1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个任意事件，则使减法公式 P(A C)=P(A)P(C)成立的 C 为( )（A）（B）（C） C=(AB)(AB)（D）C=(AB)(BA)2 设 X 的分布函数为 F(x)，则在下列函数中，仍为分布函数的是( )（A）F(2x1)（B） F(1x)（C） F(x2)（D）1F(x)3 设 XN( 1， 12)，YN( 1， 22)，则( )（A）X+YN( 1+2， 12+22)（B） XYN( 1 2， 12 22)（C） X 与 y 不相关和 X
2、与 y 相互独立等价（D）X+y 可能不服从正态分布4 设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，Ax+Y 与 X+bY 亦不相关，则( )（A）ab=1（B） ab=0（C） a+b=1（D）a+b=05 设随机变量 X1，X 2，相互独立且同服从参数为 的指数分布，其中 (x)=则( ) 6 设随机变量 XN(0，1)和 YN(0 ，2)，并且相互独立，则( )7 在假设检验中，原假设 H0 的拒绝域为 W，x 1，x 2，x n 为样本值，则犯第二类错误的情况为( ) （A）H 0 真，且 x1，x 2，x nW（B） H0 不真，且
3、x1，x 2，x n W（C） H0 真，且 x1，x 2，x n W（D）H 0 不真，且 x1，x 2，x nW二、填空题8 已知事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b如果事件 C 发生必然导致事件 A与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为_ 9 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数则 R 的取值范围是_10 设 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其分布函数记为 F(x)，密度函数记为f(x)，并且 F(x)严格单调， f(x)连续，根据中心极限定理，当 n 充分大时，近似服从_分布，参数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设随机变
4、量 X 服从参数为 0 的指数分布，且 X 的取值于区间1，2上的概率达到最大，试求 的值12 商店销售 10 台洗衣机，其中有 3 台次品，7 台正品若已知已售出洗衣机 4 台，求从剩下的洗衣机中任选一台是正品的概率13 设随机变量 X 的分布函数为 试求 y=X2 的分布函数14 设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，而且 tan(Y2)=e X，求 y 的概率密度15 假设随机变量 X 等可能地取 1，2，3，4 为值，而随机变量 Y 等可能地取 1 到X 的自然数为值，试求 X 和 Y 的联合概率分布16 假设随机变量 X 和 Y 独立同分布 PX=0=PY=0=1p，PX=1=
5、PY=1)=p随机变量 问 p 取何值时，X 和 Z 独立?这时 X,Y,Z 是否相互独立?16 假设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为17 求未知常数 c；18 求概率 PXY)；19 求 X 和 Y 的联合分布函数 F(x，y)；20 求 X 和 Y 的分布函数 F1(x)和 F2(y)20 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从(1，1)上的均匀分布21 试求 X 和 Y 的联合分布函数；22 试求 Z=X+Y 的密度函数23 保险公司设置一险种为：每份保单有效期为一年，有效理赔一次；每份保费500 元，理赔金额为 2 万元统计资料表明，每份保单索赔的概率为 0005假设总共卖出
6、此种保单 800 份，试求公司的期望利润24 检查员逐个地检查某产品，每次花 10 秒钟检查一个，但也可能有的产品需要再花 10 秒钟重复检查一次，假设每个产品需要重复检查的概率为 05，求在 8 小时内检查员检查的产品个数多于 1900 个的概率是多少?24 设总体 X 服从指数分布，其密度函数为 其中 0 是未知参数，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的样本25 求 的最大似然估计量；26 求 的最大似然估计量；27 判断 的最大似然估计的无偏性；27 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，x1，X 2，X n 为来自 X 的样本，28 证明： 都是 的无偏估计量；29 比
7、较这两个估计量，哪一个更有效?考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因(A B)(AB)=A(AB)B(AB) =A(A B) =AB A，即此时 C 是 A 的子事件，故有 P(AC)=P(A) P(C)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 易验证 F(2x1)满足分布函数的充要条件为： 0F(2x1)1；单调不下降；右连续性； 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由于只已知 X 与 Y 的边缘分布为正态分布，
8、而其联合分布未知，所以 A，B，C 均不正确故选 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 XN(1，2)，YN(1 ，2)，于是 D(X)=2，D(Y)=2又 Cov(X，Y)=0， Cov(aX+Y，X+bY)=0 由协方差的性质有Cov(aX+Y，X+bY)=aCov(X，X)+Cov(Y，X)+abCov(X，Y)+bCov(Y，Y)=aD(X)+bD(Y)=2a=2b=0，故 a+b=0故选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 故选A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 概率论与数理
