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【考研类试卷】考研数学一(线性代数)-试卷17及答案解析.doc

1、考研数学一(线性代数)-试卷 17 及答案解析(总分:76.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 为两个 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.A+B=A+BB.若AB=0,则 A=O 或 B=OC.AB=ABD.AB=AB3.设 1 , 2 , 3 , 1 , 2 都是四维列向量,且A= 1 , 2 , 3 , 1 =m,B= 1 , 2 , 2 , 3 =n,则 3 , 2 , 1 , 1 + 2 为( )(分数:2.00)A.m+nB.mn

2、C.一(m+n)D.nm4.设 A 是 mn 阶矩阵,B 是 nm 阶矩阵,则( )(分数:2.00)A.当 mn 时,必有AB0B.当 mn 时,必有AB=0C.当 nm 时,必有AB0D.当 nm 时,必有AB=05.设 A,B,A+B,A -1 +B -1 皆为可逆矩阵,则(A -1 +B -1 ) -1 等于( )(分数:2.00)A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -16.设 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(AB) * =A * 一 B *D.

3、(A+B) * 一定可逆7.设 A 为 n 阶矩阵,k 为常数,则(kA) * 等于( )(分数:2.00)A.kA *B.k n A *C.k n1 A *D.k n(n1) A *8.设 A 为 n 阶矩阵,A 2 =A,则下列成立的是( )(分数:2.00)A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆,则 A=OD.若 A 可逆,则 A=E9.设 A 为 mn 阶矩阵,且 r(A)=mn,则( )(分数:2.00)A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)10.

4、设 P1= (分数:2.00)A.m=3,n=2B.m=3,n=5C.m=2,n=3D.m=2,n=211.设 A= (分数:2.00)A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 112.设 P= (分数:2.00)A.当 t=6 时,r(Q)=1B.当 t=6 时,r(Q)=2C.当 t6 时,r(Q)=1D.当 t6 时,r(Q)=2二、填空题(总题数:9,分数:18.00)13.设 D= (分数:2.00)填空项 1:_14.设 A,B 都是三阶矩阵,A 相似于 B,且EA=E 一 2A=E 一 3A=0,则B -1 +2

5、E= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.设 A 为三阶正交阵,且A0,BA=一 4,则EAB T = 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设 A 为 n 阶矩阵,且A“=a0,则(kA) * = 1(分数:2.00)填空项 1:_17.设 A,B 都是三阶矩阵,A= (分数:2.00)填空项 1:_18.设矩阵 A,B 满足 A * BA=2BA8E,且 A= (分数:2.00)填空项 1:_19.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_20.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_21.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:34.00)22.

6、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.设 A 是正交矩阵,且A0证明:E+A=0(分数:2.00)_24.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵,且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明:A0(分数:2.00)_25.计算 D 2n = (分数:2.00)_26.计算 (分数:2.00)_27.设 D= (分数:2.00)_28.设 A,B 为三阶矩阵,且 AB,且 1 =1, 2 =2 为 A 的两个特征值,B=2,求 (分数:2.00)_29.设 A=E 一 T ,其中 为 n 维非零列向量证明: (1)A 2 =A 的充分必要条件是

7、 为单位向量;(2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵(分数:2.00)_30.设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 是 n 维列向量,b 为常数,P= (分数:2.00)_31.设矩薛 A 满足(2E 一 C -1 B)A T =C -1 ,且 B= (分数:2.00)_32.设 , 是 n 维非零列向量,A= T + T 证明:r(A)2(分数:2.00)_33.设 a 是 n 维单位列向量,A=E 一 T 证明:r(A)n(分数:2.00)_34.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A * )= (分数:2.00)_35.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非

8、零列向量 ,使得 A= T (分数:2.00)_36.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n 一 1证明:存在常数 k,使得(A * ) 2 =kA * (分数:2.00)_37.设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(A * ) * =A n2 A(分数:2.00)_38.设 A,B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵,且 AB=O证明:r(A)+r(B)n(分数:2.00)_考研数学一(线性代数)-试卷 17 答案解析(总分:76.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设

9、 A,B 为两个 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.A+B=A+BB.若AB=0,则 A=O 或 B=OC.AB=ABD.AB=AB 解析:解析:(A)、(C)显然不对,设 A=3.设 1 , 2 , 3 , 1 , 2 都是四维列向量,且A= 1 , 2 , 3 , 1 =m,B= 1 , 2 , 2 , 3 =n,则 3 , 2 , 1 , 1 + 2 为( )(分数:2.00)A.m+nB.mnC.一(m+n)D.nm 解析:解析: 3 , 2 , 1 , 1 + 2 = 3 , 2 , 1 , 1 + 3 , 2 , 1 , 2 =一 1 , 2 , 3 , 1

