1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 21及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立C.P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立3.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间
2、断点D.是连续函数4.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X与 Y不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X与 Y相互独立，则 XY 服从正态分布5.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =05，且 P(aX+bY1)=05，则( )（分数：2.00）A.a=12，b=14B.a=14，b=12C.a=14，b=12D.a=12，b=146.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n1)分
3、布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(A|B)=P(A| （分数：2.00）填空项 1:_8.三次独立试验中 A发生的概率不变，若 A至少发生一次的概率为 1927，则一次试验中 A发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X和 Y相互独立，且分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、
4、解答题(总题数：13，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.袋中有 a个黑球和 b个白球，一个一个地取球，求第 k次取到黑球的概率(1ka+b)（分数：2.00）_设一设备在时间长度为 t的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)（分数：4.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔 T的概率分布；（分数：2.00）_(2).求设备在无故障工作 8小时下，再无故障工作 8小时的概率（分数：2.00）_14.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，证明：Y=1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_15.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （
5、分数：2.00）_设 D=(x，y)|0x1，0y1，且变量(X，Y)在区域 D上服从均匀分布，令 Z= （分数：4.00）(1).令 U=X+Z，求 U的分布函数（分数：2.00）_(2).判断 X，Z 是否独立（分数：2.00）_16.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从N(0，1)，Y i =X i （分数：6.00）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：2.00）_(2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：2.00）_(3).P(Y 1 +Y n 0)（
6、分数：2.00）_17.电信公司将 n个人的电话资费单寄给 n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知 E(X k )=a k (k=1，2，3，4)证明：当 n充分大时，随机变量 Z n =1n （分数：2.00）_19.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)令 X i ，求统计量 U= （分数：2.00）_20.设总体 XF(x，)= （分数：2.00）_21
7、.某种食品防腐剂含量 X服从 N(， 2 )分布，从总体中任取 20件产品，测得其防腐剂平均含量为 （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 21答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立 C.P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立解析：解析：由于 A 1 ，
8、A 2 ，A 3 两两独立，所以 3.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=P(minX，2y)=1P(minX，2y) =1P(Xy，2y)=1P(Xy)P(2y) 当 y2 时，F Y (y)=1；当 y2 时，F Y (y)=1P(Xy)=P(Xy)=F X (y)， 而 F X (x)= 所以当 0y2 时，F Y (y)=1e y ； 当 y0 时，F Y (y)=0，即 4.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则
9、( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X与 Y不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X与 Y相互独立，则 XY 服从正态分布 解析：解析：若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D)5.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =05，且 P(aX+bY1)=05，则( )（分数：2.00）A.a=12，b=14B.a=14，b=12C.a=14，b=12D.a=12，b=14 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY服从正态
10、分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2 +4b 2 +2abCov(X，Y)=a 2 +4b 2 2ab， 即 aX+bYN(a+2b，a 2 +4b 2 2ab)， 由 P(aX+bY1)=05 得 a+2b=1，所以选(D)6.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(A|B)=P(A| （分数：2.00）填空项 1:_ （
11、正确答案：正确答案：02）解析：解析：因为 P(A|B)=P(A| )，所以 A，B 相互独立，从而 A， 相互独立，故 P(A8.三次独立试验中 A发生的概率不变，若 A至少发生一次的概率为 1927，则一次试验中 A发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：13）解析：解析：设一次试验中 A发生的概率为 p，B=三次试验中 A至少发生一次， 则 P(B)=1927，又P(B)=1P( 9.设随机变量 X的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0
12、时，F Y (y)=0； 当 y0 时，F Y (y)=P(X 2 y)=P( ) 10.设随机变量 X和 Y相互独立，且分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U (u)=0； 当 0u1 时，F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu) =P(X=0)P(Yu) 当 1u2 时，F U (u)=P(X=0，Yu)+P(X=1，Yu1) 当 u2 时，F U (u)=1所以 F U (u) 11.设 X的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