9、统计7 【正确答案】 B【试题解析】 犯第二类错误指的是 H0 不真，但接受 H0，即样本值(x1，x 2，x n) W故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 应填(1a)(1b)【试题解析】 由于 C AB，P(AB)=P(A)P(B) ，故 A，B，C 都不发生的概率为 =1P(A B C) =1P(A) P(B)P(C)+P(AB)+P(BC)+P(AC)P(ABC) =1abP(C)+ab+P(C)+P(C) P(C) =1ab+ab =(1 a)(1b) 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 应填【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【
10、正确答案】 应填正态，【试题解析】 易知 F(Xi)，i=1，2，n 相互独立同分布，且其分布为0，1上的均匀分布，故 EF(xi)=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 X 的分布函数为 P(1X2)=F(2)F(1) =1e 2 (1e ) =ee 2 记 g()=e e 2 ，则 g()=e +2e2 令 g()=0得 0=ln2，且 g(0)0，故当 =0=ln2 时，P(1X2)达到最大【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 由古典概型得所求概率【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 F Y(y)=P(
11、Yy)=P(X2y)当 y0 时，F Y(y)=0；当 0y1 时，当 y1时，F Y(y)=1故【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 由 tan(Y2)=e X 得 由于当 0X1 时，f X(x)0，于是当 时，f Y(y)0因此，有从而 Y 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 当 ji 时，有 Pij=P(X=i，Y=j)=0；当 ji时，有 pij=P(X=i，Y=j) =P(X=i)P(Y=jX=i) 故 X 与 Y 的联合分布律为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 易得 X+Y 服从二项分布 B(2，p)，于是 P(Z=0)=P(
12、X+Y=1)=2p(1p) ， P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2) =(1p) 2+P2 =12p+2p 2若 X 与 Z 独立，则 P(X=0，Z=0)=P(X=0)P(Z=0)，其中 P(X=0，Z=0)=P(X=0，X+Y=1) =P(X=0，Y=1) =P(X=0)P(y=1) =(1P)P 因此 (1P)P=(1p)2p(1p)，即P(X=i，Z=j)=P(X=i)P(Z=j)，i ，j=0 ，1，故 X 与 Z 独立 又因为 P(X=0，Y=0 ，Z=0)=P(X=0，Y=0 ，X+Y=1)=0， P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)0，所以 时，X，Y，Z 并不相互
13、独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由 + +f(x，y)dxdy=1 ，即 0101cxydxdy=1， 得 c=4【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 F(x，y)= x yf(u，v)dudv ，当 X0 或 y0 时，F(x，y)=0；当 0x1，0y1 时， F(x，y)= 0x0y4uvdudv=x2y2；当 0x1，y1 时， F(x，y)=01dv0x4uvdu=x2； 当 0y1，x1 时， F(x，y)= 01du0y4uvdv=y2； 当 x1，y1时，F(x，y
14、)=1故 X 与 Y 的联合分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 X 的分布函数 F 1(x)=F(x，+) Y 的分布函数 F 2(y)=F(+，y)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 因为又 X 与 Y 相互独立，故 X 和 Y 的联合分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 X 和 Y 的联合密度函数为故 Z 的密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 X 表示需要索赔的保单数，则 X 服从二项分布B(800，0005)，该公司的期望利润为Q=E(80050020 000X)=400
15、 000 20000E(X)=400 000 20 0008000005=320 000(元)故公司的期望利润为 32 万元【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 Xi 表示“ 检查第 i 个产品花费的时间”(单位为秒)，即i=1，2，1 900易知 X1，X 2，X n 相互独立且同分布 检查 1 900 个产品所花费的时间，且 E(X i)=10 05+20 05=15， D(Xi)=E(Xi2)E 2(Xi)=25【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由于【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 因为 的无偏估计量易得总体 X 的分布函数为 从而 Yn 的密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 易得显然，n1 时，有【知识模块】 概率论与数理统计
