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【考研类试卷】考研数学一(常微分方程)-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学一(常微分方程)-试卷 1 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设函数 y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)线性无关,而且都是非齐次线性方程(62)的解,C 1 ,C 2 为任意常数,则该非齐次方程的通解是(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y

2、 2 +(1C 1 C 2 )y 3 3.方程 ysinx=ylny 满足条件 y( (分数:2.00)A.B.e sinx C.D.二、填空题(总题数:1,分数:2.00)4.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量,函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:23,分数:46.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_6.求微分方程 x(y 2 1)dx+y(x 2 1)dy=0 的通解(分数:2.00)_7.求解下列方程: ()求方程 xy=ylny的通解; ()求 yy=2(y 2 y)满足初始条件 y(0

3、)=1,y(0)=2 的特解(分数:2.00)_8.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ (分数:2.00)_9.设 f(x)连续,且满足 (分数:2.00)_10.求下列微分方程的通解:() y3y=26x;() y+y=cosxcos2x(分数:2.00)_11.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r(),M(r,)为 L 上任一点,M 0 (2,0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ,M 两点间弧长值的一半,求曲线 L 的方程(分数:2.00)_12.设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内,过 L 上任意一点 M

4、 处的切线与 y 轴总相交,把交点记作 A,则总有长度 ,若 L 过点 (分数:2.00)_13.在上半平面求一条凹曲线(图 62),使其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 x 轴平行 (分数:2.00)_14.设热水瓶内热水温度为 T,室内温度为 T 0 ,t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知:热水温度下降的速率与 T 一 T 0 成正比又设 T 0 =20,当 t=0 时,T=100,并知 24 小时后水瓶内温度为50,问几小时后瓶内温度为 95?(分数:2.00)_15.从船上向海中

5、沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m,体积为 V,海水的比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正比比例系数为K(K0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系 y=y(v)(分数:2.00)_16.要设计一形状为旋转体水泥桥墩,桥墩高为 h,上底面直径为 2a,要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ,试求桥墩的形状(分数:2.00)_17.求下列方程的通解:()y=sin(lnx)+cos(ln

6、x)+ay;()xy= (分数:2.00)_18.求下列各微分方程的通解:()y= ;()y=2 ;()y= (分数:2.00)_19.求下列微分方程的通解: ()y+ y=1; ()y= ; ()x 2 ydx(x 3 +y 3 )dy=0; ()y= (分数:2.00)_20.求下列各微分方程的通解: ()(3x 2 +6xy 2 )dx+(6x 2 y+4y 3 )dy=0; () (分数:2.00)_21.求解二阶微分方程的初值问题 (分数:2.00)_22.解下列微分方程: ()y7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解; ()y+a 2 y=8cosbx的通解,其中 a0

7、,b0 为常数; () (分数:2.00)_23.求微分方程 xyy=x 2 的通解(分数:2.00)_24.利用代换 u=ycosx 将微分方程 ycosx2ysinx+3ycosx=e x 化简,并求出原方程的通解(分数:2.00)_25.设 f(x)=xsinx (分数:2.00)_26.设 u (分数:2.00)_27.设 f(x)是以 为周期的连续函数,证明:一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解,并求此特解,其中 k0 为常数(分数:2.00)_考研数学一(常微分方程)-试卷 1 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数

8、:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设函数 y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)线性无关,而且都是非齐次线性方程(62)的解,C 1 ,C 2 为任意常数,则该非齐次方程的通解是(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1C 1 C 2 )y 3 解析:解析:对于选项(D)来说,其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y

9、 1 y 3 )+C 2 (y 2 y 3 ), 而且 y 3 是非齐次方程(62)的一个特解,y 1 y 3 与 y 2 y 3 是(64)的两个线性无关的解,由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D)3.方程 ysinx=ylny 满足条件 y( (分数:2.00)A.B.e sinx C.D. 解析:解析:这是变量分离的方程二、填空题(总题数:1,分数:2.00)4.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量,函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此,设 x 0 =0,x=

