1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 24 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 0P(C)1，且 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.P(A+B|B.P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)C.P(A+B)=P(A|C)+P(B|C)D.P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|A)3.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 BC
2、相互独立B.AB 与 A+C 相互独立C.AB 与 AC 相互独立D.A+B 与 A+C 相互独立4.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(x)C.1F(x)D.F(2x1)5.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=minX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=minF X (z)，F Y (z)C.F Z (z)=11F X (z)1F Y (z)D.F Z (z)=F Y
3、 (z)6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，12)，YN(1，12)，则与 Z=YX 同分布的随机变量是( )（分数：2.00）A.XYB.X+YC.X2YD.Y2X7.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.0C.12D.1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 14，则 P(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设每次试验
4、成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 P( （分数：2.00）填空项 1:_12.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 XN(， 2 )，其中 2 已知， 为未知参数从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且 的置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0588，则 2 =
5、 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_16.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 X i (i=1，2，3，4)，求 X= （分数：2.00）_设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)=13，i=1，2，3设随机变量 U=maxX，Y，V=minX，Y（分数：8.00）(1).求二维随机变量(U，V)的联合分布；（分数：2.00）_(2).求 Z=U
6、V 的分布；（分数：2.00）_(3).判断 U，V 是否相互独立?（分数：2.00）_(4).求 P(U=V)（分数：2.00）_17.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 Y 1 =16(X 1 +X 6 )，Y 2 =13(X 7 +X 8 +X 9
7、)，S 2 =12 (X i Y 2 ) 2 ，Z= （分数：2.00）_19.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_20.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明：S 2 = （分数：2.00）_设 100 件产品中有 10 件不合格，现从中任取 5 件进行检验，如果其中没有不合格产品，则这批产品被接受，否则被拒绝求：（分数：4.00）(1).在任取 5 件产品中不合格
8、产品件数 X 的数学期望和方差；（分数：2.00）_(2).这批产品被拒绝的概率（分数：2.00）_21.某种元件使用寿命 XN(，10 2 )按照客户要求该元件使用寿命不能低于 1000h，现从该批产品中随机抽取 25 件，其平均使用寿命为 （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 24 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 0P(C)1，且 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.P(
9、A+B|B.P(AC+BC)=P(AC)+P(BC) C.P(A+B)=P(A|C)+P(B|C)D.P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|A)解析：解析：由 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，因为 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)，所以 P(AB|C)=0，从而 P(ABC)=0， 故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选(B)3.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 BC 相互独立 B.AB 与 A+C 相互独立C.AB 与 AC
10、相互独立D.A+B 与 A+C 相互独立解析：解析：在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)4.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(x)C.1F(x)D.F(2x1) 解析：解析：函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是： (1)0(x)1；(2)(x)单调不减； (3)(x)右连续；(4)()=0，(+)=1 显然只有 F(2x1)满足条件，选(D)5.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y
11、)，则 Z=minX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=minF X (z)，F Y (z)C.F Z (z)=11F X (z)1F Y (z) D.F Z (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=P(minX，Yz)=1P(minX，Yz) =1P(Xz，Yz)=1P(Xz)P(Yz) =11P(Xz)1P(Yz)=11F X (z)1F Y (z)，选(C)6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，12)，YN(1，12)，则与 Z=YX 同分布的随机变量是( )（分数：2.00）
12、A.XYB.X+Y C.X2YD.Y2X解析：解析：Z=YXN(1，1)，因为 XYN(1，1)，X+YN(1，1)，X2YN(2，52)，Y2XN(1，52)，所以选(B)7.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1 B.0C.12D.1解析：解析：设正面出现的概率为 P，则 XB(n，p)，Y=nXB(n，1p)， E(X)=np，D(X)=np(1P)，E(Y)=n(1p)，D(Y)=np(1p)， Cov(X，Y)=Cov(X，nX)=Cov(X，n)=Cov(X，X)， 因为 Cov(X，n)=E(nX)E(n
13、)E(X)=nE(X)nE(X)=0， Cov(X，X)=D(X)=np(1p)，所以 XY = 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 14，则 P(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：根据题意得 P(A B)=14， 因为 P(A )=P(A)P(AB)，P( 9.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：046587）解析：解析：P(X+2Y4) =P(Y=1)P(X42Y|Y=1)+P(Y=
