1、考研数学一（常微分方程）-试卷 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y
2、 2 +(1C 1 C 2 )y 3 3.方程 ysinx=ylny 满足条件 y( （分数：2.00）A.B.e sinx C.D.二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.求微分方程 x(y 2 1)dx+y(x 2 1)dy=0 的通解（分数：2.00）_7.求解下列方程： ()求方程 xy=ylny的通解； ()求 yy=2(y 2 y)满足初始条件 y(0
3、)=1，y(0)=2 的特解（分数：2.00）_8.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ （分数：2.00）_9.设 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）_10.求下列微分方程的通解：() y3y=26x；() y+y=cosxcos2x（分数：2.00）_11.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程（分数：2.00）_12.设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M
4、 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 ，若 L 过点 （分数：2.00）_13.在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行 （分数：2.00）_14.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T 0 ，t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 T 一 T 0 成正比又设 T 0 =20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为50，问几小时后瓶内温度为 95?（分数：2.00）_15.从船上向海中
5、沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比比例系数为K(K0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)（分数：2.00）_16.要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状（分数：2.00）_17.求下列方程的通解：()y=sin(lnx)+cos(ln
6、x)+ay；()xy= （分数：2.00）_18.求下列各微分方程的通解：()y= ；()y=2 ；()y= （分数：2.00）_19.求下列微分方程的通解： ()y+ y=1； ()y= ； ()x 2 ydx(x 3 +y 3 )dy=0； ()y= （分数：2.00）_20.求下列各微分方程的通解： ()(3x 2 +6xy 2 )dx+(6x 2 y+4y 3 )dy=0； () （分数：2.00）_21.求解二阶微分方程的初值问题 （分数：2.00）_22.解下列微分方程： ()y7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解； ()y+a 2 y=8cosbx的通解，其中 a0
7、，b0 为常数； () （分数：2.00）_23.求微分方程 xyy=x 2 的通解（分数：2.00）_24.利用代换 u=ycosx 将微分方程 ycosx2ysinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_25.设 f(x)=xsinx （分数：2.00）_26.设 u （分数：2.00）_27.设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数（分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数
8、：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1C 1 C 2 )y 3 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y
9、 1 y 3 )+C 2 (y 2 y 3 )， 而且 y 3 是非齐次方程(62)的一个特解，y 1 y 3 与 y 2 y 3 是(64)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D)3.方程 ysinx=ylny 满足条件 y( （分数：2.00）A.B.e sinx C.D. 解析：解析：这是变量分离的方程二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此，设 x 0 =0，x=
10、1，于是y=y(x 0 +x)y(x 0 )=y(1)y(0)=y(1)，代入y 的表达式即得 y(1)=+ y(1)=2+ 由于仅仅知道当x0 时 是比x 较高阶的无穷小，而不知道 的具体表达式，因而从上式无法求出y(1) 由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量y 与其微分 dy 的关系可知，函数 y(x)在任意点 x 处的微分 这是一个可分离变量方程，它满足初始条件 y x=0 =的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1) 将方程 dy= dx 分离变量，得 求积分可得 lny= 由初始条件 y(0)= 可确定 C= ，从而 y(1