10、1,于是y=y(x 0 +x)y(x 0 )=y(1)y(0)=y(1),代入y 的表达式即得 y(1)=+ y(1)=2+ 由于仅仅知道当x0 时 是比x 较高阶的无穷小,而不知道 的具体表达式,因而从上式无法求出y(1) 由此可见,为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量y 与其微分 dy 的关系可知,函数 y(x)在任意点 x 处的微分 这是一个可分离变量方程,它满足初始条件 y x=0 =的特解正是本题中的函数 y(x),解出 y(x)即可得到 y(1) 将方程 dy= dx 分离变量,得 求积分可得 lny= 由初始条件 y(0)= 可确定 C= ,从而 y(1

11、)= 三、解答题(总题数:23,分数:46.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:6.求微分方程 x(y 2 1)dx+y(x 2 1)dy=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:用(x 2 1)(y 2 1)除方程的两端,则原方程化为 )解析:7.求解下列方程: ()求方程 xy=ylny的通解; ()求 yy=2(y 2 y)满足初始条件 y(0)=1,y(0)=2 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()此方程不显含 y令 P=y,则原方程化为 xp=plnp 当 p1 时,可改写为 ,其通解为 lnlnp=lnx+l

12、nC,即 lnp=C 1 x,即 y=e C1x 这样,原方程的通解即为y= e C1x +C 2 ,其中 C 1 0,C 2 为任意常数 当 P=1 时,也可以得到一族解 y=x+C 3 ()此方程不显含 x令 p=y,且以 y 为自变量, ,原方程可化为 yp =2(p 2 p) 当 p0时,可改写为 y =2(p1) 或 ,解为 p1=C 1 y 2 再利用 P=y,以及初始条件,可推出常数 C 1 =1从而上述方程为变量可分离的方程 y=1+y 2 其通解为 y=tan(x+C 2 ) 再一次利用初始条件 y(0)=1,即得 C 2 = 所以满足初始条件的特解为 y=tan(x+ )解

13、析:8.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 f(t)连续 f(s)sinsds 可导 )解析:9.设 f(x)连续,且满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 tx=s,原方程改写成 f(s)ds=f(x)+xsinx(x0),即 f(s)ds=xf(x)+x 2 sinx( x) 将式两边对 x 求导可得 f(x)=xf(x)+f(x)+(x 2 sinx),即 f(x)= (x=0 时两端自然成立,不必另加条件) 再将式两边直接积分得 f(x)= )解析:10.求下列微分方程的通解:() y3y=26x;() y+y=co

14、sxcos2x(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()先求相应齐次方程的通解,由于其特征方程为 2 3=(3)=0,所以通解为 (x)=C 1 +C 2 e 3x 再求非齐次方程的特解,由于其自由项为一次多项式,而且 0 是特征方程的单根,所以特解应具形式 y * (x)=x(Ax+B),代入原方程,得 y * (x)3y * (x)=2A3(2Ax+B)=6Ax+2A3B=26x 比较方程两端的系数,得 ,解得 A=1,B=0,即特解为 y * (x)=x 2 从而,原方程的通解为 y(x)=x 2 +C 1 +C 2 e 3x ,其中 C 1 ,C 2 为任意常数 ()由于cosxc

15、os2x= (cosx+cos3x),根据线性微分方程的叠加原理,可以分别求出 y+y= cosx 与y+y= cos3x 的特解 y 1 * (x)与 y 2 * (x),相加就是原方程的特解 由于相应齐次方程的特征方程为 2 +1=0,特征根为i,所以其通解应为 C 1 cosx+C 2 sinx;同时 y+y= cosx 的特解应具形式:y 1 * (x)=Axcosx+Bxsinx,代入原方程,可求得 A=0,B= 即 y 1 * (x)= sinx 另外,由于 3i 不是特征根,所以另一方程的特解应具形式 y 2 * (x)=Ccos3x+Dsin3x,代入原方程,可得 C= ,D=

