1、考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 关于随机事件Xa，Yb 与Xa，Yb，下列结论正确的是( )（A）为对立事件（B）为互不相容事件（C）为相互独立事件（D）PXa，YbPX a，Yb 2 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，则(X，X)的分布函数 G(x，y) 为( )（A）F(x，y)（B） F(y，x)（C） F(一 x，一 y)（D）F(一 y，一 x)3 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)= ，则常数 A 和 B 的值依次为( )4 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且
2、有相同的分布函数 F(x)，Z=X+Y ，F Z(z)为 Z 的分布函数，则下列成立的是( )（A）F Z(2z)=2F(z)（B） FZ(2z)=r(z)2（C） FZ(2z)F(z)2（D）F Z(2z)，(z) 25 设 X1 和 X2 是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则下列说法正确的是( )（A）f 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度（B） f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)必为某一随机变量的分
3、布函数6 已知随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( )（A）X=Y（B） PX=Y=0 ?（C） PX=Y= （D）PX=Y=1 7 设二维随机变量(X，Y)在平面区域 G 上服从均匀分布，其中 G 是由 x 轴，y 轴以及直线 y=2x+1 所围成的三角形域，则(X，Y) 的关于 X 的边缘概率密度为( )8 设平面区域 D 是由 x 轴，y 轴以及直线 x+ =1 所围成的三角形域，二维随机变量(X ， Y)在 D 上服从均匀分布，则 fXY (xy)=( )(0y2)二、填空题9 设随机变量(X，Y) 的联合分布函数为 则关于 X 的边缘分布函数为 FX(x)
4、=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 已知二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为分别按下列已知条件，求 ， (1)如果 Px+y=1=04； (2)如果 X 与 Y 不相关；系数 xy=0； (3) 已知事件X=0与Y=1相互独立； (4)设 F(x，y)为(X，Y)分布函数，且 F( )=0411 在集合1，2，3 中取数两次，每次任取一个数，作不放回抽样，以 X 与 Y 分别表示第一次和第二次取到的数，(1)求(X，Y) 联合概率分布； (2)求在 X=2 的条件下关于 Y 的边缘分布律12 已知随机变量 X 的概率分布为(1)求(X，Y)的概率分布； (2)X 与
5、Y 是否相互独立?13 已知随机变量 X 的概率分布为而且 PXY=0=1(1) 求 (X，Y)的联合概率分布；(2) 问 X 与 Y 是否相互独立，为什么?(3)求 PXY14 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个数字中等可能取值，随机变量 Y 在 1X 中等可能地取一整数值(1)求(X，Y) 的概率分布；(2)PX=Y 15 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y) 的联合分布及关于 X 与 Y 的边缘分布中的数值，试求未知参数 ai(i=1，2，3，8)16 一射手进行射击，击中目标的概率为 p(0p1)，射击到击中目标两次为止，以 X 表示首次击中目标进行
6、的射击次数，以 Y 表示总共射击的次数，求 X 和 Y 的联合概率分布及条件概率分布17 设 A，B 是两个事件，且 求(1)(X，Y)的概率分布；(2)Z=X 2+Y2 的概率分布；(3)问 X，Y 是否相互独立18 设某班车起点上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，如果每位乘客在中途下车的概率为 P(0p1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的用 Y 表示在中途下车的人数，求(1)在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 个人下车的概率；(2)(X，Y)的联合概率分布19 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x，y)= 求(X， Y)的联合分布函数20 设随机变量 X 关于
7、随机变量 Y 的条件概率密度为 fXY (xy)= ，而 Y 的概率密度为 fY(y)= ，求(1)(X,Y)的概率密度 f(x，y)(2)关于X 的边缘概率密度 fX(x)(3)Px )；(4)X 与 Y 是否相互独立?21 设 X 在区间(0，1) 上服从均匀分布，在 X=x(0x1)条件下 Y 在(0，x)上服从均匀分布，求(1)X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)及 P(X+Y1)；(2)Y 的概率密度fY(y)考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如图 31 所示，选项
8、(A)、(D) 都是不一定成立的如果 Xa，Yb与Xa，Y b相互独立，则应 P(Xa，Yb)(Xa，Y b)=0 ，不一定与PXa，YbPXa，Yb相等，故(C)不正确综上，应选 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 G(x，y)=PYx，xy=Pxy，Yx=F(y，x)故应选 B【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 V(x，y) 能够作为分布函数，则需满足 0F(x ，y)1，F(+，+)=1， F(一，一)=F(x ，一 )=F(一 ，y)=0，关于 x，y 单调不减且右连续，故F(+，+)=A(B+ )=1，满足此条件的只有(C)【
9、知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 如图 32 所示，F Z(2z)=PZ2z=PX+Y2z，X+Y2z 对应区域为A，由于 X 和 Y 相互独立，且有相同的分布函数 F(z)，从而 p(z) 2=F(z)F(z)=PXzPyz=PXz，Yz ，Xz ，yz 对应区域 B，显然 B A，故 FZ(2z)F(z)2，因此选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件，有 -+f1(x)dx=-+f2(x)dx=1，F 1(+)=F2(+)=1， -+f1(x)+f2(x)dx=-+f1(x)dx+-+f2(x)dx=1，选项(A)
