1、小波分析入门,傅里叶分析-Fourier Analysis,傅里叶分析是目前信号分析的基石 傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量 从变换的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的桥梁,由于了解信号的频率成分非常重要，傅里叶分析是非常有用的工具. 为什么我们还需要如小波分析等的其它技术？,傅里叶分析的缺点,在变换到频域后，信号的时间信息丢失； 从傅里叶频谱中无法得到信号在某一时刻发生的情况；若信号在整个时间历程上属于平稳信号(其统计参数变化不大), 傅里叶分析的这些缺点并不显注. 但在我们所处的世界中却经常会遇到繁多的非平稳信号:漂移,趋势,突变,事件的开始和结束等.该类信号往往是信号最主要的特
2、征,而显然不满足傅立叶分析的平稳性要求.,短时傅里叶分析( Short-Time Fourier Analysis),为解决傅里叶分析的缺点, Dennis Gabor (1946)提出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观点,即所谓的Short-Time Fourier Analysis-STFT, 将信号映射为时间和频率的函数.,短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频率表示的折中, 可反映信号在何时和什么频率发生。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。STFT在信号的时间和频率表示上的折中是有用的， 其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，它将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能有比较柔性
3、的窗-我们可以调整窗长以取得比较精确的时间和频率。,小波分析(Wavelet Analysis),小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域的加窗技术。 小波分析允许使用长时间间隔在需要获得比较精确的低频信息时；和使用短的区域在需要获得高频信息时。,下图为从时域，频域，STFT, 和小波分析观察信号的示意。,注意：小波分析没有使用时间-频率坐标，而是使用时间-尺度坐标。,小波分析可以做什么？,小波分析的一个主要优点是其可以做信号的局部分析。,小波分析能反映其它一些信号分析手段不能很好反映的信号信息，例如趋势、断点、不连续性等。进一步, 小波分析提供了与传统方法不同的视角，目前小波分析在
4、压缩或降噪方面有广泛的应用。,什么是小波分析,一个小波是在有限区间内存在,且均值为零的波形.,相比之下,傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在无限区间内存在。 正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则波形，且非对称。,傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦波。与此类似,小波分析将信号分解为不同尺度、平移的小波。,连续小波变换-CWT,从数学的观点看傅里叶变换,与此类似，小波分析变换公式为,为母小波，C为小波系数，为尺度与位置的函数。,小波系数C乘以与位移和尺度化后的小波，得到原信号的小波分量。,尺度化（比例缩放）-Scaling,前面谈到了小波将信号映射到时间-尺度域，下面对尺度化和时移进行解释。
5、 小波的尺度化意味着将小波进行拉伸和压缩。,a 为尺度因子,下面是正弦波的尺度变化示例,小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子越小，信号越被压缩。,注意：频率与尺度有密切联系,平移-Shifting,小波的平移意味着小波起始位置的变化。 在数学上若原信号为f(t)，则其时移表示为f(t-k)。,连续小波变换的5个基本步骤,1、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比较。 2、计算小波系数C， 其值的大小取决于小波与选取信号段的相似程度，越相似其值越大。更精确的是若信号与小波能量都等于1，则C可解释为互相关系数。 注意：系数的大小与 所选择小波的形状有关。,3、从左到右平移小波逐段重复步