16、0这样,即得所解方程的通解为 y(x)= )解析:11.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r(),M(r,)为 L 上任一点,M 0 (2,0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ,M 两点间弧长值的一半,求曲线 L 的方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲边扇形的面积公式为 S= r 2 ()d,又弧微分 ds= d,于是由题设有 (*) 两边对 求导,即得 r 2 ()= ,所以 r 所满足的微分方程为 (它与原方程等价,在(*)式中令 =0 等式自然成立,不必另加条件) 注意到 =+C 为方程的通解,再由条件 r(0

17、)=2,可知 c=6,所以曲线 L 的方程为 rsin( )解析:12.设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内,过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交,把交点记作 A,则总有长度 ,若 L 过点 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 设 L 的方程为 y=y(x),过点 M(x,y(x)的切线与 y 轴的交点为 A(0,y(x)xy(x),又 =x 2 +y(x)(y(x)xy(x) 2 =x 2 +x 2 y 2 , =(yxy) 2 , 按题意得 x 2 +x 2 y 2 )=(yxy) 2 ,即 2xyyy 2 =x 2 又初始条件 y 这是伯努利方程 2yy y 2

18、 =x 对 z=y 2 而言这是一阶线性方程,两边乘积分因子 = ,得 y 2 =x+C,y 2 =x 2 +Cx 由初始条件 )解析:13.在上半平面求一条凹曲线(图 62),使其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 x 轴平行 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若将此曲线记为 y=f(x),则依曲率计算公式,并注意曲线凹凸性的假设,即要求y0,故曲率 K= 再由于过(x,f(x)点的法线方程为 Xx+f(x)Yf(x)=0它与 x 轴交点Q 的横坐标 X 0 =x+f(x)f(x),所以

19、,线段 的长度 这样,由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件即为 y(1)=1,y(1)=0 解二阶方程的初值问题 ,得 y= )解析:14.设热水瓶内热水温度为 T,室内温度为 T 0 ,t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知:热水温度下降的速率与 T 一 T 0 成正比又设 T 0 =20,当 t=0 时,T=100,并知 24 小时后水瓶内温度为50,问几小时后瓶内温度为 95?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:温度变化的速率即 ,牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件,写出来它就是温度 T 所满足的微分方程: =K(TT 0 )其中 K 为比例常数,且 K0其通解为 T=

20、T 0 +Ce KT 再由题设: T 0 =20,T(0)=100,T(24)=50,所以 C=80,k= (ln8ln3) 这样,温度 T=20+80 若 T=95,则 t= )解析:15.从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m,体积为 V,海水的比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正比比例系数为K(K0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系 y=y(v)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:取沉放点为坐标

21、原点 D,Oy 轴的正向铅直向下,则由牛顿第二定律得 m =mgVkv 由于 v= ,所以,此方程是一个既不显含自变量,又不显含未知函数 y 的二阶方程,按照常规的办法可以令 v 为未知函数,得到 v 所满足的一阶线性方程,这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是 y 与 v 的关系,注意 v,所以应将方程改写为 mv mgv 直接求积分,则有 y= ln(Hkv)+C 再由题设,其初始条件应为 v y=0 =0,由此可定出 C= lnH,故所求的关系 )解析:16.要设计一形状为旋转体水泥桥墩,桥墩高为 h,上底面直径为 2a,要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为

22、常数 p设水泥的比重为 ,试求桥墩的形状(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先建立坐标系,如图 63 所示,戈轴为桥墩中心轴,Y 轴为水平轴设桥墩侧面的曲线方程为 y=y(x) 其次列出 y(x)满足的方程由于顶面的压强也为 P,则顶面承受的压力为 F=pa 2 考察中心轴上点 x 处的水平截面上所受总压力,它应等于压强截面积=py 2 (x),另一方面又等于 顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pa 2 + y 2 (s)ds 于是得 py 2 (x)=pa 2 + y 2 (s)ds 再将积分方程转化为微分方程的初值问题将上述方程两边对 x 求导得 2pyy=y 2 又在(*)式中令