14、2)P(X42Y|Y=2)+P(Y=3)P(X42Y|Y=3)10.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：X 的分布律为 P(X=k)=0208 k1 ，k=1，2， 11.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 P( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：08413）解析：解析：12.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上
15、述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18X 1 2 2 (1)，14(Y 1 2 +Y 2 2 ) 2 (2)， 13.设 XN(， 2 )，其中 2 已知， 为未知参数从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且 的置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0588，则 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：036）解析：解析：在 2 已知的情况下， 的置信区间为( )，其中 z 2 =196于是有 三、解答题(总题数：10，分数：26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解
16、析：15.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 =甲数为 5，A 2 =甲数为 10，A 3 =甲数为 15，B=甲数大于乙数， P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )=13，P(B|A 1 )=414，P(B|A 2 )=914，P(B|A 3 )=1， 则 P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )+P(A 3 )P(B|A 3 )=914)解析：16.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 X i (i=1，2，3，
17、4)，求 X= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =X 1 X 4 X 2 X 3 ，令 U=X 1 X 4 ，V=X 2 X 3 ，且 U，V 独立同分布 P(U=1)=P(X 1 =1，X 4 =1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为1，0，1 P(X=1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=01344， P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=016084=01344， P(X=0)=1201344=07312，于是 )解析：设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)=13，i=1，2，3设随机变量 U=ma
18、xX，Y，V=minX，Y（分数：8.00）(1).求二维随机变量(U，V)的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)19，i=1，2，3； P(U=2，V=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=29； P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)=29； P(U=3，V=2)=P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)=29； P(U=1，V=2)=P(U=1，V=3)=P(U=2，V=3)=0 所以(U，V)的联合分布律为 )解析：(2).求 Z=UV
19、的分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(Z=1)=P(W=1)=P(U=1，V=1)=19； P(Z=2)=P(UV=2)=P(U=1，V=2)+P(U=2，V=1)=29； P(Z=3)=P(UV=3)=P(U=1，V=3)+P(U=3，V=1)=29； P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2，V=2)=19； P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2，V=3)+P(U=3，V=2)=29； P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3，V=3)=19。所以 Z 的分布律为 )解析：(3).判断 U，V 是否相互独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 P(U=1)=
20、P(X=1，Y=1)=19， P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=2)+P(X=1，Y=3)=59 而 P(U=1)P(V=1)= )解析：(4).求 P(U=V)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2，V=2)+P(U=3，V=3)=13)解析：17.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，
21、计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 R 为商店每周的利润，则有 R 因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 故 E(R)= 10 20 dy 10 y 500(x+y) dx+ 10 20 dy y 20 1000y dx = )解析：18.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 Y 1 =16(X 1 +X 6 )，Y 2 =13(X 7 +X 8 +X 9 )，S 2 =12 (X i Y 2 ) 2 ，Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 1
22、N(， 2 6)，Y 2 N(， 2 3)，2S 2 2 2 (2)， 则Y 1 Y 2 N(0， 2 2) 与 2S 2 2 相互独立， 由 t 分布的定义得 )解析：19.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)f(x； 1 ， 2 ) L(x 1 ，x 2 ，x n ； 1 ， 2 ) lnL( 1 ， 2 )=nln( 2 1 )， 而 1 x i 因为 lnL( 1 ， 2 )是 1 的单调增函数，是 2 的单调减函数，所以 )解析：20.设总体 X，Y
23、 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明：S 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S 1 2 = 因为 E(S 1 2 )=E(S 2 2 )= 2 ， 即 S 2 = )解析：设 100 件产品中有 10 件不合格，现从中任取 5 件进行检验，如果其中没有不合格产品，则这批产品被接受，否则被拒绝求：（分数：4.00）(1).在任取 5 件产品中不合格产品件数 X 的数学期望和方差；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，其分布律为 P(X=i) i=0，1，2，3，4，5 则 E(X)= )解析：(2).这批产品被拒绝的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这批产品被拒绝的概率为 P(X1)=1P(X=0)=0417)解析：21.某种元件使用寿命 XN(，10 2 )按照客户要求该元件使用寿命不能低于 1000h，现从该批产品中随机抽取 25 件，其平均使用寿命为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 H 0 ：1000，H 1 ：1000因为总体方差已知，所以选取统计量 左临界点为z 005 =1645，因为 )解析：