11、)= 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.求微分方程 x(y 2 1)dx+y(x 2 1)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用(x 2 1)(y 2 1)除方程的两端，则原方程化为 )解析：7.求解下列方程： ()求方程 xy=ylny的通解； ()求 yy=2(y 2 y)满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()此方程不显含 y令 P=y，则原方程化为 xp=plnp 当 p1 时，可改写为 ，其通解为 lnlnp=lnx+l
12、nC，即 lnp=C 1 x，即 y=e C1x 这样，原方程的通解即为y= e C1x +C 2 ，其中 C 1 0，C 2 为任意常数 当 P=1 时，也可以得到一族解 y=x+C 3 ()此方程不显含 x令 p=y，且以 y 为自变量， ，原方程可化为 yp =2(p 2 p) 当 p0时，可改写为 y =2(p1) 或 ，解为 p1=C 1 y 2 再利用 P=y，以及初始条件，可推出常数 C 1 =1从而上述方程为变量可分离的方程 y=1+y 2 其通解为 y=tan(x+C 2 ) 再一次利用初始条件 y(0)=1，即得 C 2 = 所以满足初始条件的特解为 y=tan(x+ )解
13、析：8.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续 f(s)sinsds 可导 )解析：9.设 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 tx=s，原方程改写成 f(s)ds=f(x)+xsinx(x0)，即 f(s)ds=xf(x)+x 2 sinx( x) 将式两边对 x 求导可得 f(x)=xf(x)+f(x)+(x 2 sinx)，即 f(x)= (x=0 时两端自然成立，不必另加条件) 再将式两边直接积分得 f(x)= )解析：10.求下列微分方程的通解：() y3y=26x；() y+y=co
14、sxcos2x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2 3=(3)=0，所以通解为 (x)=C 1 +C 2 e 3x 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具形式 y * (x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 y * (x)3y * (x)=2A3(2Ax+B)=6Ax+2A3B=26x 比较方程两端的系数，得 ，解得 A=1，B=0，即特解为 y * (x)=x 2 从而，原方程的通解为 y(x)=x 2 +C 1 +C 2 e 3x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 ()由于cosxc
15、os2x= (cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出 y+y= cosx 与y+y= cos3x 的特解 y 1 * (x)与 y 2 * (x)，相加就是原方程的特解 由于相应齐次方程的特征方程为 2 +1=0，特征根为i，所以其通解应为 C 1 cosx+C 2 sinx；同时 y+y= cosx 的特解应具形式：y 1 * (x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得 A=0，B= 即 y 1 * (x)= sinx 另外，由于 3i 不是特征根，所以另一方程的特解应具形式 y 2 * (x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得 C= ，D=
16、0这样，即得所解方程的通解为 y(x)= )解析：11.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲边扇形的面积公式为 S= r 2 ()d，又弧微分 ds= d，于是由题设有 (*) 两边对 求导，即得 r 2 ()= ，所以 r 所满足的微分方程为 (它与原方程等价，在(*)式中令 =0 等式自然成立，不必另加条件) 注意到 =+C 为方程的通解，再由条件 r(0
17、)=2，可知 c=6，所以曲线 L 的方程为 rsin( )解析：12.设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 ，若 L 过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 设 L 的方程为 y=y(x)，过点 M(x，y(x)的切线与 y 轴的交点为 A(0，y(x)xy(x)，又 =x 2 +y(x)(y(x)xy(x) 2 =x 2 +x 2 y 2 ， =(yxy) 2 ， 按题意得 x 2 +x 2 y 2 )=(yxy) 2 ，即 2xyyy 2 =x 2 又初始条件 y 这是伯努利方程 2yy y 2
18、 =x 对 z=y 2 而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子 = ，得 y 2 =x+C，y 2 =x 2 +Cx 由初始条件 )解析：13.在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若将此曲线记为 y=f(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y0，故曲率 K= 再由于过(x，f(x)点的法线方程为 Xx+f(x)Yf(x)=0它与 x 轴交点Q 的横坐标 X 0 =x+f(x)f(x)，所以