23、 x=h 得 y(h)=a,于是得到 最后求解初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题,易求得 y=a )解析:17.求下列方程的通解:()y=sin(lnx)+cos(lnx)+ay;()xy= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()属变量可分离的方程,分离变量改写为 =(sinlnx+coslnx+a)dx 两端求积分,由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)cos(lnx). dx=xsin(lnx)cos(lnx)dx, 所以通解为 lny=xsin(lnx)+ax+lnC,或 y=Ce xsin(lnx)+ax ,其中 C 为任意常数 ()属齐次方程令y=xu,并且当 x0

24、 时,原方程可化为 xu+u= 两端求积分,则得 arcsinu=lnx+C,即其通解为arcsin =lnx+C,其中 C 为任意常数 当 x0 时,上述方程变为 ,其通解应为 arcsin )解析:18.求下列各微分方程的通解:()y= ;()y=2 ;()y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()该方程属于 =f(ax+by)的情形令 u=2xy,则原方程化为 u=2y=2 这也是一个变量可分离的方程,即 u=dx积分即得其通解为(2xy3) 2 =Ce yx ,其中 C 为任意常数 ()该方程属于 0 的情形解线性方程组 其解为(3,2)令 u=x3,v=y+2,则原方程化为

25、 这是一个齐次方程,再令 z= ,该方程又可化为 两端求积分,即得 lnz+2arctanz=lnu+lnC 1 所以,其通解为 y=C 2,其中 C 为任意常数 ()令 u=y 2 x,则 u= tanu 这也是一个变量可分离的方程 两边积分得 lnsinu=lnx+lnC,即 sinu=Cx, 故其通解为 sin )解析:19.求下列微分方程的通解: ()y+ y=1; ()y= ; ()x 2 ydx(x 3 +y 3 )dy=0; ()y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()这是一阶线性非齐次微分方程,两边同乘 ,得 积分得 y=x 2 +x 2 ,其中 C 为任意常数 (

26、)注意到如果将 x 看作 y 的函数,则该方程可改写为 yx=y 3 ,这也是一个一阶线性非齐次方程,两边同乘 =e ydy = 得 积分得 x= y 2 2,其中 C 为任意常数 ()显然这是一个齐次方程,利用齐次方程的解法可以得到其通解这里若将x 看作 y 的函数,原方程可改写为 这还是一个伯努利方程令 u=x 3 ,原方程又可改写为 u=3y 2 而 ,于是两边同乘 = dy+C=3lny+C,即 x 3 =Cy 3 +3y 3 lny,其中 C 为任意常数 ()这是伯努利方程,此方程可改写为 2yy= )解析:20.求下列各微分方程的通解: ()(3x 2 +6xy 2 )dx+(6x

27、 2 y+4y 3 )dy=0; () (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由凑微分法易知,这是全微分方程,改写成 dx 3 +3y 2 dx 2 +3x 2 dy 2 +dy 4 =0,即 d(x 3 +3x 2 y 2 +y 4 )=0 于是即得其通解为 x 3 +3x 2 y 2 +y 4 =C,其中 C 为任意常数 ()经计算容易验证: +x 2 lnx),所以它也是全微分方程,然而,由于方程中含 lnx,则只能在半平面 x0 上考虑为求原函数,现设积分路径从点(1,0)开始,首先沿 x 轴积到点(x,0),然后再沿横坐标为石的直线积到点(x,y),有 u(x,y)= +x

