1、考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 6 及答案与解析一、填空题1 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(， 2， 2，0)，则 E(XY2)=_，E(X+Y) 2=_。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设 X 和 Y 是相互独立的且均服从正态分布 N(0， )的随机变量，求Z=XY的数学期望。3 设 X1 和 X2 是相互独立的且均服从正态分布 N(，)的随机变量，求E(max(X1，X 2)4 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从参数为 1 的指数分布，记 U=max(X，Y)，V=min(X，Y) (1)求 V 的概率密度 fV(v)；(2)E(U+V)，
2、E(UV)5 设(X，Y) 在区域 D=(x，y)1x3，1y3上服从均匀分布，事件 A=Xa，B=Ya (1)若 P(AB)= ，求 a；(2)设 D0 为事件 AB 所占的区域，随机地向D 投点 4 次，Z 为落入 D0 内的次数，求 E(Z2)6 随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 对 X 独立重复地观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 E(Y2)7 设 X 服从 N(1，4) ，Y 服从 N(2，9)，且 X 与 Y 相互独立，如果 服从N(0，1)，求常数 a，b8 设随机变量 X3，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 在0，6上服从均匀分布，X 2 服从N(0，4
3、)，X 3 服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X1-2X2+3X3，求 D(Y)9 设 (x)表示标准正态分布函数，随机变量 X 的分布函数 F(x)= (x 一 1)，求(1)a、b 应满足的关系式；(2)E(X) 10 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y) 的概率密度11 已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(1， 32)和 N(0，4 2)，且 X 与 Y 的相关系数 XY= (1) 求 E(Z)和 D(Z)；(2)求 X 与 Z 的相关系数XY；(3)问 X 与 Z 是否
4、相互独立，为什么?12 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)相互独立同分布，且期望均为 ，方差均为2(20)，令 的相关系数 13 设随机变量 X1，X 2，X n(n2)相互独立，且均服从 N(0，1)，记，i=1，2，n求(1)D(Y i)；(2)coy(Y 1，Y n)14 设随机变量 X1，X 2，X n(n2)的期望都为 0，方差都为 1，且任意两个的相关系数都为 ，设 U=X1+X2+Xn，Y=X n+1+Xn+2+X2n，求 U 和 V 的相关系数XY。15 已知 X 与 Y 服从相同的分布，且 PX= Y=0，X 的概率分布为(1)求 X 与 Y 的联合概率分布；(2) 问
5、 X 与 Y 是否不相关?16 设 A 和 B 为两个随机事件，定义随机变量 证明 X 与 Y 不相关的充分必要条件是 A 和B 相互独立17 对于任意二事件 A，B，0P(A)1，0P(B)1，定义 A 与 B 的相关系数为(1)证明事件 A，B 相互独立的充分必要条件是其相关系数为零； (2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明 AB118 设 X 的概率密度为 f(x)= ，一 x+，(1) 求 E(X)和 D(X)；(2)求 X与X的协方差，判断 X 与X是否不相关；(3)判断 X 与X 是否相互独立19 设某种商品每周的需求量 X 是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店
6、进货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500元；若供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1 单位商品仅获利 300 元为使商店所获利润期望值不少于9 280 元，试确定最少进货量20 设自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：mm)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10mm 或大于 12mm 为不合格品，其余为合格品销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知一个零件的销售利润 T 元与 X 有如下关系：T=，问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均获利最大，是多少 ?21 假设一部机器在一天内发生故障的概率
7、为 02，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，可获利 10 万元；发生一次故障仍可获利 5 万元；发生二次故障所获利润 O 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元，求一周内期望利润是多少?考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 6 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 2+3，2 2+42【试题解析】 由于(X，Y)服从正态分布 N(， 2， 2，0)， 所以 X 服从N(， 2)，Y 也服从 N(， 2)， 而 =0，所以 X 与 Y 是相互独立的 因此E(XY2)=E(X).E(Y2)=E(X)D(Y)+(EY)2=(2+2)=2+3 E(X+Y) 2=E(X2+2
8、XY+Y2)=E(X2)+2E(X)E(Y)+E(Y2) =D(X)+E(X)2+2E(X)E(Y)+D(Y)+E(Y)2 =2+2+22+2+2=22+42【知识模块】 概率论与数理统计二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 由于 X 和 Y 是相互独立的且均服从正态分布 N(0， )的随机变量， 所以 T=XY 服从 N(0，1)，其概率密度为【试题解析】 本题考查独立条件下正态分布的性质及其函数的期望的计算需要先判断 X-Y 的概率分布，然后再选择恰当的公式计算【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 设 X1，X 2 的分布函数为 F(x)，Z=max
