1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 31及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电，以 E表示事件“电炉断电”，而 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则时间 E等于( )（分数：2.00）A.T (1) t 0 B.T (2) t 0 C.T (3) t 0 D.T (4) t
2、0 3.设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)，如果随机变量 X与X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x)D.f(x)=一 f(一 x)4.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1 ，P(X1)=P(Y1)= ，则 Pmin(X，Y)1=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X，Y 独立D.X，Y 不独立6.设随机变
3、量 XF(m，n)，令 PXF (m，n)=(01)，若 P(Xk)=，则 k等于( )（分数：2.00）A.F (m，n)B.F 1 (m，n)C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= ，若 PX1)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 PX （分数：2.00）填空项 1:_
4、11.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 4X 4 ) 2 +cX 3 2 (abc0)，且 Y 2 (n)，则 a= 1，b= 2，c= 3，n= 4（分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X的分布律为 P(X=i)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤。_15.现有三个箱子，第一个箱子有 4个红球，3 个白球；第二个箱子有 3个红球，3 个白球；第三个箱子有3个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率（分数：2.00）_16.设袋中有 5个球，其中 3个新球，2 个旧球，从中任取 3个球，用 X表示 3个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_有三个盒子，第一个盒子有 4个红球 1个黑球，第二个盒子有 3个红球 2个黑球，第三个盒子有 2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3个球，以 X表示红球个数（分数：4.00）(
6、1).写出 X的分布律；（分数：2.00）_(2).求所取到的红球数不少于 2个的概率（分数：2.00）_设(X，Y)在区域 D：0x1，Yx 内服从均匀分布（分数：4.00）(1).求随机变量 X的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：2.00）_设(X，Y)f(x，y)= （分数：6.00）(1).判断 X，Y 是否独立，说明理由；（分数：2.00）_(2).判断 X，Y 是否不相关，说明理由；（分数：2.00）_(3).求 Z=X+Y的密度（分数：2.00）_17.设 X，Y 相互独立，且 XB(3， （分数：2.00）_18.某流水线上产品不合
7、格的概率为 p= （分数：2.00）_19.设 X与 Y相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 Z= （分数：2.00）_20.一批种子中良种占 ，从中任取 6000粒，计算这些种子中良种所占比例与 （分数：2.00）_21.设总体 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_22.某厂生产某种产品，正常生产时，该产品的某项指标服从正态分布 N(50，38 2 )，在生产过程中为检验机器生产是否正常，随机抽取 50件产品，其平均指标为 （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 31答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：1
8、2.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电，以 E表示事件“电炉断电”，而 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则时间 E等于( )（分数：2.00）A.T (1) t 0 B.T (2) t 0 C.T (3) t 0 D.T (4) t 0 解析：解析：T (1) t 0 表示四个温控器温度都不低于临界温度 t 0 ，而 E发生只要两个温控器温度不低
9、于临界温度 t 0 ，所以 E=T (3) t 0 ，选(C)3.设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)，如果随机变量 X与X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x) D.f(x)=一 f(一 x)解析：解析：F X (x)=P(Xx)= x f(t)dt， F X (x)=P(一 Xx)=P(X一 x)=1一 P(X一 x)=1一 x f(t)dt， 因为 X与一 X有相同的分布函数，所以 x f(t)dt=1一 x f(t)dt，两边求导数，得 f(x)=f(一 x)，正确答案为(
10、C)4.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1 ，P(X1)=P(Y1)= ，则 Pmin(X，Y)1=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 A=X1，B=Y1，则 P(AB)= ，P(A)=P(B)= ， Pmin(X，Y)1=1一 Pmin(X，Y)1=1 一 P(X1，Y1)=1 =P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=5.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E
11、(Y)，所以 Cov(X，Y)=0，又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)6.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF (m，n)=(01)，若 P(Xk)=，则 k等于( )（分数：2.00）A.F (m，n)B.F 1 (m，n) C.D.解析：解析：根据左右分位点的定义，选(B)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A，B，C 都不发生的概率为 =1一 P(A+B+
12、C)，而 ABC AB且 P(AB)=0，所以 P(ABC)=0，于是 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)= ，故 A，B，C 都不发生的概率为8.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= ，若 PX1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：PX1= 1 a f(x)dx= 1 a 9.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：由 1=a 0 e 2x dx 0 e 3y