10、1 , 2 , 3 , 2 =一 1 , 2 , 3 , 1 + 1 , 2 , 2 , 3 =n 一 m, 选(D)4.设 A 是 mn 阶矩阵,B 是 nm 阶矩阵,则( )(分数:2.00)A.当 mn 时,必有AB0B.当 mn 时,必有AB=0 C.当 nm 时,必有AB0D.当 nm 时,必有AB=0解析:解析:AB 为 m 阶矩阵,因为 r(A)minm,n,r(B)minm,n,且 r(AB)min(r(A),r(B),所以 r(AB)minm,n,故当 mn 时,r(AB)nm,于是AB=0,选(B)5.设 A,B,A+B,A -1 +B -1 皆为可逆矩阵,则(A -1 +

11、B -1 ) -1 等于( )(分数:2.00)A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析:解析:A(A+B) -1 B(A -1 +B -1 )=(A+B)A -1 -1 (BA -1 +E)一(BA -1 +E) -1 (BA -1 +E)=E,所以选(C)6.设 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A * C.(AB) * =A * 一 B *D.(A+B) * 一定可逆解析:解析:因为(AB) * =AB(AB) -1 =ABB -1 A -1 =BB -1

12、 AA -1 =B * A * ,所以选(B)7.设 A 为 n 阶矩阵,k 为常数,则(kA) * 等于( )(分数:2.00)A.kA *B.k n A *C.k n1 A * D.k n(n1) A *解析:解析:因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式,而余子式为 n 一 1 阶子式,所以(kA) * =k n1 A * ,选(C)8.设 A 为 n 阶矩阵,A 2 =A,则下列成立的是( )(分数:2.00)A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆,则 A=OD.若 A 可逆,则 A=E 解析:解析:因为 A 2 =A,所以 A(E 一 A)=O,由矩阵秩的性质得 r(A)

13、+r(EA)=n,若 A 可逆,则 r(A)=n,所以 r(EA)=0,A=E,选(D)9.设 A 为 mn 阶矩阵,且 r(A)=mn,则( )(分数:2.00)A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)解析:解析:显然由 r(A)=mn,得 r(A)=10.设 P1= (分数:2.00)A.m=3,n=2B.m=3,n=5 C.m=2,n=3D.m=2,n=2解析:解析:P 1 m AP 2 n = 经过了 A 的第 1,2 两行对调与第 1,3 两列对调

14、,P 1 = 11.设 A= (分数:2.00)A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1 D.P 2 A -1 P 1解析:解析:B=AE 14 E 23 或 B=AE 23 E 14 即 B=AP 1 P 2 或 B=AP 2 P 1 ,所以 B -1 =P 2 -1 P 1 -1 A -1 或 B -1 =P 1 -1 P 2 -1 A -1 ,注意到 E ij -1 =E ij ,于是 B -1 =P 2 P 1 A -1 或 B -1 =P 1 P 2 A -1 ,选(C)12.设 P= (分数:2.00)A.当 t=6 时,r(Q)=1B.

15、当 t=6 时,r(Q)=2C.当 t6 时,r(Q)=1 D.当 t6 时,r(Q)=2解析:解析:因为 QO,所以 r(Q)1,又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3,当 t6 时,r(P)2,则 r(Q)1,于是 r(Q)=1,选(C)二、填空题(总题数:9,分数:18.00)13.设 D= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:A 31 +A 32 +A 33 =A 32 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 35 = 14.设 A,B 都是三阶矩阵,A 相似于 B,且EA=E 一 2A=E 一 3A=0,则B -1 +2E= 1(分数:2.

16、00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:60)解析:解析:因为EA=E 一 2A=E 一 3A=0,所以 A 的三个特征值为 ,1,又 AB,所以 B 的特征值为 15.设 A 为三阶正交阵,且A0,BA=一 4,则EAB T = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:A0A=一 1 EAB T =AA T AB T =A(AB) T =一A 一B=BA=一 416.设 A 为 n 阶矩阵,且A“=a0,则(kA) * = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:k n(n1) a n1)解析:解析:因为(kA) * =k n1 A *

17、 ,且A * =A n1 ,所以 (ka) * =k n1 A * =k n(n1) A=k n(n1) a n117.设 A,B 都是三阶矩阵,A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:A=3,A * =AA -1 =一 3A -1 ,则(A * ) -1 B=ABA+2A 2 化为一550*AB=ABA+2A 2 ,注意到 A 可逆,得一 B=BA+2A 或一 B=3BA+6A,则 B=一 6A(E+3A) -1 ,E+3A= 18.设矩阵 A,B 满足 A * BA=2BA8E,且 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析

18、:解析:由 A * BA=2BA8E,得 AA * BA=2ABA 一 8A,即一 2BA=2ABA 一 8A,于是一 2B=2AB 一8E,(A+E)B=4E,所以 B=4(A+E) -1 = 19.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:20.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:6)解析:解析:因为 r(B * )=1,所以 r(B)=2,又因为 AB=O,所以 r(A)+r(B)3,从而 r(A)1,又 r(A)1,r(A)=1,于是 t=621.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)