9、X 1，X 2，则 fZ(x)=2F(x)d(x)，【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 由于 X 和 Y 相互独立，都服从参数为 1 的指数分布，所以 E(X)=E(Y)=1，且 X 的分布函数为 (1)设 V 的分布函数为 Fmin(v)，则 F min(v)=1 一1-F(v) 2=1=e-2v，v0故 fV(v)= (2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2E(UV)=E(X)E(Y)=11=1【试题解析】 本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布先写出 V 的分布函数，再求导得到其概率密度注意到 U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到
10、 E(U+V)，E(UV)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力首先利用加法公式求出常数 a，而 D0 为事件 AB 所占的区域，随机地向 D 投点 4 次，因此该试验是 4 次伯努利试验，由于 Z 为落入 D0 内的次数，因此意识到 Z 服从B(4，P(AB)，进而可利用方差的计算公式求出 E(Z2)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 于是 E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5【试题解析】 本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征对 X 独立重复地观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 【知识模块】 概率
11、论与数理统计7 【正确答案】 由已知，E(X)=1，D(X)=4 ，E(Y)=2，D(Y)=9， 由于 X 与 Y 相互独立，所以 解得 a=一 2，b=5【试题解析】 考查正态分布的数字特征根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出 a，b【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 由已知条件，D(X 1)= =3，D(X 2)=4，D(X 3)=3 又X1，X 2，X 3 相互独立，从而 D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+44+93=46【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 (1)F(+)=1，有 a+b=1 (2)以 (x)表示标准正态分布的
12、概率密度，则 E(x)= -+xdF(x)=-+xa(x)+b(x 一 1)dx =a -+x(x)dx+b-+x(x 一 1)dx 注意到 -+x(x)dx=0，从而有 E(x)=b -+x(x 一 1)dx=b-+(x 一 1+1)(x 一1)dx =b-+(x 一 1)(x 一 1)dx+b-+(x1)dx 令 x 一 1=t，有 E(x)=b-+t(t)dt+b-+(t)dt =b0+b1=b 【试题解析】 考查分布函数的性质和计算数学期望的方法由于 X 的分布已知，可以利用公式结合分布的性质出 E(X)【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 本题考查二维正态分
13、布的参数含义和概率密度的形式，将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 (3)X与 Z 不一定相互独立因为 Z 未必服从正态分布，(X，Z) 也未必服从二维正态分布，X 与 Z 不相关，但 X 与 Z 不一定是独立的【试题解析】 综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征利用数字特征的性质直接求出 E(Z)，D(Z)和 XY判断 X 与 Z 是否相互独立则需要利用正态分布的性质【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查正确使用公式和性质计算数字特征的能力及 Xi 与 的关系，是基本问题 中含有 Xi，因
14、此 与 Xi 一般是不独立的【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 (1)根据已知条件，知(X，Y) 的概率分布为从而 cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，即 X 与 Y 不相关【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 P(A)=P1，P(B)=P 2，P(AB)=P 12，则有 E(X)=2P 11，E(Y)=2P21，E(XY)=4P 12-2P1 一 2P2+1， COY(X，Y)=E(XY) 一 E(X)E(Y)=4(P12 一P1P2) X 与
15、Y 不相关 A与 B 相互独立【试题解析】 本题考查不相关与独立性的判断严格按照定义证明【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 而 XY1，从而 AB1 【试题解析】 本题考查建立事件与随机变量联系的能力，题中给出事件相关系数的定义式，要求利用随机变量相关系数的性质证 AB1，因此引入(0 一 1)分布，将事件 A，B 与随机变量建立起关系式【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (1)E(X)=2，从而 D(X)=E(X2)一(EX) 2=2 (2)cov(X，X)=E(XX)一 E(X)E(X )=E(XX )=0，从而 X 与X不相关 (3)对于给定的实数 a0，显然
16、事件 x1 Xa，且 PXa1，于是 PXa，Xa=PX aPXaPXa，因此 X 与X不相互独立【试题解析】 本题考查二个随机变量的协方差及相关性的概念，相关性与独立性的关系由于分布已知，可以利用公式计算数字特征【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设进货量为 t，利润为 L=L(t)，则【试题解析】 考查利用期望解决实际问题的能力，关键要建立起利润函数的表达式再求解【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 已知 X 服从正态分布 N(，1)，所以 X- 服从 N(0，1)，于是 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数， Y 表示利润，则 Y=：由已知 X 服从 B(5，02)。E(Y)=10PX=0+5PX=1+0PX=2-2PX3 =1008 5+5C51(02)(0 8) 4+02108 5-C51(02)(0 8) 4 一C52(02) 2(0 8)3 =5216(万元)【知识模块】 概率论与数理统计