28、2 lnx)y 于是即得其通解为( )解析:21.求解二阶微分方程的初值问题 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:此方程不显含 x,令 p=y,并以 y 为自变量,则 y=p ,并且方程变为 其解为 1+P 2 =Cy 2 代入初始条件,可知 C=1,即 P 2 =y 2 =y 2 1,从而 =dx 这是一个变量分离的方程,两端求积分,并代入初始条件,则无论右端取正号,还是取负号,其结果均为 )解析:22.解下列微分方程: ()y7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解; ()y+a 2 y=8cosbx的通解,其中 a0,b0 为常数; () (分数:2.00)_正确答案:(

29、正确答案:()对应齐次方程的特征方程为 2 7+12=0,它有两个互异的实根 1 =3与 2 =4, 所以,其通解为 (x)=C 1 e 3x +C 2 e 4x ,其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 由于0 不是特征根,所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y * (x)=Ax+B代入方程可得 A= ,所以,原方程的通解为 y(x)= +C 1 e 3x +C 2 e 4x 代入初始条件,则得 因此所求的特解为 y(x)= (e 3x e 3x ) ()由于对应齐次微分方程的特征根为ai,所以其通解为 (x)=C 1 cosax+C 2 sinax求原非齐次微分方程的特解,需分两种情况讨

30、论: 当 ab 时,特解的形式应为Acosbx+Bsinbx,将其代入原方程可得 所以,通解为 y(x)= cosbx+C 1 cosax+C 2 sinax,其中 C 1 ,C 2 是两个任意常数 当 a=b 时,特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax,代入原方程可得 A=0B= 原方程的通解为 y(x)= )解析:23.求微分方程 xyy=x 2 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程两端同乘 x,使之变为欧拉方程 x 2 yxy=x 3 令 x=e t ,则 代入原方程,则有 =e 3t 这是一个二阶常系数线性非齐次方程其通解为 y= e 3t +C 1 e 23t

31、 +C 2 = )解析:24.利用代换 u=ycosx 将微分方程 ycosx2ysinx+3ycosx=e x 化简,并求出原方程的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ycosx=u,则 y=usecx,从而 y=usecx+usecxtanx y=usecx+2usecxtanx+usecxtan 2 x+usec 3 x 代入原方程,则得 u+4u=e x 这是一个二阶常系数线性非齐次方程,其通解为 u= e x +C 1 cos2x+C 2 sin2x 代回到原未知函数,则有 y= )解析:解析:这是一个二阶变系数线性非齐次微分方程,不属于我们能够求解的范围,而如果能使其

32、变为常系数方程就可求解了从方程的形式看,令 ycosx=u 应该是自然的25.设 f(x)=xsinx (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将原方程改写为 f(x)=xsinxx tf(t)dt 因为 f(x)连续,所以方程的右端是可微的,因而左端的函数 f(x)也可微两端对 x 求导,又原式中 令 x=0,则原方程等价于 f(x)=xcosx+sinx f(t)dt,f(0)=0 同理,方程右端仍可微,所以 f(x)存在二阶导数,再将中的方程两边求导并令 x=0,则得等价于 f(x)=xsinx+2cosxf(x),f(0)=0,f(0)=0 即 y=f(x)满足微分方程的初值问题 y

33、+y=xsinx+2cosx,y(0)=0,y(0)=0 由于此方程的特征根为i,所以其特解应具形式 y * (x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx代入方程,求出系数 A,B,C,D,则得其特解为 y * (x)= xsinx,进而方程的通解为 y=f(x)= xsinx+C 1 cosx+C 2 sinx 由 f(0)=0可知 C 1 =0,而由 f(0)=0 又可推出 C 2 =0,所以 f(x)= )解析:26.设 u (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 r= 同理 ,将其代入原方程,则得 u+u=r 2 该方程的通解是 u=C 1 cosr+C 2 sinr+r 2 2, 于是 u )解析:27.设 f(x)是以 为周期的连续函数,证明:一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解,并求此特解,其中 k0 为常数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:此线性方程的通解即所有解可表示为 y(x)=e kx C+ f(t)e kt dt y(x)以 为周期

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