1、考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 是同一个试验的随机事件，则事件 (AB)(A B)可以化简为( )（A）AB （B） AB（C） AB（D） 2 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 ( )（A） 不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(A 一 B)=P(A)3 对于任意两个随机事件 A 和 B，则( )（A）如果 AB ，则 A，B 一定独立（B）如果 AB ，则 A，B 有可能独立（C）如果 AB= ，则 A，B 一定独立（
2、D）如果 AB= ，则 A，B 一定不独立4 设 A 为随机事件，且 P(A)=1，则对于任意的随机事件 B，必有( )（A）P(AB)=P(B)（B） P(A 一 B)=P(B)（C） P(B 一 A)=P(B)（D）P(AB)=P(B) 5 设随机事件 A，B 满足 P(A)=P(B)= ，P(AB)=1，则有( )（A）AB=n（B） AB= （C） P( )=1（D）P(AB)=06 设 A 和 B 为随机事件，则 P(AB)=P(A)一 P(B)成立的充要条件是( )（A）B A（B） A=B（C） P(B 一 A)=0（D）P(A )=07 设 A、B 是两个随机事件，且 P(CA
3、B)=1 ，则正确的是( )（A）P(C)P(A)+P(B)一 1（B） P(C)=P(AB)（C） P(C)=P(AB)（D）P(C)P(A)+P(B)一 18 设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)+P( )=1，则( )（A）事件 A 和 B 互不相容（B）事件 A 和 B 互相对立（C）事件 A 和 B 互不独立（D）事件 A 和 B 相互独立9 已知 A，B，C 三个事件中， A 与 B 相互独立，且 P(C)=0，则事件 ( )（A）相互独立（B）两两独立，但不一定相互独立（C）不一定两两独立（D）一定不两两独立10 设 A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且 P(A)0，0
4、P(C) 1则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是( )11 进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率为 p(0p1)，则在试验成功 2 次前已经失败 3 次的概率为( )（A）4p 2(1-p)3（B） 4p(1-p)3（C） 10p2(1-p)3（D）p 2(1-p)3二、填空题12 已知 A，B 是任意两个随机事件，则 p=P(AB)(A )=_13 随机地向半圆 0y (a0) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴夹角小于 的概率为_14 设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件：ABC=，且已知 P(ABC)= ，则 P
5、(A)=_。15 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知 2 件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_16 设 A，B，C 是三个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=0 6，P(C)=05，又A B，A，C 相互独立，则 P(AC)BAC B)=_17 某人向同一个目标进行独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p，此人第 4次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 ，则 p=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 某批产品中有口件正品，6 件次品(1)用放回抽样方式从中抽取 n(na+b)件产品，问其中恰有 k(kn)件次品的概率 p1；
6、(2)用不放回抽样方式从中抽取 n 件产品，问其中恰有 k(kn)件次品的概率 p2；(3)依次将产品一件件取出，求第 k 次取出正品的概率 p319 在随机地抛掷两枚骰子的试验中，求两枚骰子点数之和为 6 的结果出现在点数之和为 8 的结果之前的概率20 将 n 只球(1 一 n 号) 随机地放人 n 只盒子(1 一 n 号)中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对求至少有一个配对的概率21 设(x ，y) 是平面区域 D=(x，y)x1，y1上的随机点求关于 t 的方程 t2+xt+y=0 有两个正实根的概率22 设有三个事件 A，B，C，其中 0P(B)1，0P
7、(C)1，且事件 B 与事件 C 相互独立，证明：P(AB)=P(ABC)P(C)+P(A B )23 三门炮同时独立地对同一个目标进行炮击，各发射一发炮弹，第一、二、三门炮击中目标的概率分别为 04，05，07，目标中 1，2，3 弹被击毁的概率分别为 02，06，08(1)求炮击后目标被击毁的概率 p；(2)已知目标被击毁，求目标中 2 弹的概率 q24 设有 8 只球，其中自球和黑球各 4 只，从中任取 4 只放人甲盒，余下的 4 只放入乙盒，然后分别在两盒中任取 1 只球，颜色正好相同试问放人甲盒的 4 只球中有几只白球的概率最大?25 设有来自三个地区各 10 名，15 名，25 名
