1、考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X 一 2Y的方差为( )（A）8（B） 16（C） 28（D）442 设 X 是一随机变量，且 E(X)=u，D(X)=(，0 为常数)，则对于任意常数 C，必有( )（A）E(XC) 2=E(X)一 C2（B） E(XC)2=E(X-)2（C） E(XC)2E(X-) 2（D）E(XC) 2E(X 一 )23 设随机变量 X 和 Y 满足 D(2X+Y)=0，则 X 和 Y 的相关系数 XY=
2、( )（A）一 1（B） 0（C） （D）14 对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量 X 和 Y，如果 E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )（A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 和 Y 相互独立（D）X 和 Y 不相互独立5 若随机变量 X 与 Y 满足 Y=1 一 ，且 D(X)=2，则 cov(X，Y)=( )（A）1（B） 2（C）一 1（D）一 26 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=max(X，Y) ，Y=min(X，Y)，则 E(UV)=( )（A）EU.EV （B） EX.EY（C） EU
3、.EY（D）EX.EV 7 设(X，Y) 服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件是( )（A）E(X)=E(Y)（B） E(X2)一 E(X)2=E(Y2)一E(Y) 2（C） E(X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2二、填空题8 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX=1，EY= 2，DX= 12，DY= 22，则COV(XY，X)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中装有 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后
4、，求(1)乙箱中次品件数的数学期望；(2)从乙箱中任取 1 件产品是次品的概率10 已知随机变量 X 的概率分布为 PX=k= ，k=0，1，2，求 E(X2)和D(X)11 一汽车沿街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯均为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 (1)求 X 的概率分布；(2)求 E()12 设试验成功的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止，用X 表示所需要进行的试验次数，求 EX。13 连续进行某项试验，每次试验只有成功和失败两个结果，设当第 k 次成功时，第 k+1 次试验成
5、功的概率为 ，当第 k 次失败时，第 k+1 次试验成功的概率为 ，且第一次试验成功与失败的概率均为 ，令 X 表示首次获得成功时的试验次数，求 EX。14 一民航送客车载有 20 名乘客自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数 X 的数学期望15 某产品的次品率为 01，检验员每天检验 4 次每次随机地取 10 件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于 1，就去调整设备以 X 表示一天中调整设备的次数，且诸产品是否为次品是相互独立的，求 E(X)16 设随机变量 X 在-1，2
6、 上服从均匀分布，随机变量 Y= ，求 D(Y)17 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为(1)写出关于 X，Y 及 XY 的概率分布；(2) 求 X 和 Y 的相关系数 XY18 设二维随机变量(X，Y)在矩形域 D=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布(如图 4 一 1)，记 求 U 和 V 的相关系数 XY。19 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ，求 a，b，c 的值20 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 f(x，y)= 求EX，EY，cov(X，Y) ， XY 和 D(X+Y)21 在数轴上的区间0，a 内任意独立地选取两点 M 与 N，求线段 MN 长度的数学
7、期望22 设随机变量 X1，X 2 均在(0，1)上服从均匀分布，且相互独立，X=max(X 1，X 2)，Y=min(X1，X 2)，求 E(X)，E(Y) ，D(X)，D(Y)，E(X+Y) 考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 D(3X 一 2Y)=9DX+4DY=94+42=44 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(C)=E(XC)2，于是 g(C)=E(X 2 一 2CX+C2)=E(X2)一 2CE(X)+C2 =2+2 一 2C+C2
8、， g(C)=一 2+2C， g“(C)=2 0 令 g(C)=0，得唯一驻点C=，因此函数 g(C)在 C= 处取得最小值 g()=E(X-)2，即 E(XC) 2E(X-)2【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D(2X+Y)=0，因此 P2X+Y=C=1，即 PY=一 2X+C=1， 其中 C 为常数，从而 XY=一 1【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)又 COV(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，从而 D(X+Y)=D(X)+D(y)【知识模块】 概率论与数理统