19、解析:解析:BA=Or(A)+r(B)3,因为 r(A)2,所以 r(B)1,又因为 BO,所以 r(B)=1三、解答题(总题数:17,分数:34.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.设 A 是正交矩阵,且A0证明:E+A=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 是正交矩阵,所以 A T A=E,两边取行列式得A 2 =1,因为A0,所以A=一 1 由E+A=A T A+A=(A T +E)A=AA T +E=一A T +E =一(A+E) T =一E+A 得E+A=0)解析:24.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵,且

20、A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明:A0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 是非零矩阵,所以 A 至少有一行不为零,设 A 的第 k 行是非零行,则 A=a k1 A k1 +a k2 2A k2 +a kn A kn =a k1 2 +a k2 2 +a kn 2 0)解析:25.计算 D 2n = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:D 2n =a 2 D 2n2 b 2 D 2n2 =(a 2 一 b 2 )D 2n2 =(a 2 一 b 2 ) n)解析:26.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: =a 1 a 2 a n1 +

21、a n (a 1 a 2 a n2 +a n1 D n2 ) =a 1 a 2 a n1 +a 1 a 2 a n2 a n +a n a n1 D n2 )解析:27.设 D= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.设 A,B 为三阶矩阵,且 AB,且 1 =1, 2 =2 为 A 的两个特征值,B=2,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AB,所以 A,B 特征值相同,设另一特征值为 3 ,由B= 1 2 3 =2 得 3 =1 A+E 的特征值为 2,3,2,(A+E) -1 的特征值为 因为 B 的特征值为1,2,1,所以 B * 的特征值为 ,即为

22、 2,1,2,于是B * =4,(2B) * =4B * =4 3 B * =256故 )解析:29.设 A=E 一 T ,其中 为 n 维非零列向量证明: (1)A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量;(2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)令 T =k,则 A 2 =(E 一 T )(E 一 T )=E 一 2 T +k T ,因为 a 为非零向量,所以 T O,于是 A 2 =A 的充分必要条件是 k=1,而 T = 2 ,所以 A 2 =A 的充要条件是 为单位向量 (2)当 是单位向量时,由 A 2 =A 得 r(A)+r(E 一

23、A)=n,因为E 一 A= T O,所以 r(EA)1,于是 r(A)n 一 1n,故 A 是不可逆矩阵)解析:30.设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 是 n 维列向量,b 为常数,P= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)PQ= )解析:31.设矩薛 A 满足(2E 一 C -1 B)A T =C -1 ,且 B= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(2E 一 C -1 B)A T =C -1 ,得 A T =(2EC -1 B) -1 C -1 =C(2EC -1 B) -1 =(2CB) -1 )解析:32.设 , 是 n 维非零列向量,A= T + T 证明:r(A

24、)2(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:r(A)=r( T + T )r( T )+r( T ),而 r( T )r()=1,r( T )r()=1,所以 r(A)r( T )+r( T )2)解析:33.设 a 是 n 维单位列向量,A=E 一 T 证明:r(A)n(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 2 =(E 一 T )(E 一 T )=E 一 2 T + T T ,因为 为单位列向量,所以 T =1,于是 A 2 =A由 A(E 一 A)=O 得 r(A)+r(EA)n,又由 r(A)+r(EA)rA+(EA)=r(E)=n,得 r(A)+r(EA)=n因为 EA= T

25、O,所以 r(EA)=r( T )=r()=1,故 r(A)=n 一 1n)解析:34.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A * )= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:AA * =A * A=AE 当 r(A)=n 时,A0,因为A * =A n1 ,所以A * 0,从而 r(A * )=n; 当 r(A)=n 一 1 时,由于 A 至少有一个 n 一 1 阶子式不为零,所以存在一个 M ij 0,进而 A ij 0,于是 A * O,故 r(A * )1,又因为A=0,所以 AA * =AE=O,根据矩 阵秩的性质有 r(A)+r(A * )n,而 r(A)=n 一 1,于是得 r

26、(A * )1,故 r(A * )=1; 当 r(A)n 一 1 时,由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零,所以 A * =O,故 r(A * )=0)解析:35.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ,使得 A= T (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 r(A)=1,则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例, 令 A= )解析:36.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n 一 1证明:存在常数 k,使得(A * ) 2 =kA * (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:37.设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(

27、A * ) * =A n2 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(A * ) * A * =A * E=A n1 E,当 r(A)=n 时,r(A * )=n,A * =AA -1 ,则(A * ) * A * =A * E=A n1 E,故(A * ) * =A n2 A当 r(A)=n 一 1 时,A=0,r(A * )=1,r(A * ) * =0,即(A * ) * =O,原式显然成立当 r(A)n1 时,A=0,r(A * )=0,(A * ) * =O,原式也成立)解析:38.设 A,B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵,且 AB=O证明:r(A)+r(B)n(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 B=( 1 , 2 , s ),因为 AB=O,所以 B 的列向量组 1 , 2 , s 为方程组 AX=0 的一组解,而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n 一r(A),所以向量组 1 , 2 , s 的秩不超过 nr(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等,因此 r(B)nr(A),即 r(A)+r(B)n)解析:

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