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【考研类试卷】考研数学一(概率统计)模拟试卷31及答案解析.doc

1、考研数学一(概率统计)模拟试卷 31及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.在电炉上安装了 4个温控器,其显示温度的误差是随机的,在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ,电炉就断电,以 E表示事件“电炉断电”,而 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则时间 E等于( )(分数:2.00)A.T (1) t 0 B.T (2) t 0 C.T (3) t 0 D.T (4) t

2、0 3.设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x),分布函数为 F(x),如果随机变量 X与X 分布函数相同,则( )(分数:2.00)A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x)D.f(x)=一 f(一 x)4.设 X,Y 为两个随机变量,P(X1,Y1 ,P(X1)=P(Y1)= ,则 Pmin(X,Y)1=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.5.设 X,Y 为两个随机变量,若 E(XY)=E(X)E(Y),则( )(分数:2.00)A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X,Y 独立D.X,Y 不独立6.设随机变

3、量 XF(m,n),令 PXF (m,n)=(01),若 P(Xk)=,则 k等于( )(分数:2.00)A.F (m,n)B.F 1 (m,n)C.D.二、填空题(总题数:7,分数:14.00)7.设 P(A)=P(B)=P(C)= ,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)= (分数:2.00)填空项 1:_8.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= ,若 PX1)= (分数:2.00)填空项 1:_9.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_10.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 PX (分数:2.00)填空项 1:_

4、11.设随机变量 X,Y 相互独立,D(X)=4D(y),令 U=3X+2Y,V=3X 一 2Y,则 UV = 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 为来自正态总体 XN(0,4)的简单随机样本,Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 4X 4 ) 2 +cX 3 2 (abc0),且 Y 2 (n),则 a= 1,b= 2,c= 3,n= 4(分数:2.00)填空项 1:_13.设总体 X的分布律为 P(X=i)= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证

5、明过程或演算步骤。_15.现有三个箱子,第一个箱子有 4个红球,3 个白球;第二个箱子有 3个红球,3 个白球;第三个箱子有3个红球,5 个白球;先取一只箱子,再从中取一只球(1)求取到白球的概率;(2)若取到红球,求红球是从第二个箱子中取出的概率(分数:2.00)_16.设袋中有 5个球,其中 3个新球,2 个旧球,从中任取 3个球,用 X表示 3个球中的新球个数,求 X的分布律与分布函数(分数:2.00)_有三个盒子,第一个盒子有 4个红球 1个黑球,第二个盒子有 3个红球 2个黑球,第三个盒子有 2个红球3个黑球,如果任取一个盒子,从中任取 3个球,以 X表示红球个数(分数:4.00)(

6、1).写出 X的分布律;(分数:2.00)_(2).求所取到的红球数不少于 2个的概率(分数:2.00)_设(X,Y)在区域 D:0x1,Yx 内服从均匀分布(分数:4.00)(1).求随机变量 X的边缘密度函数;(分数:2.00)_(2).设 Z=2X+1,求 D(Z)(分数:2.00)_设(X,Y)f(x,y)= (分数:6.00)(1).判断 X,Y 是否独立,说明理由;(分数:2.00)_(2).判断 X,Y 是否不相关,说明理由;(分数:2.00)_(3).求 Z=X+Y的密度(分数:2.00)_17.设 X,Y 相互独立,且 XB(3, (分数:2.00)_18.某流水线上产品不合

7、格的概率为 p= (分数:2.00)_19.设 X与 Y相互独立,且 XN(0, 2 ),YN(0, 2 ),令 Z= (分数:2.00)_20.一批种子中良种占 ,从中任取 6000粒,计算这些种子中良种所占比例与 (分数:2.00)_21.设总体 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)_22.某厂生产某种产品,正常生产时,该产品的某项指标服从正态分布 N(50,38 2 ),在生产过程中为检验机器生产是否正常,随机抽取 50件产品,其平均指标为 (分数:2.00)_考研数学一(概率统计)模拟试卷 31答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:1

