1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 20 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.A+B 与B.A+B 与 C 不相容C.A+B 与D.A+B 与3.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.X+YB.XYC.maxX，YD.minX，Y4.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n
2、，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n )= B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关5.在假设检验中，显著性水平 的含义是( )（分数：2.00）A.原假设 H 0 成立，经过检验 H 0 被拒绝的概率B
3、.原假设 H 0 成立，经过检验 H 0 被接受的概率C.原假设 H 0 不成立，经过检验 H 0 被拒绝的概率D.原假设 H 0 不成立，经过检验 H 0 被接受的概率二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 A，B 是两个随机事件，P(A|B)=04，P(B|A)=04，P( （分数：2.00）填空项 1:_7.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设每次试验成功的概率为 p=34，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:
4、_9.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=minX，Y，则 P(0Z1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自两个总体的简单样本，S 1 2 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排
5、列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_14.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)1（分数：2.00）_设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表（分数：4.00）(1).求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；（分数：2.00）_(2).设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_15.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_16.设随机变量 XN(， 2 )，YU，且
6、X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)（分数：4.00）(1).求 X，Y 的联合密度函数；（分数：2.00）_(2).求 Y 的边缘密度函数（分数：2.00）_17.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为12，又设 Z= （分数：6.00）(1).求 E(Z)，D
7、(Z)；（分数：2.00）_(2).求 XZ ；（分数：2.00）_(3).X，Z 是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_18.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_19.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413，(2)=09772)（分数：2.00）_20.设总体 X
8、 服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 Y=1n （分数：2.00）_21.设总体 X 的概率分布为 （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 20 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.A+B 与 B.A+B 与 C 不相容C.A+B 与D.A+B 与解析：解析：因为事件 A，C 独立，B，
9、C 也独立，且 A，B 不相容， 所以 P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，且 AB= 而 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)， 所以 P(A+B) =P(A)+P(B)P()=P(A+B)P( )，即 A+B 与3.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.X+YB.XYC.maxX，YD.minX，Y 解析：解析：由于 XE()，所以密度函数为 f(x) E(X)=1，D(X)=1 2 ，因为 E(X+Y)=2，E(XY)=0，而 maxX，Y的分
10、布函数是 F 2 (x) 所以(A)，(B)，(C)项都不对，选(D) 事实上，rainX，Y的分布函数为 P(minX，Yx)=1P(rainX，Yx)1P(Xx，Yx) =1P(Xx)P(Yx)=11F(x) 2 4.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n )= B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2
11、 )，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关 解析：解析：若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则(B)，(C)是正确的，若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则(A)是正确的，选(D)5.在假设检验中，显著性水平 的含义是( )（分数：2.00）A.原假设 H 0 成立，经过检验 H 0 被拒绝的概率 B.原假设 H 0 成立，经过检验 H 0 被接受的概率C.原假设 H 0 不成立，经过检验 H 0 被拒绝的概率D.原假设 H 0 不成立，经过检验 H 0 被接受的概率解析：二、填
12、空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 A，B 是两个随机事件，P(A|B)=04，P(B|A)=04，P( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：815）解析：解析： 因为 P(A|B)=04，P(B|A)=04，所以 P(A)=P(B)且 P(AB)=04P(A)， 解得P(A)=P(B)=13，P(AB)=215， 于是 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=7.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23）解析：解析：令 A i
13、 =所取产品为 i 等品)(i=1，2，3)，P(A 1 )=06，P(A 2 )=03，P(A 3 )=01，所求概率为 P(A 1 |A 1 +A 2 ) 8.设每次试验成功的概率为 p=34，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：15）解析：解析：由 PX=k=(1p) k1 p(k=1，2，)(其中 p=34)，得 9.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=minX，Y，则 P(0Z1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：34）解析：解析：由 X，Y 在(0，2
14、)上服从均匀分布得 10.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：37125）解析：解析：E(X)= 0 1 xf(x)dx= 0 1 6x 2 (1x)dx=2 =12， E(X 2 )= 0 1 x 2 f(x)dx= 0 1 6x 3 (1x)dx= =310， 则 D(X)= =120，于是 P|XE(X)|2D(X)=P|X 11.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自两个总体的简单样本，S 1 2 = （分数：2.00）填空项 1
15、:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =第 i 本书正好在第 i 个位置， B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同)，则 B=A 1 +A 2 +A 3 ，且 P(A i )=2!3!=13(i=1，2，3)，P(A i A j )=1!3!=16(i，j=1，2，3，ij)，P(A 1 A 2 A 3 )=1!3!=
16、16， 故 P(B)=P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )P(A 1 A 2 )P(A 1 A 3 )P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 )=23)解析：14.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 AB )解析：设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表（分数：4.00）(1).求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；（分数：2.00）_正确答案：
17、(正确答案：设 A i =所抽取的报名表为第 i 个地区的)(i=1，2，3)， B j =第 j 次取的报名表为男生报名表)(j=1，2)，则 P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )=13 )解析：(2).设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(e X y)， 当 y1 时，X0，F Y (y)=0； 当 y1 时，X0，F Y (y)=P(e X y)=P(Xlny)=
18、lny f X (x)dx= 0 lny e x dx， f Y (y)=1y 2 ，所以f Y (y) )解析：16.设随机变量 XN(， 2 )，YU，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XN(， 2 )，YU，所以 X，Y 的密度函数为 又X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 f(x，y)=f X (x)f Y (y) F Z (z)=P(Zz)=P(X+Yz)= f(x，y)dxdy )解析：设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)（分数：4.00）(1).求 X，Y 的联合密度函
19、数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XU(0，1)，所以 f X (x) 又在 X=x(0x1)下，YU(0，x)，所以f Y|X (y|x) f(x，y)=f X (x)f Y|X (y|x) )解析：(2).求 Y 的边缘密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f Y (y)= + f(x，y)dx，当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0； 当 0y1 时，f Y (y)= y 1 1xdx=ln1y，故 f Y (y) )解析：17.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次
20、数的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用随机变量分解法 设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令 X i 则 X=X 2 +X 3 +X 11 ，E(X)= E(X i ) P(X i =0) P(X i =1)=1(910) 20 ， 因为 E(X i )1(910) 20 ，所以 E(X)= )解析：设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为12，又设 Z= （分数：6.00）(1).求 E(Z)，D(Z)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(Z)=13E(X)+ E(Y)=13， )解析：(
21、2).求 XZ ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(X，Z)=13D(x)+ Cov(X，Y)=3+ (112)12=0 )解析：(3).X，Z 是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X 也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立)解析：18.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)=P(Uu)=P(maxX 1 ，X
22、2 ，X n u) =P(X 1 u，X 2 u，X n u) E(U)= + uf U (u)du E(U 2 )= + u 2 f U (u)du )解析：19.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413，(2)=09772)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设第 i 只电阻使用寿命为 X i ， 则 X i E(001)，E(X i )=100，D(X i )=100 2 (i=1，
23、2，36) P(X4200)=1P(X4200) )解析：20.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 Y=1n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(Y)=1n EX i |=E|X|，D(Y)=1n 2 D|X i |=1nD|X|， 而 E|X| )解析：21.设总体 X 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0 2 +12(1)+2 2 +3(12)=34， =18(3+1+3+0+3+1+2+3)=2，令 E(X)= 得参数 的矩估计值为 =14 L()= 2 2(1) 2 2 (12) 4 =4 6 (1) 2 (12) 4 ， lnL()=ln4+6ln+2ln(1)+4ln(12)， 得参数 的最大似然估计值为 )解析：
