dxy,或 =(x,y,z) 0yx 2,(z

9、,x)Dzx ()根据 的表示,宜选择先对 z(或 y)积分后对 xy(或 zx)积分的顺序若先对 z 积分得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用7 【正确答案】 由变量的轮换对称性,可得 用球坐标变换求【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用8 【正确答案】 是旋转体(如图 918),选用柱坐标变换先求交线由 选择先 z后 r, 的积分顺序, 的柱坐标表示:02,0r1,r 2z 于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用9 【正确答案】 关于 yz 平面与 zx 平面均对称用球坐标变换,球面 x2+y2+z2=2az 与锥面的球坐标方程分别为 =2acos,= 的球

10、坐标表示D:02, 0 ,02acos,于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用10 【正确答案】 这里每个二重积分都是矩形区域上二重积分的积分次序的交换【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用11 【正确答案】 I= f(x,y, z)dydz,其中 D(x):0y1,0zx 2+y2现改为先 y 后 z 的顺序,将 D(x)分成两块:0xx2,0y1;x 2z1+x2, y1,如图 919则【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用12 【正确答案】 () 积分区域 : (x,y)Dxy,其中 Dxy=(x,y)x 2+y22于是 I= 3dz()是由锥面 z= (球坐

11、标方程是 =2)围成 的球坐标表示是 02,0 ,02,于是()用球坐标最为方便【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用13 【正确答案】 I= ,其中 :1z1+ ,(x,y)D xy 如图 920 一(a) 它是由半球面:(z 一 1)2=1 一 x2 一 y2 (z1)与平面 z=1 所围成的 y0 部分作球坐标变换z=1 对应 = ,半球面对应p=2cos 的球坐标表示(如图 920 一(b)【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用14 【正确答案】 L:y=x 2,x 1,1【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用15 【正确答案】 (直接计算)【知识模块】 多元函

12、数积分的概念、计算及其应用16 【正确答案】 关于 xy 平面,yz 平面对称(如图 922)投影到 zx 平面,由 x2+y2+z2=R2, y0投影区域 Dzx:x 2+z2R2,于是 I=dxdz=R.R 2= R3【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用17 【正确答案】 r 2=x2+y2+z2关于 zx 平面,yz 平面均对称,则 I=4 ,如图 923 1:x 2+y2=R2,x,y0,投影区域Dzx:0xR , 0zH,【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用18 【正确答案】 S 如图 924,S 垂直 xy 平面,于是ydxdy=0,I= zdydz+xyzdz

13、dx投影到 yz 平面直接计算较为方便s 表为 x=(y,z)D yz,其中 Dyz:0zh,一 aya代公式得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用19 【正确答案】 I= xdydz+ydzdx+zdxdy+ cosydydz+coszdzdx+cosxdxdy I1+I2平面 S 的单位法向量 N=(cos,cos ,cos)= (1,1,1),由第一、二类曲面积分的关系,可得下面求 I2投影到 xy平面上化为二重积分S 的投影区域为 Dxy,如图 925,则有I2= cosy.(一 zx)+cos( 一(x+y).( 一 zy)+cosxdxdy=cos(x+y)dxdy,其中

14、由 z= 一(x+y)得 zx= 1,z y=1由于 Dxy 关于 y=x 对称,则有因此I2=22( 2)=6因此 I=I 1+I2= +6【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用20 【正确答案】 C 的参数方程为 t0,2I= costsint(一sint)+sint(1 一 costsint)cost+cost(1 一 costsint)(sint 一 cost)dt=cos3tdt=+ (1sin 2t)dsint=【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用21 【正确答案】 ()D xy: x2+y2a2, x0,如图926 =x,y,z) 0zmx,(x,y)D xy(

15、)=(x,y,z) 0z (a2 一 y2),(x,y)D xy,()由消去 z 得 x2+y2+y=1,即 于是 在 Oxy 平面上的投影区域(如图 927)是 D=(x,y)(x+ ,围成 区域的上曲面是 z=1 一 x 一 y,下曲面是 z=x2+y2,因此 的体积【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用22 【正确答案】 S :z= (x,y) Dxy: ,如图928【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用23 【正确答案】 质量 M= (x2+y2),(x,y)D xy:x 2+y23又=y,于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用24 【正确答案】 如图 92

16、9 ()先求作用于 P(x,y)的力 F:F= 与 =x,y垂直的向量 y,x,其中与 y 轴正向成锐角的是一 y,x,于是 F=一 y,x ()F 对 P 所做的功 W= ydx+xdy()写出 的参数方程:(x 一 2)2+(y 一 3)2=【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用25 【正确答案】 ()l 是 L 在 xy 平面上的投影曲线,定向相同以 l 为准线,母线平行于 z 轴的柱面与曲面 S 相交得曲线 L()按线积分化定积分公式得三式相加即得证【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用26 【正确答案】 由 du=Pdx+Qdy+Rdz 由曲线积分化定积分公式 再由复

17、合函数求导公式得【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用27 【正确答案】 先将累次积分表成二重积分,则有其中 D=(x,y)0x1,xy1,如图930,它与 D=(x,y) 0x1,0yx关于 y=x 对称于是因此,【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用28 【正确答案】 可设的球心为(0,0,a), 的方程是 x2+y2+(z 一 a)2=R2,与定球的交线为 a2 一 z2=R2 一(z a)2,x 2+y2=R2 一(z a)2,即 在定球内部那部分在 Oxy 平面上的投影区域为这部分球面的方程是 z=a 一(x,y) D它的面积是现计算 S(R)=4R因 S(0)=S(

18、2a)=0,所以 R=时,在定球内部的那部分面积最大【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用29 【正确答案】 () 设引力 F=Fx,F y,F z,由对称性知,F x=0,F y=0因此只需求 F 沿 z 轴的分量 Fz如图 931 ()在圆柱面上任一点(x,y, z)处取一小块曲面元 dS,记 r=x,y,z,r= r= ,则曲面元对原点处单位质点的引力 dF=k. dS,它沿 z 轴的分量为 dFz=k dS()圆柱面对原点单位质点的引力的 z 分量 Fz= dS () 计算曲面积分要投影到 yz平面(或 zx 平面)来计算圆柱面 S 在 yz 平面的投影区域为 Dyz=(y,z)0zh,一 RyR,曲面 S 的方程为 x=,记 S1 为前半圆柱面,于是【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用30 【正确答案】 将 L 表成参数方程的形式,即 x=Rcos,y=Rsin(002),于是注意到右端积分存在且为一常数,所以 =0【知识模块】 多元函数积分的概念、计算及其应用

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