1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 22 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容3.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A
2、.F(a)=1 0 a f(x)dxB.F(a)= C.F(a)=F(a)D.F(a)=2F(a)14.若(X，Y)服从二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立； 若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立； X和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n)B.1X 2 F(1，n)C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n1)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 P(A)=06，P(A )=02，P( B)=03，则
3、 P(A+ （分数：2.00）填空项 1:_7.设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 f Y (y)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船
4、的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_13.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_设随机变量 X 满足|X|1，且 P(x=1)=18，P(X1)=14，在1X1发生的情况下，X 在(1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比（分数：4.00）(1).求 X 的分布函数；（分数：2.00）_(2).求 P(X0)（分数：2.00）_1
5、4.设 （分数：2.00）_15.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 P(maxX，Y0)及 P(minX，Y0)（分数：2.00）_n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：4.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：2.00）_(2).试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_16.设一部机器一天内发生故障的概率为 15，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求
6、一周内利润的期望值（分数：2.00）_17.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095?（分数：2.00）_18.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X mn )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_19.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本， X i ，S 2 = （分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN
7、(0，1)的简单随机样本，记 Y i =X i （分数：4.00）(1).D(Y i )；（分数：2.00）_(2).Cov(Y 1 ，Y n )（分数：2.00）_20.设总体 XN(， 1 2 )，YN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 ，样本方差为 S 1 2 ，S 2 2 记 a= ，求统计量 U=a （分数：2.00）_21.设总体 XU0，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量（分数：2.00）_22.某生产线生产白糖，设白糖重量 XN(，15 2 )，现从生产线上任取 10 袋，s=3023，在显著性水平 =005 下，问机
8、器生产是否正常?（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 22 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容 解析：解析：P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(
9、B)，即 A，B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)=1，则 P(3.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a)=1 0 a f(x)dxB.F(a)= C.F(a)=F(a)D.F(a)=2F(a)1解析：解析：F(a)= a f(x)dx a + rf(t)dt= a + f(t)dt=1 a f(t)dt =1( a f(t)dt+ a a f(t)dt)=1F(a)2 0 a f(t)dt 则 F(a)= 4.若(X，Y)服从二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立； 若 XY
10、 =0，则 X，Y 一定相互独立； X和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选(B)5.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n) B.1X 2 F(1，n)C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n1)解析：解析：由 Xt(n)，得 X= ，其中 UN(0，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，于是 X 2 = 二
11、、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 P(A)=06，P(A )=02，P( B)=03，则 P(A+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14）解析：解析：由 P(A )=P(AB)=P(A)P(AB)=02 及 P(A)=06 得 P(AB)=04， 再由 P( B)=P(BA)=P(B)P(AB)=03 得 P(B)=07，7.设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：15）解析：解析：令 A=第一件产品合格，B=第二件产品合格，则所求概率
12、为8.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(X5|Y3)9.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：因为 f(x)10.设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 f Y (y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：25）解析：解析：E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)=125， 则 E(XY)=0，D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y)=275，所以 P(|XY|3)=P
13、(|(XY)E(XY)|3)1三、解答题(总题数：15，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)， 则两船不需要等待的充分必要条件是 令 D=(x，y)|0x24，0y24， 则 D 1 =(x，y)|yx1，xy2，(x，y)D， 则两船不需要等待的概率为 )解析：13.有甲、乙两个口袋，两
14、袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=从甲袋中取出黑球，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i=B i (i=0，1，2，3)，则 P(X=0)=P(B 0 )=P(A)P(B 0 |A)+P( P(X=1)=P(B 1 )=P(A)P(B 1 |A)+P( P(X=2)=P(B 2 )=P(A)P(B 2 |A)+P( P(X=3)=P(B 3 )=P(A)P(B 3 |A)+P( 所以 X 的分布律为 )解析：设随机变量 X 满足|X|1
15、，且 P(x=1)=18，P(X1)=14，在1X1发生的情况下，X 在(1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比（分数：4.00）(1).求 X 的分布函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，F(x)=0； 当 x=1 时，F(1)=18； 因为 P(1X1)=1=58，所以在1X1(1x1)发生下， P(1Xx|1X1)= ，于是 当1x1 时， P(1Xx)=P(1Xx，1x1) =P(1X1)P(1Xx|1x1)F(x)=P(Xx)=P(X1)+P(1Xx) 当 x1 时，F(x)=1， )解析：(2).求 P(X0)（分数：2.00）_正确答案：(正
16、确答案：P(X0)=F(0)=716)解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA| =(1)(2)(Y)=0 得矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =Y 若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化； 当 Y=1 时， =1 为二重特征值， 因为r(EA)=2，所以 A 不可对角化； 当 Y=2 时， )解析：15.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 P(maxX，Y0)及 P(minX，Y0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(maxX，Y0)=1P(maxX，Y=0)=1P(X=0，Y=0) =1P(X=0)P(Y=0
17、)=1e 1 e 2 =1e 3 。 P(minX，Y0)=1P(rainX，Y=0)， 令 A=X=0，B=Y=0，则(minX，Y=0)=A+B， 于是 P(minX，Y=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) =e 1 +e 2 e 1 e 2 =e 1 +e 2 e 3 ， 故 P(minX，Y0)=1e 1 e 2 +e 3 )解析：n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：4.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值
18、为 1，2，n 且 P(X=k)=1n，k=1，2，n 注意：设第 3 次才能打开门，则 )解析：(2).试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Y 为开门次数，Y 的可能取值为 1，2，n， 且 P(Y=k)=(1 ) k1 1n，k=1，2， )解析：16.设一部机器一天内发生故障的概率为 15，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 X
19、B(5，15)， 以 Y 表示获利，则 )解析：17.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 X 表示需要使用外线的分机数，则 X i = E(X)=300006=18，D(X)=30000564=1692 设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得 解得 )解析：18.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X mn )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计
20、量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 U= X i N(0，m)，V= X i N(0，n)，且 U，V 相互独立， )解析：19.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本， X i ，S 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，记 Y i =X i （分数：4.00）(1).D(Y i )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Y i )解析：(2).Cov(Y 1 ，Y n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为
21、 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立， 所以 Cov(Y 1 ，Y n ) )解析：20.设总体 XN(， 1 2 )，YN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 ，样本方差为 S 1 2 ，S 2 2 记 a= ，求统计量 U=a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，S 1 2 ，S 2 2 相互独立，可知 a，b 与 相互独立，显然a+b=1 E( )解析：21.设总体 XU0，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X 的密度函数和分布函数分别为 设 x 1 ，x 2
22、，x n 为总体 X 的样本观察值，似然函数为 L() (i=1，2，n) 当 0x i (i=1，2，n)时，L()=1 n 0 且当 越小时 L()越大，所以 的最大似然估计值为 =max(x 1 ，x 2 ，x n ， 的最大似然估计量为 =maxX 1 ，X 2 ，X n 因为 =maxX 1 ，X 2 ，X n 的分布函数为 (x)=P(maxX 1 ，X n x)=P(X 1 x)P(X n x)=F n (x) )解析：22.某生产线生产白糖，设白糖重量 XN(，15 2 )，现从生产线上任取 10 袋，s=3023，在显著性水平 =005 下，问机器生产是否正常?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 H 0 ： 2 15 2 ，H 1 ： 2 15 2 因为 2 已知，所以取统计量 2 (n1)， 005 2 (9)=16919，因为 )解析：