19、，线段 的长度 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件即为 y(1)=1，y(1)=0 解二阶方程的初值问题 ，得 y= )解析：14.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T 0 ，t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 T 一 T 0 成正比又设 T 0 =20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为50，问几小时后瓶内温度为 95?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：温度变化的速率即 ，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： =K(TT 0 )其中 K 为比例常数，且 K0其通解为 T=
20、T 0 +Ce KT 再由题设： T 0 =20，T(0)=100，T(24)=50，所以 C=80，k= (ln8ln3) 这样，温度 T=20+80 若 T=95，则 t= )解析：15.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比比例系数为K(K0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取沉放点为坐标
21、原点 D，Oy 轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 m =mgVkv 由于 v= ，所以，此方程是一个既不显含自变量，又不显含未知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法可以令 v 为未知函数，得到 v 所满足的一阶线性方程，这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是 y 与 v 的关系，注意 v，所以应将方程改写为 mv mgv 直接求积分，则有 y= ln(Hkv)+C 再由题设，其初始条件应为 v y=0 =0，由此可定出 C= lnH，故所求的关系 )解析：16.要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为
22、常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先建立坐标系，如图 63 所示，戈轴为桥墩中心轴，Y 轴为水平轴设桥墩侧面的曲线方程为 y=y(x) 其次列出 y(x)满足的方程由于顶面的压强也为 P，则顶面承受的压力为 F=pa 2 考察中心轴上点 x 处的水平截面上所受总压力，它应等于压强截面积=py 2 (x)，另一方面又等于 顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pa 2 + y 2 (s)ds 于是得 py 2 (x)=pa 2 + y 2 (s)ds 再将积分方程转化为微分方程的初值问题将上述方程两边对 x 求导得 2pyy=y 2 又在(*)式中令
23、 x=h 得 y(h)=a，于是得到 最后求解初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得 y=a )解析：17.求下列方程的通解：()y=sin(lnx)+cos(lnx)+ay；()xy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()属变量可分离的方程，分离变量改写为 =(sinlnx+coslnx+a)dx 两端求积分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)cos(lnx). dx=xsin(lnx)cos(lnx)dx， 所以通解为 lny=xsin(lnx)+ax+lnC，或 y=Ce xsin(lnx)+ax ，其中 C 为任意常数 ()属齐次方程令y=xu，并且当 x0
24、 时，原方程可化为 xu+u= 两端求积分，则得 arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin =lnx+C，其中 C 为任意常数 当 x0 时，上述方程变为 ，其通解应为 arcsin )解析：18.求下列各微分方程的通解：()y= ；()y=2 ；()y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()该方程属于 =f(ax+by)的情形令 u=2xy，则原方程化为 u=2y=2 这也是一个变量可分离的方程，即 u=dx积分即得其通解为(2xy3) 2 =Ce yx ，其中 C 为任意常数 ()该方程属于 0 的情形解线性方程组 其解为(3，2)令 u=x3，v=y+2，则原方程化为
25、 这是一个齐次方程，再令 z= ，该方程又可化为 两端求积分，即得 lnz+2arctanz=lnu+lnC 1 所以，其通解为 y=C 2，其中 C 为任意常数 ()令 u=y 2 x，则 u= tanu 这也是一个变量可分离的方程 两边积分得 lnsinu=lnx+lnC，即 sinu=Cx， 故其通解为 sin )解析：19.求下列微分方程的通解： ()y+ y=1； ()y= ； ()x 2 ydx(x 3 +y 3 )dy=0； ()y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是一阶线性非齐次微分方程，两边同乘 ，得 积分得 y=x 2 +x 2 ，其中 C 为任意常数 (
26、)注意到如果将 x 看作 y 的函数，则该方程可改写为 yx=y 3 ，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘 =e ydy = 得 积分得 x= y 2 2，其中 C 为任意常数 ()显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解这里若将x 看作 y 的函数，原方程可改写为 这还是一个伯努利方程令 u=x 3 ，原方程又可改写为 u=3y 2 而 ，于是两边同乘 = dy+C=3lny+C，即 x 3 =Cy 3 +3y 3 lny，其中 C 为任意常数 ()这是伯努利方程，此方程可改写为 2yy= )解析：20.求下列各微分方程的通解： ()(3x 2 +6xy 2 )dx+(6x