10、不正确；例如令 f1(x)=，故选项(B) 不正确； F 1(+)+F2(+)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 PX=Y=PX=一 1，Y=一 1+Px=1，Y=1=PX=一 1PY=一 1+PX=1PY=1 =【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件，如图 34 所示。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件，如图 3-5 所示，【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 考查由联合分布确定边缘分布的能力由联合分布可以确定边缘分布
11、，反之，一般不能由边缘分布确定联合分布，需要诸如独立等条件使用公式F1(x)=F(x，+)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由题意 +=04 (1)PX+Y=1=P(X=0，Y=1)(X=1，Y=0) =PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=+01=0 4，从而 =03，=01； (2)X 与 Y不相关的充分必要条件是协方差 cov(X，Y)=E(XY) 一 E(X)E(Y)=0 又 E(XY)=0(一 1)01+000 2+01+1(一 1)+1001+1102=+02，同理可求 E(X)E(Y)=02-，从而 03+08=01
12、7，即 =03，=01； (3)已知PY=1，X=0=PY=1PX=0，即 =(a+02)(0 3+)解得 =03，=01 或=02，=02 (4) ，Y1=PI X=0 ，Y=一 1+PX=0，Y=1+P(X=0，Y=0)=0 1+02=04，从而 =01，=03【试题解析】 考查二维离散型随机变量概率分布，在题中所给出的几种比较典型的条件下确定分布中的未知参数，可以利用分布的性质结合题设条件联合求解如果(X ， Y)概率分布为 PX=xi，Y=y i=pij，i,j=1，2 ，则 =1，可得， 的关系式，再利用其他题设条件可得 ， 所满足的另一个关系式【知识模块】 概率论与数理统计11 【
13、正确答案】 (1)(X， Y)可能取的值为(1，1)， (1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)(2，3)，(3，1)，(3，2) ，(3，3) Px=1，y=1=Px=1Py=1x=1= 00=0，同理 PX=2， Y=2=PX=3，Y=3=0PX=1 ，Y=2=PX=1PY=2X=1=， 同理 PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=PX=2，Y=1=PX=3，Y=1=PX=3，Y=2= ，故随机变量 (X，Y)的联合分布律为【试题解析】 考查离散型随机变量分布与条件分布以及利用乘法公式、条件概率计算事件概率的方法先确定(X，Y)可能的取值，再计算取各值的概率得到(X， Y)，进而求得条
14、件分布【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 (1)X 可能取的值为 0，1，2，Y 可能取的值为 0，1，而PX=0，Y=0=PX+Y=0= ，PX=2 ，Y=1=PX+Y=3= ，故可得如下表格形式(2)因为 pij=pip .j(i=1，2，3；j=1，2)，所以 X 与 Y 是相互独立的【试题解析】 考查离散型随机变量的分布与其函数的分布的计算与转化能力关键是找到与(X，Y) 取各值的事件相等的事件【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 (1)由已知条件 PXY=0=1，知 PXY0=0， PXY0=PX=一1，Y=1+PX=1，Y=1=0，从而 PX=一 1，Y=
15、1=PX=1，Y=1=0又 PX=一1=PX=一 1，Y=0+PX= 一 1，Y=1= ，(3)PXY=1 一 PX=Y=1-PX=0，Y=0-pX=1，Y=1=1【试题解析】 本题考查离散型随机变量联合分布和边缘分布的关系和相互转化由已知条件 PXY=0=1 可知 PXY0=0，从而得到联合概率分布【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 (1)X 可能取值为 1，2，3，4，Y 可能取值为 1，2，3，4【试题解析】 考查条件概率和乘法公式先确定(X，Y) 可能取值，再利用乘法公式计算【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 考查判断二维离散型随机变量独立性的
16、概念和方法综合利用独立条件下联合分布与边缘分布的关系，可以避免比较繁琐的计算事实上，如果 X与 Y 相互独立，则表格中任意两行的概率元素是对应成比例的【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 X 可能取的值为 1，2，Y 可能取的值为2，3，PX=m ，Y=n=(1 p)n-2p2，n=2，3，m=1，2，n1PY=nx=m=p(1p)n-m-1，n=m+1，【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (1)设 A 表示事件“ 发车时有 n 个乘客上车”，B 表示“ 中途有 m 个人下车”，则 P(BA)=PY=mX=n 由二项分
17、布，有 P(BA)=C nmpm(1-p)n-m，0mn， n=0，1，2， (2)由乘法公式，有 PX=n，Y=m=P(AB)=P(A)P(BA) 又由于 x 服从参数为 A 的泊松分布，因此 PX=n= ，从而(X，Y)的联合概率分布为 PX=n，Y=m= ，其中0mn，n=0，1，2，【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 如图 3-3，由密度函数的定义，将 xOy 平面分成 5 个部分 分布函数 F(x，y)= -x-yf(u， v)dudv (1)当 x0 或 y0 时，r(x，y)=0 (2)当0x0xudu0y4vdv=x2y2 (3)当 0x1，y1 时，F(x，y)
18、=4 0xudu01vdv=x2 (4)当x1，0y1 时，F(x ，y)= 014udu0yvdv=y2 (5)当 x1，y1 时，F(x，y)=1 【试题解析】 考查由概率密度求取联合分布函数的方法，直接用公式即可【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (1)由题设条件和条件概率密度公式可得(4)因为 f(x，y)f X(x).Y(y) (0xy1)，所以 X 与 Y 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由于 x 在(0，1)上服从均匀分布，所以 X 的概率密度 fX(x)=又 Y 在 X=x 的条件下在(0 ，x)上服从均匀分布，故条件概率密度 【试题解析】 考查条件概率密度计算公式的逆用，即 f(x，y)=f X(x)fTX (yx)=fY(y)fXY (xy) 【知识模块】 概率论与数理统计