13、案：正确答案：06）解析：解析：随机变量 X的分布律为 三、解答题(总题数：13，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.袋中有 a个黑球和 b个白球，一个一个地取球，求第 k次取到黑球的概率(1ka+b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 基本事件数 n=(a+b)!，设 A k =第 k次取到黑球，则有利样本点数为a(a+b1)!， 所以 方法二 把所有的球看成不同对象，取 k次的基本事件数为 n=A a+b k ，第 k次取到黑球所包含的事 件数为 aA a+b1 k1 ，则 P(A k ) )解析：设一设备在时间长度为 t的时间
14、内发生故障的次数 N(t)P(t)（分数：4.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔 T的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)， 当 t0 时，F(t)=0； 当 t0 时，F(t)=P(Tt)=1P(Tt)=1P(N=0)=1e t ， 所以 F(t)= )解析：(2).求设备在无故障工作 8小时下，再无故障工作 8小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求概率为 p=P(T16|T8) )解析：14.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，证明：Y=1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_正确答
15、案：(正确答案：因为 X服从参数为 2的指数分布，所以其分布函数为 F X (x) Y的分布函数为 F Y (y)=P(Yy)=P(1e 2X y)， 当 y0 时，F Y (y)=P(X0)=0； 当 y1 时，F Y (y)=P(X+)=1； 当 0y1 时，F Y (y)=P(1e 2X y)=P(X12ln(1y)1 =F X 12ln(1y)=y 即 F Y (y) )解析：15.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 +X 3 )+k 3 Y 1 =0，整理得 (k 1 +Yk 3 ) 1 +(k
16、1 +k 2 ) 2 +Xk 2 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以有 又 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即 )解析：设 D=(x，y)|0x1，0y1，且变量(X，Y)在区域 D上服从均匀分布，令 Z= （分数：4.00）(1).令 U=X+Z，求 U的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y) U的分布函数为 F(x)=P(Ux)， 当 x0 时，F(x)=0； 当 x2 时，F(x)=1； 当 0x1 时，F(x)=P(X+Zx)=P(Z=0，Xx) =P(XY，Xx
17、)= 0 x dx x 1 dy= 0 x (1x)dx=x 当 1x2 时，F(x)=P(Z=0，Xx)+P(Z=1，Xx1) =P(XY，X1)+P(XY，Xx1) 故 U的分布函数为 F(x) )解析：(2).判断 X，Z 是否独立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设(X，Z)的分布函数为 F(x，z)， F(12，0)=PX12，Z0)=PX12，Z=0 =PX12，XY= 0 12 dx x 1 dy= 0 12 (1x)dx=38； F X (12)=PX12=12，F Z (0)=PZ0)=PZ=0)=PXY)=12， 因为 F(12，0)F X (12)F Z (0)，
18、所以 X，Z 不相互独立)解析：16.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)P(XY)=14，P(X2Y)=12，P(YX2Y)=14， (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=1)=P(XY，X2Y)=0； P(U=1，V=0)=P(XY，X2Y)=P(YX2Y)=14； P(U=0，V=0)=P(XY，X2Y)=P(XY)=14； P(U=1，V=1) (U，V)的联合分布律为 (2)由(1)得 E(U)=34，D(U)=316，E(V)=12，D(V)=1
19、4，E(UV)=12， Cov(U，V)E(UV)E(U)E(V)=18 )解析：设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从N(0，1)，Y i =X i （分数：6.00）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D(Y i )=Cov(Y i ，Y i )=D(X i )+D( )2Cov(X i ， ) )解析：(2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(Y 1 ，Y n )=Cov(X 1 )解析：(3).P(Y 1 +Y n 0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 1 +Y
20、n =X 1 +X n 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1 +Y n 服从正态分布， E(Y 1 +Y n )=0 )解析：17.电信公司将 n个人的电话资费单寄给 n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i个人收到自己的电话资费单)，i=1，2，n，X i i=1，2，n，则 X=X 1 +X 2 +X n P(X i =0)=(n1)n，P(X i =1)=1n E(X i )=E(X i 2 )=1n，D(X i )=(n1
21、)n 2 (i=1，2，n) E(X)= E(X i )=1； 当 ij 时，P(X i =1，X j =1)=P(A i A j )=P(A i )P(A j |A i )= Cov(X i ，X j )=E(X i X j )E(X i )E(X j ) )解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知 E(X k )=a k (k=1，2，3，4)证明：当 n充分大时，随机变量 Z n =1n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以 X 1 2 ，X 2 2 ，X n 2 也独立同分布且 E(X i 2
22、 )= 2 ，D(X i 2 )= 4 2 2 ，当 n充分大时，由中心极限定理得 )解析：19.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)令 X i ，求统计量 U= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Y i =X i +X n+i (i=1，2，n)，则 Y 1 ，Y 2 ，?，Y n 为正态总体N(2，2 2 )的简单随机样本， =(n1)S 2 ， 其中 S 2 为样本 Y 1 ，Y 2 ，Y n 的方差，而 E(S 2 )=2 2 ，所以统计量 U= )解析：20.设总体 XF(x，)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X 为离散型随机变量，其分布律为 E(X)=33 (2)L(1，1，3，2，1，23，3；)=P(X=1)P(X=1)P(X=3)= 3 2 (12) 3 ， lnL()=5ln+3ln(12)，令 得 的最大似然估计值为 )解析：21.某种食品防腐剂含量 X服从 N(， 2 )分布，从总体中任取 20件产品，测得其防腐剂平均含量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 H 0 ：10，H 1 ：10选统计量 查表得临界点为 t (n1)=t 005 (19)=17291，而 )解析：
