1、考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 都服从正态分布，则( )（A）X 与 Y 一定独立（B） (X，Y)服从二维正态分布（C） X 与 Y 未必独立（D）X+Y 服从一维正态分布2 边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )（A）必为二维正态分布（B）必为均匀分布（C）不一定为二维正态分布（D）由两个边缘分布确定3 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 X 服从 N(1，2)，Y 服从 N(2，2)，Z 服从N(3，7)，a=PXY，b=PYZ，则( )（A）ab（B） ab（
2、C） a=b（D）a，b 大小不能确定4 设相互独立的随机变量 X1 和 X2 的分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，则随机变量 Y=min(X1，X 2)的概率密度 f(x)=( )（A）f 1(x)f2(x)（B） f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)（C） f1(x)1 一 F2(x)+f2(x)1 一 F1(x)（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)5 设(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下， X 的条件概率密度 fXY (x
3、y)为( )（A）f X(x)（B） fY(y) (c)f X(x)fY(y)（C） （D）考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果 (X，Y)服从二维正态分布，X 与 Y 独立的充分必要条件是 X 与 Y 不相关6 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从指数分布 E()，则下列结论正确的是( )（A）X+Y 服从 E(2)（B） X-Y 服从 E(2)（C） min(X，Y)服从 E(2)（D）max(X，Y)服从 E(2)7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1=PY=2= ，记 FZ(z)= 的分布函数，则函
4、数 FZ(z)的间断点的个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个8 设 X，Y 为连续型随机变量，且 PXY0= ，则Pmin(X，Y)0=( )9 设 X1，X 2，X n 相互独立同分布，每个分布函数均为 F(x)，记X=min(X1，X n)，Y=max(X 1，X n)，则(X ，Y)的分布函数 F(x，y)当 yx时在(x ，y) 处的值为 ( )（A）F(x)F(y) n（B） F(y)n 一F(y) 一 F(x)n（C） F(y)n 一F(y) 一 F(x)F(y)n（D）r(x) n 一F(x) 一 F(y)n二、填空题10 设(X，Y)的概率密度为 f
5、(x，y)= ，一 x，y+，则Z=XY 的概率密度 fZ(z)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 f(x，y)= ，求(1)系数 k；(2)边缘概率密度；(3)X 和 Y 是否独立12 一电子仪器由两部分构成，以 X 和 Y 分别表示两部分部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为 F(x，y)= (1)问 X 和 Y 是否独立；(2)求两部件的寿命都超过 100 小时的概率 。13 设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ，一 x，y+，求 fX(x)14 已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分
6、布 N(0， 2)，求常数 R，使得概率 P R=0515 设随机变量 U 在区间-2，2上服从均匀分布，令求(1)(X，Y) 的联合概率分布；(2)Z=XY的概率分布16 设随机变量 X 和 Y 相互独立，概率密度分别为 fX(x)=求 Z=2X+Y 的概率密度17 设(X，Y)概率密度 f(x，y)= 求 Z=2XY 的概率密度18 设二维随机变量(X，Y)在区域 b=(x，y)1x3，1y3 上服从均匀分布，求Z=XY的概率密度 fZ(z)19 设随机变量 X 和 Y 相互独立，都在(一 a，a) 上服从均匀分布，求 Z=XY 的概率密度。20 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X
7、的概率分布为Y 的概率密度为 f(y)，求 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)21 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)=，求 U=X+Y 的概率密度 fU(u)22 设相互独立的两个随机变量 X，Y 服从相同的分布，且 X 的概率分布为又随机变量 Z=minX，Y(1) 求(X，Z)的概率分布；(2)X 与 Z 是否相互独立?考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 事实上，X 与 Y 都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系(X，Y)服从二维
8、正态分布的充分必要条件是 aX+bY 服从一维正态分布，其中x，b 不同时为 0即使(X，Y)服从二维正态分布，X 与 Y 也未必服从正态分布，因此选项(B) 和(D) 都不正确【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确 例如，如果(X ，Y)的概率密度为f(x，y)= (1+sinxsiny)，一 x，y+其不服从二维正态分布，但 X和 Y 都服从标准正态分布【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 X 服从 N(1，2)，Y 服从 N(2，
