1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 30 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.对任意两个事件 A 和 B，若 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.AB=B.C.P(A)P(B)=0D.P(AB)=P(A)3.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f
2、 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)+F 2 (x)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为某一随机变量的分布函数4.设 X，Y 相互独立且都服从分布 N(0，4)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X 一 ) 2 B.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 C.E(XC) 2 =E(X 2 )一 C 2D.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 6.设 Xt(2)，则 （分数：2.00）A. 2 (2)B.F(1，2)
3、C.F(2，1)D. 2 (4)7.在假设检验中，H 0 为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是( )（分数：2.00）A.H 0 为假，接受 H 0B.H 0 为真，拒绝 H 0C.H 0 为假，拒绝 H 0D.H 0 为真，接受 H 0二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设 A，B 为两个随机事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0= 1（分数：2.00）填空项
4、 1:_11.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=Xa，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.甲乙丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为 3，5，8，求任取一件产品
5、是次品的概率（分数：2.00）_16.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_设 Xf(x)= （分数：4.00）(1).求 F(x)；（分数：2.00）_(2).求 P(一 2X （分数：2.00）_袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律： （分数：4.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：2.00）_(2).第一次抽取后不放回（分数
6、：2.00）_设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；（分数：2.00）_(3).求 f XY (xy)（分数：2.00）_17.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布（分数：2.00）_18.设随机变量 X 服从参数为 （分数：2.00）_19.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_20.设
7、X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，令 ，问 n 多大时才能使 （分数：2.00）_21.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率（分数：2.00）_22.设总体 X 的密度函数为 f(x，)= （分数：2.00）_设总体 X 的概率密度为 f(x)= （分数：4.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：2.00）_(2).该估计量是否是无偏估计量?说明理由（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 30 答案解析(总分：60.00，
8、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.对任意两个事件 A 和 B，若 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.AB=B.C.P(A)P(B)=0D.P(AB)=P(A) 解析：解析：选(D)，因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)3.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.
9、f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)+F 2 (x)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为某一随机变量的分布函数 解析：解析：可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 f(x)dx=1，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数 F(x)为分布函数必须满足：(1)0F(x)1； (2)F(x)单调不减； (3)F(x)右连续； (4)F(一)=0，F()=1，显然选择(D)4.设 X，Y 相互独立且都服从分布 N(0，4)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解
10、析：因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，所以 XYN(0，8)，从而 P(X+Y0)= ，P(XY0)= ，故(C)、(D)都不对； Pmax(X，Y)0=1Pmax(X，Y)0=1 一P(X0，Y0)=1P(X0)P(Y0)， 因为 XN(0，4)，YN(0，4)，所以 P(X0)=P(Y0)= ，从而有 Pmax(X，Y)0= ，(A)不对； Pmin(X，Y)0=P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)=5.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X 一 ) 2 B.E(XC) 2 E(X 一 )
11、 2 C.E(XC) 2 =E(X 2 )一 C 2D.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 解析：解析：E(XC) 2 E(X 一 ) 2 =E(X 2 )一 2CE(X)+C 2 一E(X 2 )一 2E(X)+ 2 =C 2 +2E(X)E(X)一 C一E(X) 2 =CE(X) 2 0，选(B)6.设 Xt(2)，则 （分数：2.00）A. 2 (2)B.F(1，2)C.F(2，1) D. 2 (4)解析：解析：因为 Xt(2)，所以存在 UN(0，1)，V 2 (2)，且 U，V 相互独立，使得 X= ，因为 V 2 (2)，U 2 2 (1)且 ，U 2 相互独立，所以 7.在假设检
12、验中，H 0 为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是( )（分数：2.00）A.H 0 为假，接受 H 0B.H 0 为真，拒绝 H 0 C.H 0 为假，拒绝 H 0D.H 0 为真，接受 H 0解析：解析：选(B)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设 A，B 为两个随机事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：9.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由随机变量 X 服从参数为 的指数分布，得 ，于是 E(X 2
