1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则时间E 等于( )（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0 （D）T (4)t0 2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)，如果随机变量 X 与X 分布函数相同，则( )（A）F(x)=F(
2、 一 x)（B） F(x)=一 F(一 x)（C） f(x)=f(一 x)（D）f(x)=一 f(一 x)3 设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1 ，P(X1)=P(Y1)= ，则Pmin(X ，Y)1=( )4 设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立5 设随机变量 XF(m，n)，令 PXF (m，n) =(0 1)，若 P(Xk)=，则k 等于( ) （A）F (m，n)（B） F1 (m，n)（C）（D）二、填空题6 设 P(A)=P(
3、B)=P(C)= ，P(AB)=0 ，P(AC)=P(BC)= ，则 A，B，C 都不发生的概率为_7 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，若 PX1)= ，则a=_8 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 则a=_，P(XY)=_9 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P X =_10 设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则UV=_11 设 X1，X 2，X 3，X 4，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1一 2X2)2+b(3X34X4)2+cX32(abc0)，且
4、Y 2(n)，则a=_，b=_，c=_，n=_12 设总体 X 的分布律为 P(X=i)= (i=1，2，) ，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，则 的矩估计量为_(其中 为正整数)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3个白球；第三个箱子有 3 个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率14 设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X
5、 的分布律与分布函数14 有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以X 表示红球个数15 写出 X 的分布律；16 求所取到的红球数不少于 2 个的概率16 设(X，Y)在区域 D：0 x1，Yx 内服从均匀分布17 求随机变量 X 的边缘密度函数；18 设 Z=2X+1，求 D(Z)18 设(X，Y)f(x ，y)= 19 判断 X，Y 是否独立，说明理由；20 判断 X，Y 是否不相关，说明理由；21 求 Z=X+Y 的密度22 设 X，Y 相互独立，且 XB(3，
6、)，YN(0， 1)，令 U=maxx，y，求P1U196(其中 (1)=0841，(196)=0975)23 某流水线上产品不合格的概率为 p= ，各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查，设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及D(X)24 设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)，令 Z= ，求 E(Z)，D(Z)25 一批种子中良种占 ，从中任取 6000 粒，计算这些种子中良种所占比例与 之差小于 001 的概率26 设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，其中 一 1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容
7、量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求参数 的估计量27 某厂生产某种产品，正常生产时，该产品的某项指标服从正态分布N(50， 38 2)，在生产过程中为检验机器生产是否正常，随机抽取 50 件产品，其平均指标为 =5126(设生产过程中方差不改变)，在显著性水平为 =005 下，检验生产过程是否正常考研数学一（概率统计）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 T (1)t0表示四个温控器温度都不低于临界温度 t0，而 E 发生只要两个温控器温度不低于临界温度 t0，所以 E=T (3)t0，
8、选(C)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 F X(x)=P(Xx)= xf(t)dt， F X (x)=P(一 Xx)=P(X一 x)=1 一 P(X一 x)=1 一 x f(t)dt， 因为 X 与一 X 有相同的分布函数，所以 xf(t)dt=1 一 x f(t)dt，两边求导数，得 f(x)=f(一 x)，正确答案为(C)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 C【试题解析】 令 A=X1，B= Y1，则 P(AB)= ，P(A)=P(B)= ，Pmin(X ，Y)1=1 一 Pmin(X，Y)1=1 一 P(X1，Y1)=1=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P
9、(AB)= ，选(C)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=0，又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) ，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 根据左右分位点的定义，选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 A，B，C 都不发生的概率为 =1 一P(A+B+C)，而 ABC AB 且 P(AB)=0，所以 P(ABC)=0，于是 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一
10、 P(BC)+P(ABC)= ，故 A，B，C 都不发生的概率为 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 2【试题解析】 PX1= 1af(x)dx=1a ，则 a=2【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 6，【试题解析】 由 1=a0 e2x dx0 e3y dy，得 a=6，于是 f(x，y)=，PXY= 0 dx0x6e2x3y dy=20 e2x (1 一 e3x )dx= 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 e 1【试题解析】 因为 XE()，所以 FX(x)= ，则=e1 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一
11、2Y)=9Cov(X，X) 4Cov(Y，Y)=9D(X)一 4D(Y)=32D(Y)，由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 ，n=3【试题解析】 因为 X1 一 2X2N(0，20)，3X 3 一 4X4N(0 ，100)，X 5N(0 ，4) ，【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【试题解析】 E(X)= ，令 E(X)= ，则 的矩估计量为 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13
12、【正确答案】 设 Ai=取到的是第 i 只箱子(i=1，2，3)，B=取到白球(1)P(B)=P(A 1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)+P(A3)P(BA 3)=(2) 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，所以 X 的分布律为 X ，分布函数为 FX(x)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 令 Ak=所取的为第 k 个盒子 (k=1，2，3)，P(A i)= (i=1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2，3，P(X=0)=P(X=0A 3)P(A3)=，P(X=1)=P(X=1 A 2)P(A2)+P(X=1A
13、 3)P(A3)=P(X=2)=P(X=2 A 1)P(A1)+P(X=2A 2)P(A2)+P(X=2A 3)P(A3)= P(X=3)=P(X=3A 1)P(A1)+P(X=3A 2)P(A2)= 所以 X 的分布律为X 【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 P X2 = 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= ，则 fX(x)= f(x，y)dy= 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 因为 E(X)=01x2xdx= ，E(X 2)=01x22xdx= ，所以 D(X)=E(X2)一E(X) 2= ，D(Z)
14、=D(2X+1)=4D(X)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 0x1 时，f X(x)=f f(x，y)dy= 0x12y2dy=4x3，则 fX(x)=同理 fY(y)= 因为当 0yx1时，f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不独立【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 E(X)= xfX(x)dx=014x2dx= ，E(Y)= yfY(y)dy=0112y3(1一 y)dy= ，E(XY)= dx xyf(x，y)dy= 01dx0x12xy3dy= ，因为Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)= ，所以 X，Y 相关【知识模
15、块】 概率统计21 【正确答案】 f Z(z)= f(x，z x)dx，当 z0 或 z2 时，f Z(z)=0；【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 P(U)=P(maxX，Y)=P(X，Y)=P(X)P(Y) ，P(U196)=P(X196)P(Y196)=P(X=0) P(X=1)P(Y1 96)= (196)=0 4875P(U1)=P(X1)P(Y1)= (1)=04205，则P(1U196)=P(U196)一 P(U1)=0067【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p)k1 p(k=1，2，)故 E(X2)=k2(1 一 p)k1
16、=pS(1 一 p)= =190则 D(X)=E(X2)一E(X) 2=190100=90【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，Y N(0 ， 2)，所以(X， Y)的联合密度函数为 f(x，y)= ，【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 设 6000 粒种子中良种个数为 X，则 XB(6000， )E(X)=1000， D(X)=6000 =P(一 60X 100060)=(2078)一 (一2078)=096【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 (1)由于总体的均值为 E(X)= xf(x)dx=01(+1)x1 dx= ，令 E(X)= ，则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x 1，x 2，x n)为来自总体(X 1，X 2，X n)的观察值，则关于参数 的似然函数为 L()=，令 =0，得参数 的最大似然估计值为，参数 的最大似然估计量为 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 令 H0：=50，H 1：50 ，取统计量 U= N(0，1)，当=005 时，z 0025 =196，H 0 的接受域为(一 196，196)，因为(一 196，196)，所以在显著性水平为 =005 下 H0 被拒绝，即生产过程不正常【知识模块】 概率统计