8、考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 价，7 份，5 份随机地取出一个地区的报名表，从中先后抽取两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率 p；(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q26 有 30 个零件，其中 20 个一等品，10 个二等品，随机地取 3 个，安装在一台设备上，若 3 个零件中有 i(i=0，1，2，3) 个二等品，则该设备的使用寿命 (单位：年)服从参数为 =i+1 的指数分布，试求：(1) 设备寿命超过 1 年的概率；(2)若已知在该设备上的两个零件安装后使用寿命超过 1 年，则安装在该设备上的 3 个零件均为二等品的概率27 在电源电压不超过
9、200 伏，在 200240 伏和超过 240 伏三种情形下某种电子元件损坏的概率分别为 01，0001 和 02，假设电源电压 X 服从正态分布N(220， 252)，求 (1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240 伏的概率考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.摩根律和吸收律把握这些特征，有利于化简复杂事件【知识模块】 概率论与数理统计2 【正
10、确答案】 D【试题解析】 由图 11，显然(A)不成立，由图 1 一 2，选项(B)不成立又 AB=，故 P(AB)=0，而 P(A)P(B)0，选项(C)不正确【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 一般地，随机事件互不相容与相互独立之间没有必然联系，如果 0P(A)1，0P(B) 1，且 A 和 B 相互独立，则 0P(AB)=P(A)P(B)1，则AB 反之，如果 AB ，P(AB)与 P(A)P(B)有可能相等，故应选 B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A AB，P(A)=1，从而 P(AB)=1，而 B 为任意事件，所以选
11、项(A)不正确； 又 P(A 一 B)= =1 一 P(B)，所以选项(B)不正确； P(BA)= =0，而 B 为任意事件，所以选项(C)不正确；P(AB)=P(A)P(B)=P(B)，故应选 D 注：如果知道结论“概率为 0 或 1 的事件与任意事件相互独立”，则可立刻选出正确选项【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，P(A B)=1 得 P(AB)=0 P(AB)=1，不能说明 AB=，故选项(A)不正确； 同样 P(AB)=0，也不能说明AB= ，故选项 (B)不正确； P(A 一 B)=P(A)一 P
12、(AB)= ，所以选项(D)不正确； 而 =1P(AB)=1，故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P(AB)=P(AAB)=P(A)一 P(AB)，而 P(AB)=P(A)一 P(B)，从而 P(AB)=P(A)一 P(B)成立的充要条件是 P(AB)=P(B)又 P(BA)=P(BAB)=P(B)一 P(AB)=0，可得 P(AB)=P(B)，因此应选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P(CAB)= =1，从而 P(ABC)=P(AB)，由加法公式P(AB)=P(A)+P(8)一 P(AB)P(A)+P(B)
13、一 1，又 ABC C，故 P(ABC)P(C)，即P(C)P(A)+P(B)一 1，因此选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)，从而事件 A，B，C 相互独立，由独立性结论，事件 一定相互独立【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 事实上，因此应选 B 注：由已知条件，只能得到 是不一定相互独立的，而不能确定 一定不独立，事实上如果 P( )=0 或 1，则二者就是相互独立的【知识模块】 概率论与数理统计11
14、【正确答案】 A【试题解析】 考查独立重复试验事件的概率，事件“在试验成功 2 次前已经失败 3次”是指“试验进行 5 次，第 5 次是第 2 次成功”，相当于事件“第 5 次成功，前 4 次成功 1 次” 由于是独立重复试验，故所求概率为 C41p(1-p)3p=4p2(1-p)3，应选A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查随机事件的概率，关键是综合运用事件的关系和运算律化简事件【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 设 A 表示事件“原点与该点的连线与 x 轴夹角小于 ”，如图 14所示，事件 A 对应图中区域 D，则
15、P(A)=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 本题考查条件概率的识别和计算，由于事件发生有先后顺序，因此是条件概率关键是要清楚先发生的事件的内涵，即“任取 2 件产品，已知 2 件中有一件是不合格品”是指“所取 2 件产品至少有一件是不合格品” 设 A 表示事件“2件产品中有一件是不合格品”，B 表示“另一件也是不合格品”，则所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 05【试题解析】 试验是独立重复试验，某人第 4 次射击
