1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 25 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为任意两个不相容的事件且 P(A)0，P(B)0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A 一 B)=P(A)3.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 b 无关，且随 a 的增加而增加B.与 b 无关，且随 a 的增加而减少C.与 a 关，且随 b 的增加而增加D.与 a 无关，且随 b
2、 的增加而减少4.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=P(X 2 +9Y 2 9a 2 )，则( )（分数：2.00）A.p 的值与 a 无关，且 p=B.p 的值与 a 无关，且 p=C.p 的值随 a 值的增大而增大D.p 的值随 a 值的增大而减少5.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aXbY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关C.X，Y 独立D.X，Y 不独立6.设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+
3、Y 服从正态分布B.X 2 +Y 2 服从 2 分布C.X 2 ，Y 2 都服从 2 分布D.X 2 Y 2 服从 F 分布二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设 P(B)=05，P(AB)=03，则 P(A+B)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设事件 A，B，C 两两独立，满足 ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)，且 P(A+B+C)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_10.一工人同时独立制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 XN(0， 2
4、)，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y一 2)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， ，则 1， （分数：2.00）填空项 1:_15.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n1 ，X nm )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量 U= （分数：2.00）填空项 1:_16
5、.设总体 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：26.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.设 X 的密度函数为 F(x)= （分数：2.00）_设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= （分数：6.00）(1).求常数 A，B；（分数：2.00）_(2).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：2.00）_(3).求 P(x （分数：2.00）_设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).Z=2XY 的密度函数（分数：2.00）_设随
6、机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2 +Y 2 求：（分数：4.00）(1).f U ()；（分数：2.00）_(2).PUD(U)UE(U)（分数：2.00）_19.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_20.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_21.设 XU(一 1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性（分数：2.00）_22.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_23.某批木材的直径服从正态分布，从中随机抽取 20 根，测得平均直径为
7、 （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 25 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为任意两个不相容的事件且 P(A)0，P(B)0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A 一 B)=P(A) 解析：解析：因为 A，B 不相容，所以 P(AB)=0，又 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(AB)=P(A)，选(D)3.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （
8、分数：2.00）A.与 b 无关，且随 a 的增加而增加B.与 b 无关，且随 a 的增加而减少C.与 a 关，且随 b 的增加而增加 D.与 a 无关，且随 b 的增加而减少解析：解析：因为 f(x)dx=1，所以 0 Ae x dx=1，解得 A=e a ，由 P(aXab)= a ab f(x)dx= a ab e a e x dx=一 e a e x a ab =1 一 e b ，得 P(aXab)与 a 无关，且随 b 的增加而增加，正确答案为(C)4.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=P(X 2 +9Y 2 9a 2 )，则
9、( )（分数：2.00）A.p 的值与 a 无关，且 p=B.p 的值与 a 无关，且 p= C.p 的值随 a 值的增大而增大D.p 的值随 a 值的增大而减少解析：解析：因为(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)= p=PX 2 +9Y 2 9a 2 = 5.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aXbY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关 C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：D(aX+bY)=a 2 D(X)+
10、b 2 D(Y)+2abCov(X，Y)，D(aX 一 bY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)一2abCov(X，Y)，因为 D(aX+bY)=D(aXbY)，所以 Cov(X，Y)=0，即 X，Y 不相关，选(B)6.设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 服从正态分布B.X 2 +Y 2 服从 2 分布C.X 2 ，Y 2 都服从 2 分布 D.X 2 Y 2 服从 F 分布解析：解析：因为 X，Y 不一定相互独立，所以 X+Y 不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设 P(B)=05，P(A
11、B)=03，则 P(A+B)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：08）解析：解析：因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(A+B)=P(AB)P(B)=088.设事件 A，B，C 两两独立，满足 ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)，且 P(A+B+C)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 P(ABC)=P(A)+P(B)P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)P(ABC)且 ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)，得 3P(A)一 3P 2 (A)= ，因为 A A+BC，所以 P(A)P(A+B
12、C)= 9.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 cc 2 +c+ 10.一工人同时独立制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A k =第 k 个零件不合格(k=1，2，3)， 11.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y一 2)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令X1=A，Y一 2=B，P(A)= ，且 P(AB)= ，则12.设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布
13、，随机变量 Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 随机变量 Y 的可能取值为一 1，0，1， P(Y=一 1)=P(X0)= 1 0 ，P(Y00)=P(X=0)=0， P(Y=1)=P(X0)= ， Y 的分布律为 Y =1， 则 D(Y)=E(Y 2 )一E(Y) 2 = 13.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：D(Y)=4D(X)=36， Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2C
14、ov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3) ， 因为 Cov(X，3)=E(3X)E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18， 于是14.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， ，则 1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ， ）解析：解析：15.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n1 ，X nm )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量 U= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 2 (m)相互独立，所以
15、16.设总体 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：L()= 2 (12) 2 = 4 (12)，lnL()=4ln+ln(12)，令 =0，得参数 的极大似然估计值为 三、解答题(总题数：10，分数：26.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.设 X 的密度函数为 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 k6，当 3k6 时，P(Xk)= k 6 ； 当 1k3 时，P(Xk)= 3 6 ； 当 0k1 时，P(Xk)= )解析：设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= （分数：
16、6.00）(1).求常数 A，B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为连续型随机变量的分布函数是连续的， 所以有 )解析：(2).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= )解析：(3).求 P(x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0x1 时，f X (x)= f(x，y)dy= 0 2x dy=2x 当 x0 或 x1时，f X (x)=0，所以 f X (x)= ， 同理 f
17、Y (y)= )解析：(2).Z=2XY 的密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z2 时 )解析：设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2 +Y 2 求：（分数：4.00）(1).f U ()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= (一x，y+) F U ()=P(U)，当 0 时，F U ()=0； 当 0 时，F U ()=P(U)=P(X 2 +Y 2 )= = ， 所以 f U ()= 即 U
18、 服从参数为 = )解析：(2).PUD(U)UE(U)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(U)=2，D(U)=4， PUD(U)UE(U)=P(U4 U2)= )解析：19.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：XU(01)，YE(1) 因为 X，Y 相互独立，所以 f(x，y)=f X (x)f Y (y)= 于是 F Z (z)=P(Zz)=P(X+Yz)= 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 0z1 时，F Z (z)= f(x，y)dxdy= 0 z dx 0 zx e
19、y dy=ze z 1； 当 z1 时，F Z (z)=f(x，y)dxdy= 0 z dx 0 zx e y dy=e z e 1z 1 所以 F Z (z)= )解析：20.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设试验的次数为 X，则 X 的分布律为 )解析：21.设 XU(一 1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，E(X)=0，E(XY)=E(X 3 )= 1 1 dx=0，因此 Cov(X，Y)=0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法 )解析：22.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.某批木材的直径服从正态分布，从中随机抽取 20 根，测得平均直径为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 H 0 ：=30，H 1 ：30 已知总体 XN(， 2 )， =325，因为 2 未知，所以取统计量 t(n 一 1)， 查表得 t 0025 (19)=2093，则 H 0 的接受域为(一 2093，2093)，而 )解析：