8、2.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.在电炉上安装了 4个温控器,其显示温度的误差是随机的,在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ,电炉就断电,以 E表示事件“电炉断电”,而 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则时间 E等于( )(分数:2.00)A.T (1) t 0 B.T (2) t 0 C.T (3) t 0 D.T (4) t 0 解析:解析:T (1) t 0 表示四个温控器温度都不低于临界温度 t 0 ,而 E发生只要两个温控器温度不低

9、于临界温度 t 0 ,所以 E=T (3) t 0 ,选(C)3.设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x),分布函数为 F(x),如果随机变量 X与X 分布函数相同,则( )(分数:2.00)A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x) D.f(x)=一 f(一 x)解析:解析:F X (x)=P(Xx)= x f(t)dt, F X (x)=P(一 Xx)=P(X一 x)=1一 P(X一 x)=1一 x f(t)dt, 因为 X与一 X有相同的分布函数,所以 x f(t)dt=1一 x f(t)dt,两边求导数,得 f(x)=f(一 x),正确答案为(

10、C)4.设 X,Y 为两个随机变量,P(X1,Y1 ,P(X1)=P(Y1)= ,则 Pmin(X,Y)1=( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:令 A=X1,B=Y1,则 P(AB)= ,P(A)=P(B)= , Pmin(X,Y)1=1一 Pmin(X,Y)1=1 一 P(X1,Y1)=1 =P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=5.设 X,Y 为两个随机变量,若 E(XY)=E(X)E(Y),则( )(分数:2.00)A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X,Y 独立D.X,Y 不独立解析:解析:因为 E(XY)=E(X)E

11、(Y),所以 Cov(X,Y)=0,又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y),选(B)6.设随机变量 XF(m,n),令 PXF (m,n)=(01),若 P(Xk)=,则 k等于( )(分数:2.00)A.F (m,n)B.F 1 (m,n) C.D.解析:解析:根据左右分位点的定义,选(B)二、填空题(总题数:7,分数:14.00)7.设 P(A)=P(B)=P(C)= ,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:A,B,C 都不发生的概率为 =1一 P(A+B+

12、C),而 ABC AB且 P(AB)=0,所以 P(ABC)=0,于是 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)= ,故 A,B,C 都不发生的概率为8.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= ,若 PX1)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:PX1= 1 a f(x)dx= 1 a 9.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:6)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析:由 1=a 0 e 2x dx 0 e 3y

13、dy,得 a=6,于是 f(x,y)= , PXY= 0 dx 0 x 6e 2x3y dy=2 0 e 2x (1一 e 3x )dx= 10.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 PX (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e 1 )解析:解析:因为 XE(),所以 F X (x)= ,则 11.设随机变量 X,Y 相互独立,D(X)=4D(y),令 U=3X+2Y,V=3X 一 2Y,则 UV = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:Cov(U,V)=Cov(3X+2Y,3X 一 2Y)=9Cov(X,X)4Cov(Y,Y)=9

14、D(X)一 4D(Y)=32D(Y), 由X,Y 独立,得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y), D(V)=D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y), 所以12.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 为来自正态总体 XN(0,4)的简单随机样本,Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 4X 4 ) 2 +cX 3 2 (abc0),且 Y 2 (n),则 a= 1,b= 2,c= 3,n= 4(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:因为 X 1 一 2X 2 N(0,20),3X 3 一

15、 4X 4 N(0,100),X 5 N(0,4), 13.设总体 X的分布律为 P(X=i)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:E(X)= ,令 E(X)= ,则 的矩估计量为三、解答题(总题数:12,分数:30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:15.现有三个箱子,第一个箱子有 4个红球,3 个白球;第二个箱子有 3个红球,3 个白球;第三个箱子有3个红球,5 个白球;先取一只箱子,再从中取一只球(1)求取到白球的概率;(2)若取到红球,求红球是从第二个箱子中取出的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A

16、i =取到的是第 i只箱子(i=1,2,3),B=取到白球 (1)P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )+P(A 3 )P(BA 3 )= (2) )解析:16.设袋中有 5个球,其中 3个新球,2 个旧球,从中任取 3个球,用 X表示 3个球中的新球个数,求 X的分布律与分布函数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:X 的可能取值为 1,2,3, 所以 X的分布律为 X ,分布函数为 F X (x)= )解析:有三个盒子,第一个盒子有 4个红球 1个黑球,第二个盒子有 3个红球 2个黑球,第三个盒子有 2个红球3个黑球,如果任取一个盒子,从中任取 3个球

