1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 29 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx9=0 有实根的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（分数：2.00）A.N(0，1)B.nS 2 2 (n)C.t(n
2、1)D.F(1，n1)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.设 P(A)=04，且 P(AB)= （分数：2.00）填空项 1:_6.设一次试验中，出现事件 A 的概率为 p，则 n 次试验中 A 至少发生一次的概率为 1，A 至多发生一次的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设离散型随机变量 X 的分布函数为 F X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.随
3、机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke x (一x+)，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_12.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 XN(1，2)，YN(一 1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 n(X+Y) 2 +bZ 2 2 (n)(ab0)，则 a= 1，b= 2，n= 3（分数：2.00）填空项 1:_14.某产品废品率为 3，采用新技术后对
4、产品重新进行抽样检验，检查是否产品次品率显著降低，取显著性水平为 005，则原假设为 H 0 ： 1，犯第一类错误的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_10 件产品有 3 件次品，7 件正品，每次从中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：（分数：8.00）(1).第三次取得次品；（分数：2.00）_(2).第三次才取得次品；（分数：2.00）_(3).已知前两次没有取到次品，第三次取得次品；（分数：2.00）_(4).不超过三次取到次品（分数：2.00）_16.一批产品有 1
5、0 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放同，求第二次抽取次品的概率（分数：2.00）_设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：4.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：2.00）_(2).求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_17.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：2.00）_设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).X，Y 的边缘密度；（分数：2.00）_(2). （
6、分数：2.00）_18.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_19.一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_20.设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2 ，用切比雪夫不等式估计 PX 一3（分数：2.00）_某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X 表
7、示抽取的 100 个索赔户中被盗索赔户的户数（分数：4.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：2.00）_(2).用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值（分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 P( （分数：2.00）_22.设总体 X 的分布律为 P(X=k)=(1p) k1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 29 答案解析(总分：62.00，做题
8、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx9=0 有实根的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：Xf(x)= ，方程 x 2 2Xx9=0 有实根的充要条件为=4X 2 一 360 X 2 9，P(X 2 9)=1 一 P(X 2 9)=1 一 P(1X3)= 3.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：X，Y 独立，XN(0，1)，
9、YN(1，1)，X+YN(1，2)4.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（分数：2.00）A.N(0，1)B.nS 2 2 (n)C.t(n1)D.F(1，n1) 解析：解析：由 X 1 2 2 (1)， 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.设 P(A)=04，且 P(AB)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06）解析：解析：因为6.设一次试验中，出现事件 A 的概率为 p，则 n 次试验中 A 至少发生一次的概率为 1，A 至多发生一次的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
10、1 一(1 一 P) n ，(1 一 P) n1 1+(n 一 1)p；）解析：解析：令 B=A 至少发生一次，则 P(B)=1C n 0 p 0 (1 一 p) n =1 一(1 一 P) n ， 令 C=A 至多发生一次， 则 P(C)=C n 0 p 0 (1 一 p) n +C n 1 (1 一 p) n1 =(1 一 P) n1 1+(n 一 1)p7.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 e 2 ）解析：解析：X 的分布律为 P(X=k)= e (k=0，1，2，)，由 P(X=0)= 8.设离散
11、型随机变量 X 的分布函数为 F X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F Y (y)= ）解析：解析：X 的分布律为 X ，Y 的可能取值为 1，2，10，P(Y=1)=P(X=0)= ，P(Y=2)=P(X=1)= ，P(Y=10)=P(X=3)= ，于是 Y 的分布函数为 F Y (y)= 9.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由 X，Y 相互独立得 P(X+Y
12、=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0) =10.随机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke x (一x+)，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 f(x)dx=1，所以 ke x dx=2k 0 e x dx=2k=1，解得k= 于是 E(X 2 )= x 2 f(x)dx= 2 0 x 2 e x dx= 11.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XU一 1，3，YB(10，
13、)，ZN(1，3 2 )得 ，D(Z)=9， 于是 D(U)=D(X)+4D(Y)+9D(Z)= 12.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 09）解析：解析：Cov(X，Y)=13.设随机变量 XN(1，2)，YN(一 1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 n(X+Y) 2 +bZ 2 2 (n)(ab0)，则 a= 1，b= 2，n= 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a= ，b= ）解析：解析：由 XN(1，2)，YN(1，2)，ZN(0，
14、9)，得 XYN(0，4)且 N(0，1)，故14.某产品废品率为 3，采用新技术后对产品重新进行抽样检验，检查是否产品次品率显著降低，取显著性水平为 005，则原假设为 H 0 ： 1，犯第一类错误的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：p3）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析：原假设为 H 0 ：p3，犯第一类错误的概率为 5三、解答题(总题数：12，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：10 件产品有 3 件次品，7 件正品，每次从中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：（分数：8.00）(1).第三次取得次品
15、；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(A 3 )= )解析：(2).第三次才取得次品；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).已知前两次没有取到次品，第三次取得次品；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(4).不超过三次取到次品（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(A 1 +A 2 A 3 )=1 ， )解析：16.一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放同，求第二次抽取次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 1 =第一次抽取正品，A 2 =第一次抽取次品，B=第二次抽取次品， 由全概率
16、公式得 P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )= )解析：设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：4.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车)，则 P(BA)=P(Y=mX=n)=C n m p m (1 一 p) nm (0mn) )解析：(2).求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P
17、(X=n，Y=m)=P(AB)=P(BA)P(A)=C n m p m (1 一 p) nm )解析：17.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(Y=1)=06， 所以 P(X=0Y=1)= ， P(X=1Y=1)= )解析：设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).X，Y 的边缘密度；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= f(x，y)dy= )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为
18、01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i 个部件需要调整(i=1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X=0)= =090807=0504， P(X=1)= =0398， P(X=3)=P(A 1 A 2 A 3 )=0006， P(X=2)=1 一 050403980006=0092， 所以 X 的分布律为 X )解析：19.一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求
19、E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X i = (i=1，2，10)，显然 X=X 1 +X 2 +X 10 。因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 09 20 ，从而第 i 个站有人下车的概率为 109 20 ，即 X i 的分布律为 X i (i=1，2，10)， 于是 E(X i )=109 20 (i=1，2，10)，从而有 E(X)= )解析：20.设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2 ，用切比雪夫不等式估计 PX 一3（分数：2.00）_正确答案：
20、(正确答案：PX 一 31 )解析：某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X 表示抽取的 100 个索赔户中被盗索赔户的户数（分数：4.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：XB(100，02)，即 X 的分布律为 P(X=k)=C 100 k 02 k 08 100k (k=01，2，100)解析：(2).用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=20，D(X)=16 P(14X30)= )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体 XN(0，4
21、)的简单随机样本，求 P( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 X 1 ，X 2 ，X 7 与总体服从相同的分布且相互独立，得 X i 2 2 (7)， 于是 ， 查表得 0025 2 (7)=16014，故 P( )解析：22.设总体 X 的分布律为 P(X=k)=(1p) k1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)= ， L(p)=P(X=x 1 )P(X=x n )= ， lnL(p)=( 一 n)ln(1 一 p)+nlnp， 令 =0，得参 p 的极大似然估计量 )解析：