6、骤1、2的比较，直到完成整个信号的比较。,4、小波伸缩（尺度化），重复步骤13。,5、重复14步得到所有尺度下的小波系数,三维显示,小波分析得到的时间-尺度图谱，不同于时间-频率图谱。尺度与频率不同，但并非没有联系。,尺度与频率,小尺度a 压缩小波 变化剧烈 高频 大尺度a 扩展小波 变化平缓 低频 ,自然界中的尺度,提供尺度而非频率信息并非小波的缺点,连续小波变换的连续含义,区别于离散小波变换，其尺度和平移可以比较自由,离散小波变换,连续小波变换的计算量非常大，费时 1988 年 Mallat提出二进离散小波变换的快速算法-滤波算法。,第一部滤波：逼近和细节,对大多数信号，其低频分量比较重要
7、； 高频包含大多数的冲击和噪声； 在小波分析中称为逼近和细节； 逼近成分对应大尺度低频分量，细节成分对应小尺度高频分量。,下图为小波分析滤波示意,原始信号S通过两个互补的滤波器得到两个信号A和D.,在数字信号处理中S将被使用两次; 设S具有1000个采样点,则D和A也将分别具有1000采样点; 在离散小波分析中采用二取一的”降采样技术”得到分别具有500点的小波系数cD和cA;,下面以一单级离散小波分解举例说明以上过程. 使用的原信号为一叠加有高频噪声的实正弦信号,其分解原理图如下,Matlab语句如下 s = sin(20.*linspace(0,pi,1000) + 0.5.*rand(1
8、,1000); cA,cD = dwt(s,db2);,db2为选用小波名,不难发现, 细节信号系数cD包含有主要的噪声成分;逼近信号cA比原信号包含较少的噪声.length(cA) length(cD)ans =501 501小波系数cD和cA的长度比原始信号长度的一半多一.,离散小波多级分解(Multiple-Level Decomposition),小波分解树(wavelet decomposition tree),分解时对逼近系数进行反复分解.,分解多少级?,信号的小波分解,小波重构,小波分解是小波分析的一半,与此相对的另一半是信号的小波重构(reconstruction), 或 综合
9、(synthesis) (无信息丢失).在数学上称为小波逆变换(IDWT).,下图为信号的小波重构示意图,由小波分解得到的小波系数重构信号,信号的小波重构涉及滤波和上采样,上采样,小波重构中的上采样是在两原数据点间插入零值,重构滤波器,重构滤波器的选择是非常苛刻的,出来需要满足很好的重构原信号外,还要解决滤波产生的”混叠”引起的相位失真.分解滤波器与重构滤波器有密切联系(但不相同),在小波分析中很好的选择滤波器可有效消除”混叠”的影响.,逼近信号和细节信号的重构,前面所述的是由小波分解系数重构原始信号, 与此类似, 我们也可由小波分解系数重构某一级的逼近和细节信号.,单级重构,多级重构,滤波器
10、与小波形状的联系,重构滤波器与小波的选择有密切联系; 在实际使用小波中,很少直接从构造一个小波开始,而是设计适合的镜像滤波器,进而设计出波形. 下面以一个例子来说明.,构造适合db2小波的低通重构滤波器L,滤波器系数可由Matlab中的dbaux命令得到;若反转该滤波器系数向量, 并且每一偶数样本乘以-1, 则可得到高通重构滤波器H的系数.H上采样( H系数间隔插零),上采样向量与原始低通滤波器卷乘,若重复该过程几次, 即上采样并将结果滤波器向量与原始低通滤波器系数卷乘,则可得到以下图案.,不难看出滤波器形状越来越接近db2小波, 这表明小波的形状完全由重构滤波器决定.,二者的重要联系说明:我
11、们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小波分析. 至少当需要对信号进行精确重构时,我们不能选择任意的小波形状. 我们必须选取由积分镜像分解滤波器所决定的形状作为小波.,尺度函数- Scaling Function,上面我们看到了小波与镜像积分滤波器的内部联系. 小波函数由高通滤波器决定, 高通滤波器也产生小波分解的细节信号.,另一与小波函数有一些联系的函数就是所谓的尺度函数, 尺度函数相似于小波函数,决定于低通镜像积分滤波器, 该滤波器与小波分解的逼近信号相关. 同样, 通过重复上采样并与高通滤波器进行卷积可得到小波函数; 重复上采样并与低通滤波器进行卷积可得到尺度函数的近似形状.,多级分解和重构,小波的多级分解和重构可表示为,这一过程包括两个方面: 信号分解得到小波系数, 由小波系数重构原信号.,前面我们已讨论过信号的小波分解和重构. 在应用中当然无需将一个信号分解后又重构其本身. 在进行重构前通常我们要改变小波系数, 获得我们所需要的重构信号, 进行小波分析的目的在于获得信号的小波系数,然后进行信号去噪和压缩等应用. 许多应用仍等待我们去发现.,