27、 2 y+4y 3 )dy=0； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由凑微分法易知，这是全微分方程，改写成 dx 3 +3y 2 dx 2 +3x 2 dy 2 +dy 4 =0，即 d(x 3 +3x 2 y 2 +y 4 )=0 于是即得其通解为 x 3 +3x 2 y 2 +y 4 =C，其中 C 为任意常数 ()经计算容易验证： +x 2 lnx)，所以它也是全微分方程，然而，由于方程中含 lnx，则只能在半平面 x0 上考虑为求原函数，现设积分路径从点(1，0)开始，首先沿 x 轴积到点(x，0)，然后再沿横坐标为石的直线积到点(x，y)，有 u(x，y)= +x
28、2 lnx)y 于是即得其通解为( )解析：21.求解二阶微分方程的初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此方程不显含 x，令 p=y，并以 y 为自变量，则 y=p ，并且方程变为 其解为 1+P 2 =Cy 2 代入初始条件，可知 C=1，即 P 2 =y 2 =y 2 1，从而 =dx 这是一个变量分离的方程，两端求积分，并代入初始条件，则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为 )解析：22.解下列微分方程： ()y7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解； ()y+a 2 y=8cosbx的通解，其中 a0，b0 为常数； () （分数：2.00）_正确答案：(
29、正确答案：()对应齐次方程的特征方程为 2 7+12=0，它有两个互异的实根 1 =3与 2 =4， 所以，其通解为 (x)=C 1 e 3x +C 2 e 4x ，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 由于0 不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y * (x)=Ax+B代入方程可得 A= ，所以，原方程的通解为 y(x)= +C 1 e 3x +C 2 e 4x 代入初始条件，则得 因此所求的特解为 y(x)= (e 3x e 3x ) ()由于对应齐次微分方程的特征根为ai，所以其通解为 (x)=C 1 cosax+C 2 sinax求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨
30、论： 当 ab 时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 所以，通解为 y(x)= cosbx+C 1 cosax+C 2 sinax，其中 C 1 ，C 2 是两个任意常数 当 a=b 时，特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 A=0B= 原方程的通解为 y(x)= )解析：23.求微分方程 xyy=x 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两端同乘 x，使之变为欧拉方程 x 2 yxy=x 3 令 x=e t ，则 代入原方程，则有 =e 3t 这是一个二阶常系数线性非齐次方程其通解为 y= e 3t +C 1 e 23t
31、 +C 2 = )解析：24.利用代换 u=ycosx 将微分方程 ycosx2ysinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y=usecx+usecxtanx y=usecx+2usecxtanx+usecxtan 2 x+usec 3 x 代入原方程，则得 u+4u=e x 这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为 u= e x +C 1 cos2x+C 2 sin2x 代回到原未知函数，则有 y= )解析：解析：这是一个二阶变系数线性非齐次微分方程，不属于我们能够求解的范围，而如果能使其
32、变为常系数方程就可求解了从方程的形式看，令 ycosx=u 应该是自然的25.设 f(x)=xsinx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程改写为 f(x)=xsinxx tf(t)dt 因为 f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数 f(x)也可微两端对 x 求导，又原式中 令 x=0，则原方程等价于 f(x)=xcosx+sinx f(t)dt，f(0)=0 同理，方程右端仍可微，所以 f(x)存在二阶导数，再将中的方程两边求导并令 x=0，则得等价于 f(x)=xsinx+2cosxf(x)，f(0)=0，f(0)=0 即 y=f(x)满足微分方程的初值问题 y
33、+y=xsinx+2cosx，y(0)=0，y(0)=0 由于此方程的特征根为i，所以其特解应具形式 y * (x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx代入方程，求出系数 A，B，C，D，则得其特解为 y * (x)= xsinx，进而方程的通解为 y=f(x)= xsinx+C 1 cosx+C 2 sinx 由 f(0)=0可知 C 1 =0，而由 f(0)=0 又可推出 C 2 =0，所以 f(x)= )解析：26.设 u （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r= 同理 ，将其代入原方程，则得 u+u=r 2 该方程的通解是 u=C 1 cosr+C 2 sinr+r 2 2， 于是 u )解析：27.设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为 y(x)=e kx C+ f(t)e kt dt y(x)以 为周期