9、计5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 cov(X，Y)= cov(X，X)，注意到cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，从而 cov(X，Y)=一 DX=一 1【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 如果 XY，则 U=X，V=Y；如果 XY，则 U=Y，V=X ，从而E(UV)=E(XY)由于 X 和 Y 相互独立，所以 E(UV)=E(XY)=EX.EY【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 =X+Y 与 =X-Y 不相关的充分必要条件是 cov(，)=0，即 COV(X+Y，XY)=cov(X，X)一 cov(X，Y)+cov(
10、Y，X)-cov(Y，Y)=DXDY=0， 从而 DX=DY，又 DX=E(X2)一(EX) 2，DY=E(Y 2)一(EY) 2，从而应选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 2【试题解析】 COV(XY，X)=E(XYX)-E(XY).EX=E(X 2Y)一 EX.E(XY)， 因为随机变量 X 与 Y 相互独立，所以 cov(XY，X)=E(X 2)EY-EX.EX.EY=DX+(EX)2EY-(EX)2.EY =(12+12)2-122=212【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 (1)设 X 表示乙箱
11、中次品件数，则 X 可能取值为 0，1，2，3，【试题解析】 考查离散型随机变量的分布和数学期望由已知条件，容易得到次品件数的分布，再利用分布计算期望【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 概率分布已知，利用公式直接计算【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 (1)X 的可能取值为 0，1，2，3设 Ai 表示“汽车在第 i 个路口遇到红灯”，则 PX=0=P(A1)= ，PX=1=(2)【试题解析】 这是一道“有限几何分布”的应用题关键是建立 X 的概率分布，再利用分布求其数字特征【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查计算数
12、学期望的方法和计算能力由已知条件，可以得到X 的概率分布，直接利用分布计算注意到由于是独立重复试验，考虑能否将 X分解，从而简化计算【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 X 可能取的值为 1，2，PX=1= 设 Ak 表示第 k 次试验成功，当 k2 时，X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 引入随机变量，令 Xi= i=1，2，10从而X=X1+X10，又 PXi=0= ，所以 E(Xi)=009 20+1(109 20)=109 20，故 E(X)=10(109 20)8784(次)【试题解析】 本题考查将实际问题提炼为概率模型的能力由于是独立重复试验
13、，每次试验仅有两个结果，即下车或不下车，因此可以引入(0 一 1)分布表示【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 引入随机变量 Xi，i=1 ，2，3，4。设Xi= 则 X=X1+X2+X3+X4又设第 i 次检验时发现的次品数为Yi，Y iB(10，01)PX i=0=PYi=0+PYi=1=C100(01) 0(101)10+C101(01)(1-01) 9=1909 9，PX i=1=1-09 919，E(X i)=02639，所以E(X)=4E(Xi)=10556【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 考查随机变量函数的方差的计算由已知条件，Y 为离散
14、型随机变量，可以求出其概率分布Y 取各值的概率由 X 取值计算，而 X 服从的是均匀分布，可以利用几何型概率计算概率【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)由已知条件，关于 X 的概率分布为【试题解析】 考查二维离散型随机变量的数字特征，分布已知，可以直接利用计算公式求解【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 如图 41 所示，【试题解析】 本题考查二维离散型随机变量的相关系数的计算由已知条件，(U， V)的概率分布容易获得，可以先求出其概率分布，再利用公式计算注意到(X， Y)在 D 上服从均匀分布，因此可以利用几何型概率来简化计算【知识模块】 概率论与数理统计19
15、 【正确答案】 由 -+f(x)dx=1，得 2a+6c+2b=1，由 EX=-+xf(x)dx=2，得4a+28c+9b=3，【试题解析】 本题考查连续型随机变量的三个核心问题，即概率分布、概率和数字特征，直接利用它们的性质得到关于 a，b，c 的方程组，计算可得 a，b，c 的值【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设两点的坐标分别为 X，Y，则(X，Y) 的联合概率密度为 f(x，y)= 如图 42 所示，所求 E(XY )=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题意知道(X 1，X 2)的概率密度为 【知识模块】 概率论与数理统计