17、,以 X表示红球个数(分数:4.00)(1).写出 X的分布律;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 A k =所取的为第 k个盒子(k=1,2,3),P(A i )= (i=1,2,3), X的可能取值为 0,1,2,3,P(X=0)=P(X=0A 3 )P(A 3 )= ,P(X=1)=P(X=1A 2 )P(A 2 )+P(X=1A 3 )P(A 3 )= P(X=2)=P(X=2A 1 )P(A 1 )+P(X=2A 2 )P(A 2 )+P(X=2A 3 )P(A 3 )= P(X=3)=P(X=3A 1 )P(A 1 )+P(X=3A 2 )P(A 2 )= 所以 X的分布

18、律为 X )解析:(2).求所取到的红球数不少于 2个的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:PX2= )解析:设(X,Y)在区域 D:0x1,Yx 内服从均匀分布(分数:4.00)(1).求随机变量 X的边缘密度函数;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)= , 则 f X (x)= f(x,y)dy= )解析:(2).设 Z=2X+1,求 D(Z)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 E(X)= 0 1 x2xdx= , E(X 2 )= 0 1 x 2 2xdx= , 所以D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = , D(Z

19、)=D(2X+1)=4D(X)= )解析:设(X,Y)f(x,y)= (分数:6.00)(1).判断 X,Y 是否独立,说明理由;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:0x1 时,f X (x)=f f(x,y)dy= 0 x 12y 2 dy=4x 3 ,则 f X (x)=同理 f Y (y)= )解析:(2).判断 X,Y 是否不相关,说明理由;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E(X)= xf X (x)dx= 0 1 4x 2 dx= , E(Y)= yf Y (y)dy= 0 1 12y 3 (1一 y)dy= , E(XY)= dx xyf(x,y)dy= 0 1 d

20、x 0 x 12xy 3 dy= , 因为 Cov(X,Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)= )解析:(3).求 Z=X+Y的密度(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f Z (z)= f(x,zx)dx, 当 z0 或 z2 时,f Z (z)=0; )解析:17.设 X,Y 相互独立,且 XB(3, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:P(U)=P(maxX,Y)=P(X,Y)=P(X)P(Y), P(U196)=P(X196)P(Y196)=P(X=0)P(X=1)P(Y196) = (196)=04875 P(U1)=P(X1)P(Y1)= )解析:18.某流水线上产品不合

21、格的概率为 p= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:X 的分布律为 P(X=k)=(1一 p) k1 p(k=1,2,) 故 E(X 2 )= k 2 (1一 p) k1 =pS(1一 p)= )解析:19.设 X与 Y相互独立,且 XN(0, 2 ),YN(0, 2 ),令 Z= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 X与 Y相互独立,且 XN(0, 2 ),YN(0, 2 ),所以(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)= , )解析:20.一批种子中良种占 ,从中任取 6000粒,计算这些种子中良种所占比例与 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 6000粒种子

22、中良种个数为 X,则 XB(6000, ) E(X)=1000,D(X)=6000 =P(一 60X100060)= )解析:21.设总体 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由于总体的均值为 E(X)= xf(x)dx= 0 1 (+1)x 1 dx= ,令 E(X)= ,则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x 1 ,x 2 ,x n )为来自总体(X 1 ,X 2 ,X n )的观察值,则关于参数 的似然函数为 L()= ,令 =0,得参数 的最大似然估计值为 ,参数 的最大似然估计量为 )解析:22.某厂生产某种产品,正常生产时,该产品的某项指标服从正态分布 N(50,38 2 ),在生产过程中为检验机器生产是否正常,随机抽取 50件产品,其平均指标为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 H 0 :=50,H 1 :50,取统计量 U= N(0,1),当 =005 时,z 0025 =196,H 0 的接受域为(一 196,196),因为 )解析:

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