9、 2)，且 X 与 Y 相互独立，从而X 一 Y 服从 N(一 1，4) ，同理 Y-Z 服从 N(一 1，9)从而 ab【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 Y=min(X 1，X 2)的分布函数为 FY(x)=1 一1 一 F1(x)1 一 F2(x)， 所以 fY(x)=FY(x)=f1(x)1 一 F2(x)+f2(x)1-F1(x)，因此选(C)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 X 与 Y 不相关，从而 X 与 Y 独立，所以 f XY (xy)=f X(x)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】
10、由于 X 和 Y 相互独立，且都服从 E()，其分布函数为 F(x)=min(X，Y)的分布函数 Fmin(x)=1-1-F(x)2=1e-2x，x0 即min(X，Y)服从 E(2)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，显然，z=0 是 FZ(z)的间断点，因此选 (B)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 事件max(X，Y)0的对立事件为X0，Y0，由 Pmax(X，Y)0= 又XY0 min(X，Y)0，且X 0，Y 0=min(X，Y)0一XY0，故 Pmin(X，Y)0=PX 0，Y 0+
11、PXY0=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 r(x，y)=PXx，Yy=Px+ ，Yy一 PXx，Yy =PYy一PXx，yy =Pmax(X 1，X 2，X n)y-Pmin(X1，X 2，X n)x，max(X 1，X 2，X n)y =F(y)n 一PX1x，X nx，X 1y，X ny =F(y)n 一PxX 1y， xX 2y，xX ny =F(y)n 一 PxX 1)，PxX 2yPxX ny =F(y)n 一F(y)-F(x) n (yx)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由已知条件 X 和 Y 相互独立，且都
12、服从正态分布 N(0，1)，从而Z=XY 服从 N(0，2)，即 fZ(x)= ，一 z+【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (1)由 -+-+f(x，y)dxdy=1，有 k0+xe-xdx0+e-xydy=k0+e-xdx=k=1，得 k=1(2)当 x0 时 fX(x)=f(x，y)dy= -+f(x，y)dy= 0+xe-x(1+y)=e-x当x0 时，f X(x)=0 (3)当x0，y0 时，f(x，y)f X(x).fY(y)，所以 X 与 Y 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 (1)关于 X
13、 和 Y 的边缘分布函数为 F X(x)=F(x，+)=因为 F(x，y)=F X(x)FY(y)，所以 X 和 Y 是相互独立的 (2)=PX01，Y 01=PX01PY01=1 一 PX011 一 PY01=e -0.1【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 考查利用二维正态分布计算事件概率的方法X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)，可以得到(X，Y)的联合概率密度，在区域 R上利用极坐标计算二重积分得到所求事件的概率【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 (1)(X， Y)可能取的值为(
14、一 1，一 1)，( 一 1，1)，(1，一 1)，(1，1)， 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由于 X 和 Y 相互独立，因此(X， Y)的概率密度为【试题解析】 本题可以利用 X 和 Y 相互独立及它们的概率密度的已知条件，求出(X， y)的概率密度 f(x，y)，再求出 Z 的分布函数 FZ(z)，从而求得 Z 的概率密度fZ(z)；也可以直接利用卷积公式求得 fZ(z)，但要注意对 z 的取值进行正确的分段【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 利用公式 fZ(z)=-+f(x，2xz)dx由于【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由已知，(X
15、，Y)的概率密度为 f(x，y)= 设Z=XY的分布函数为 FZ(z)，则 F Z(z)=PX-Yz 当 z0 时，F Z(z)=0，【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 如图 310 所示，因为 X 和 Y 相互独立，都在(一 a，a) 上服从均匀分布，所以(X，Y) 的联合概率密度为 设 Z=XY的分布函数为 FZ(z)=PXYz= 当 z一 a2 时，F Z(z)=0；当 za2 时，FZ(z)=1；当 0za 2 时，【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 Z=X+Y 的分布函数为 FZ(z)，则 F Z(z)=PZz=PX+Yz=PX=1PX+YzX=1 +
16、PX=2PX+YzX=2+PX=3PX+YzX=3 =04PYz-1+02PYz 一 2+04PYz 一 3 设 Y 的分布函数为 FY(y)，则 F Z(z)=0 4FY(z-1)+0 2FY(z 一 2)+04F Y(z 一 3)，从而 fZ(z)=FZ(z)=0f(z 一1)+02f(z 一 2)+04f(z 一 3)【试题解析】 独立情况下，考查一个离散型，一个连续型随机变量的函数的分布，用全概率公式来求分布函数，离散型随机变量取各值的事件为完备事件组【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 显然 X 可能取值为 0 和 1，由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为 F U(u)=PX+YM=PX=0PX+YuX=0+PX=1PX+Yu x=1=概率密度为 fU(u)=【试题解析】 X 的分布函数为阶梯函数，因此 X 是离散型随机变量，Y 是连续型的，因此先找到 X 的概率分布，再便用全概率公式求 U 的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (1)(X， Z)可能取值为(0，0)，(0， 1)，(1，0)，(1，1)故 X 与 Z 不相互独立 【知识模块】 概率论与数理统计