13、)=D(X)+E(X) 2 = ，而 E(X 一 1)(X+2)=E(X 2 )+E(X)一 2= 10.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1 一 p) n 一(1 一 p) 2n）解析：解析：令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)一 P(X=0，Y=0)=2(1 一 p) n 一(1 一 p) 2n 11.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为
14、05，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：39）解析：解析：XB(12，05)，E(X)=6，D(X)=3，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =3+36=3912.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=Xa，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(XY)=EXX 一 a= 0 1 xx 一 af(x)dx= 0 1 xxadx= 13.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
15、答案：正确答案：Y= ）解析：解析：因为 X i N(0，3 2 )(i=1，2，9)，所以 N(0，1)(i=1，2，9)且相互独立 故 Y= 三、解答题(总题数：13，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.甲乙丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为 3，5，8，求任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 1 =抽取到甲厂产品，A 2 =抽取到乙厂产品，A 3 =抽取到丙厂产品，B=抽取到次品，P(A 1 )=06，P(A 2 )=025，P(A 3 )=015， P(BA 1 )=003，P
16、(BA 2 )=005，P(BA 3 )=008， 由全概率公式得 P(B)= )解析：16.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X i = (i=1，2，3)，则 X 的可能取值为 0，1，2，3 P(X=0)=P(X 1 =1)= ， P(X=1)=P(X 1 =0，X 2 =1)= ， P(X=2)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =1)= ， P(X=3)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =0)= ， 所
17、以 X 的分布律为 X )解析：设 Xf(x)= （分数：4.00）(1).求 F(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=PXx= x f(t)dt 当 x一 1 时，F(x)=0； 当一 1x0 时，F(x)= 1 x (1t)dt= ； 当 0x1 时，F(x)= 1 0 (1+t)dt+ 0 x (1 一 t)dt= ； 当 x1 时，F(x)=1 )解析：(2).求 P(一 2X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(
18、X，Y)的联合分布律： （分数：4.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的可能取值为(00)，(1，0)，(01)，(1，1) )解析：(2).第一次抽取后不放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 dx f(x，y)dy=a 0 xdx x e y dy=a 0 xe x dx=1，得 a=1)解析：(2).求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f
19、X (x)=0； 当 x0 时，f X (X)= f(x，y)dy= x xe y dy=xe x 于是 f X (x)= 当 y0 时，f Y (y)=0；当 y0 时，f Y (y)= f(x，y)dx= 0 y xe y dx= y 2 e y 于是 f Y (y)= )解析：(3).求 f XY (xy)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f XY (xy)= )解析：17.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布（分数：2.00
20、）_正确答案：(正确答案：因为 XE()，所以 E(X)= =5，从而 = ，根据题意有Y=minX，2 当 y0 时F(y)=0；当 y2 时，F(y)=1； 当 0y2 时，F(y)=P(Yy)=P(minX，2y)=P(Xy)=1 一 ， 故 Y 服从的分布为 F(y)= )解析：18.设随机变量 X 服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 YB(4，p)，其中 P=P(X3)=1 一 P(X3)， 因为 X )解析：19.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两
21、点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=XY，X，Y 的边缘密度为 因为 X，Y 独立，所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 于是 E(U)=EXY= dx xyf(x，y)dy= E(U 2 )=EXY 2 = dx xy 2 f(x，y)dy= ， 则 D(U)=E(U 2 )一E(U) 2 = )解析：20.设 X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，令 ，问 n 多大时才能使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 由切比雪夫不等式得 )解析：21.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来
22、自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，总体均值为 E(X)=， 则 )解析：22.设总体 X 的密度函数为 f(x，)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 E(X)=0， E(X 2 )= x 2 f(x，)dx= =2 2 ， 由 E(X 2 )=A 2 = ，得 的矩估计量为 ， L(x 1 ，x 2 ，x n ，)= ， 则 lnL(x 1 ，x 2 ，x n ，)=nln(2)一 x i ， 由 lnL(x 1 ，x 2 ，x n ，)= x i =0，得 的最大似然估计值为 x i ，则参数 的最大似然估计量为 )解析：设总体 X 的概率密度为 f(x)= （分数：4.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本值，似然函数为 L()= ，当 x i 0(i=1，2，n)时，lnL()=一 nln =0，得 的最大似然估计值为 ，因此 的最大似然估计量为 )解析：(2).该估计量是否是无偏估计量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 E(X i )=E(X)，而 E(X)=，所以 )解析：