13、dy，得 a=6，于是 f(x，y)= ， PXY= 0 dx 0 x 6e 2x3y dy=2 0 e 2x (1一 e 3x )dx= 10.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 PX （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 ）解析：解析：因为 XE()，所以 F X (x)= ，则 11.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一 2Y)=9Cov(X，X)4Cov(Y，Y)=9
14、D(X)一 4D(Y)=32D(Y)， 由X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， D(V)=D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， 所以12.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 4X 4 ) 2 +cX 3 2 (abc0)，且 Y 2 (n)，则 a= 1，b= 2，c= 3，n= 4（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 X 1 一 2X 2 N(0，20)，3X 3 一
15、 4X 4 N(0，100)，X 5 N(0，4)， 13.设总体 X的分布律为 P(X=i)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(X)= ，令 E(X)= ，则 的矩估计量为三、解答题(总题数：12，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.现有三个箱子，第一个箱子有 4个红球，3 个白球；第二个箱子有 3个红球，3 个白球；第三个箱子有3个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A
16、i =取到的是第 i只箱子(i=1，2，3)，B=取到白球 (1)P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )+P(A 3 )P(BA 3 )= (2) )解析：16.设袋中有 5个球，其中 3个新球，2 个旧球，从中任取 3个球，用 X表示 3个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能取值为 1，2，3， 所以 X的分布律为 X ，分布函数为 F X (x)= )解析：有三个盒子，第一个盒子有 4个红球 1个黑球，第二个盒子有 3个红球 2个黑球，第三个盒子有 2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3个球
17、，以 X表示红球个数（分数：4.00）(1).写出 X的分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k =所取的为第 k个盒子(k=1，2，3)，P(A i )= (i=1，2，3)， X的可能取值为 0，1，2，3，P(X=0)=P(X=0A 3 )P(A 3 )= ，P(X=1)=P(X=1A 2 )P(A 2 )+P(X=1A 3 )P(A 3 )= P(X=2)=P(X=2A 1 )P(A 1 )+P(X=2A 2 )P(A 2 )+P(X=2A 3 )P(A 3 )= P(X=3)=P(X=3A 1 )P(A 1 )+P(X=3A 2 )P(A 2 )= 所以 X的分布
18、律为 X )解析：(2).求所取到的红球数不少于 2个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX2= )解析：设(X，Y)在区域 D：0x1，Yx 内服从均匀分布（分数：4.00）(1).求随机变量 X的边缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= ， 则 f X (x)= f(x，y)dy= )解析：(2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 E(X)= 0 1 x2xdx= ， E(X 2 )= 0 1 x 2 2xdx= ， 所以D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = ， D(Z
19、)=D(2X+1)=4D(X)= )解析：设(X，Y)f(x，y)= （分数：6.00）(1).判断 X，Y 是否独立，说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0x1 时，f X (x)=f f(x，y)dy= 0 x 12y 2 dy=4x 3 ，则 f X (x)=同理 f Y (y)= )解析：(2).判断 X，Y 是否不相关，说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)= xf X (x)dx= 0 1 4x 2 dx= ， E(Y)= yf Y (y)dy= 0 1 12y 3 (1一 y)dy= ， E(XY)= dx xyf(x，y)dy= 0 1 d
20、x 0 x 12xy 3 dy= ， 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)= )解析：(3).求 Z=X+Y的密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f Z (z)= f(x，zx)dx， 当 z0 或 z2 时，f Z (z)=0； )解析：17.设 X，Y 相互独立，且 XB(3， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(U)=P(maxX，Y)=P(X，Y)=P(X)P(Y)， P(U196)=P(X196)P(Y196)=P(X=0)P(X=1)P(Y196) = (196)=04875 P(U1)=P(X1)P(Y1)= )解析：18.某流水线上产品不合
21、格的概率为 p= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(X=k)=(1一 p) k1 p(k=1，2，) 故 E(X 2 )= k 2 (1一 p) k1 =pS(1一 p)= )解析：19.设 X与 Y相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X与 Y相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= ， )解析：20.一批种子中良种占 ，从中任取 6000粒，计算这些种子中良种所占比例与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 6000粒种子
22、中良种个数为 X，则 XB(6000， ) E(X)=1000，D(X)=6000 =P(一 60X100060)= )解析：21.设总体 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于总体的均值为 E(X)= xf(x)dx= 0 1 (+1)x 1 dx= ，令 E(X)= ，则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x 1 ，x 2 ，x n )为来自总体(X 1 ，X 2 ，X n )的观察值，则关于参数 的似然函数为 L()= ，令 =0，得参数 的最大似然估计值为 ，参数 的最大似然估计量为 )解析：22.某厂生产某种产品，正常生产时，该产品的某项指标服从正态分布 N(50，38 2 )，在生产过程中为检验机器生产是否正常，随机抽取 50件产品，其平均指标为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 H 0 ：=50，H 1 ：50，取统计量 U= N(0，1)，当 =005 时，z 0025 =196，H 0 的接受域为(一 196，196)，因为 )解析：