16、恰好第 2 次命中是指“在前 3次射击中命中 1 次，第 4 次射击恰好是第 2 次命中” 由已知条件，所求概率为q=C31p(1-p)2p=3p2(1-p)2= ，故 p(1-p)= ，解得 p=05【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【试题解析】 这是古典型概率问题，样本空间可以作不同的设计，但必须满足等可能性的要求【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由古典型概率，“两枚点数之和为 6”的概率为，“出现点数之和为 6 或 8”的概率为 由事件的独立性，所求概率为 p= 【试题解析】 设 Ai 表示在“前 i 一
17、1 次试验中既不出现点数之和为 6，也不出现点数之和为 8，而第 i 次试验出现点数之和为 6 的结果 ”i=1，2，A 表示“两枚骰子点数之和为 6 的结果出现在点数之和为 8 的结果之前”，则 A1，A 2，A i，两两互不相容，且 A= Ai再利用事件的独立性和加法公式求出 A 的概率【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 Ai 表示“ 第 i 号球配对”，i=1，2，以 B 表示“ 至少有一个配对”，【试题解析】 这是古典型概率的基本问题，所讨论的事件比较复杂，可以用简单事件的关系表示该事件，再利用加法公式计算【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设平面区域
18、A=(x，y)0y ，一 1x0，则当随机点(x，y)A 时，方程 t2+xt+y=0 有两个正实根，由几何型概率可得所求概率为【试题解析】 这是典型的几何型概率问题，如图 1 一 3 所示，样本空间对应的区域为区域 D=(x，y)x1，y1 ，方程 t2+xt+y=0 有两个正实根的充要条件是=x 24y0，其根 t= ，x0，y0计算区域的面积之比即为所求事件的概率【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 因为事件 B 与事件 C 相互独立，从而事件 B 与事件 也相互独立，且【试题解析】 本题考查事件的独立性和条件概率计算公式，直接证明即可【知识模块】 概率论与数理统计23 【正
19、确答案】 (1)设 A 表示事件“ 目标被击毁”，B i 表示事件“ 目标中 i 弹(i=0，1，2，3)”，由事件的独立性，有 P(B 0)=(1 一 04)(1 一 05)(1 一 07)=009 ， P(B 1)=04(105)(107)+(104)05(107) +(1 一 04)(1 一 05)0 7=036， P(B 2)=040 5(1 一 07)+04(1 一 05)07 +(1 一 04)0507=041， P(B 3)=040 507=014 由已知，有 P(AB 0)-0，P(AB 1)=02，P(AB 2)=06，P(AB 3)=08 根据全概率公式，有 p=P(A)=
20、 P(Bi)P(A Bi) =0009+03602+0410 6+01408=043 (2)根据贝叶斯公式，有 q=P(B2A)= =057【试题解析】 随机试验分为两个阶段，炮击后目标可能没有中弹，或被击中 1 弹、2 弹、3 弹，目标是否被击毁的概率由所中炮弹个数决定，考虑用全概率公式【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 A 表示“在两盒中任取 1 只球，颜色正好相同”，B i 表示“甲盒中有 i(i=0，1，2，3，4)只白球 ”，则有故放入甲盒中有两只白球的概率最大【试题解析】 本题所讨论的是在事件“在两盒中任取 1 只球，颜色正好相同”发生的条件下第一次随机试验的各个
21、结果发生的概率，考虑使用贝叶斯公式第一次随机试验的结果用 Bi 表示，即设 Bi 表示“甲盒中有 i(i=0，1，2，3，4)只白球”【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1)由全概率公式，得【试题解析】 随机试验分为两个阶段，先要抽取一个地区，再在所抽取的地区中先后抽取两份报名表，第二阶段的结果由第一阶段试验结果所决定，因此考虑使用全概率公式进行计算可以设 Bi 表示“报名表是第 i 个地区考生的”i=1，2，3P(E)= Ai 表示“第 j 次抽到的报名表是男生表”j=1 ，2重复使用全概率公式得到所求概率【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 Bi 表示 “3
22、 个零件中有 i 个是二等品”(i=0，1，2，3)，令 A 表示“设备的寿命超过 1 年” ，以 X 表示“设备的使用寿命 ”【试题解析】 设备的使用寿命受所取零件中所含二等品的个数影响，所含二等品的个数有四种情况，可以设 Bi 表示“3 个零件中有 i(i=0，1，2，3)个是二等品”，作为完备事件组，利用全概率公式和贝叶斯公式计算所求概率 (1)P(AB 0)=PX1B 0=1+edx=e-1 同理可求 P(AB 1)=e-2，P(AB 2)=e-3，P(AB 3)=e-4 从而 P(A)=0281e -1+0222e -2+0222e -3+0275e -401495 (2) 由贝叶斯公式，所求概率为 P(B3 A)= 0034【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 A1 表示“电源电压不超过 200 伏”；A 2 表示“电压在 200240伏”；A 3 表示 “电压超过 240 伏”；B 表示“电子元件榻坏”【试题解析】 电源电压的三种情形决定电子元件损坏的概率，将其作为完备事件组，用全概率公式正态分布计算概率利用标准正态分布计算【知识模块】 概率论与数理统计
