1、考研数学一（线性代数）-试卷 17 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.若AB=0，则 A=O 或 B=OC.AB=ABD.AB=AB3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 为( )（分数：2.00）A.m+nB.mn
2、C.一(m+n)D.nm4.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=05.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 皆为可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -16.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(AB) * =A * 一 B *D.
3、(A+B) * 一定可逆7.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A *D.k n(n1) A *8.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E9.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)10.
4、设 P1= （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=211.设 A= （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 112.设 P= （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1D.当 t6 时，r(Q)=2二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.设 D= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EA=E 一 2A=E 一 3A=0，则B -1 +2
5、E= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为三阶正交阵，且A0，BA=一 4，则EAB T = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 为 n 阶矩阵，且A“=a0，则(kA) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.00）填空项 1:_18.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA8E，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)22.
6、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设 A 是正交矩阵，且A0证明：E+A=0（分数：2.00）_24.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_25.计算 D 2n = （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.设 D= （分数：2.00）_28.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，求 （分数：2.00）_29.设 A=E 一 T ，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A 2 =A 的充分必要条件是
7、 为单位向量；(2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_30.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P= （分数：2.00）_31.设矩薛 A 满足(2E 一 C -1 B)A T =C -1 ，且 B= （分数：2.00）_32.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2（分数：2.00）_33.设 a 是 n 维单位列向量，A=E 一 T 证明：r(A)n（分数：2.00）_34.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_35.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非
8、零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_36.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n 一 1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_37.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =A n2 A（分数：2.00）_38.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 17 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设
9、 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.若AB=0，则 A=O 或 B=OC.AB=ABD.AB=AB 解析：解析：(A)、(C)显然不对，设 A=3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 为( )（分数：2.00）A.m+nB.mnC.一(m+n)D.nm 解析：解析： 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 = 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 =一 1 ， 2 ， 3 ， 1
10、1 ， 2 ， 3 ， 2 =一 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n 一 m， 选(D)4.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0 C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=0解析：解析：AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且 r(AB)min(r(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是AB=0，选(B)5.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 皆为可逆矩阵，则(A -1 +
11、B -1 ) -1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析：解析：A(A+B) -1 B(A -1 +B -1 )=(A+B)A -1 -1 (BA -1 +E)一(BA -1 +E) -1 (BA -1 +E)=E，所以选(C)6.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A * C.(AB) * =A * 一 B *D.(A+B) * 一定可逆解析：解析：因为(AB) * =AB(AB) -1 =ABB -1 A -1 =BB -1
12、 AA -1 =B * A * ，所以选(B)7.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A * D.k n(n1) A *解析：解析：因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n 一 1 阶子式，所以(kA) * =k n1 A * ，选(C)8.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E 解析：解析：因为 A 2 =A，所以 A(E 一 A)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)
13、+r(EA)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(EA)=0，A=E，选(D)9.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)解析：解析：显然由 r(A)=mn，得 r(A)=10.设 P1= （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5 C.m=2，n=3D.m=2，n=2解析：解析：P 1 m AP 2 n = 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调
14、，P 1 = 11.设 A= （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1 D.P 2 A -1 P 1解析：解析：B=AE 14 E 23 或 B=AE 23 E 14 即 B=AP 1 P 2 或 B=AP 2 P 1 ，所以 B -1 =P 2 -1 P 1 -1 A -1 或 B -1 =P 1 -1 P 2 -1 A -1 ，注意到 E ij -1 =E ij ，于是 B -1 =P 2 P 1 A -1 或 B -1 =P 1 P 2 A -1 ，选(C)12.设 P= （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.
15、当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1 D.当 t6 时，r(Q)=2解析：解析：因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.设 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 31 +A 32 +A 33 =A 32 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 35 = 14.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EA=E 一 2A=E 一 3A=0，则B -1 +2E= 1（分数：2.
16、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为EA=E 一 2A=E 一 3A=0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B 的特征值为 15.设 A 为三阶正交阵，且A0，BA=一 4，则EAB T = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：A0A=一 1 EAB T =AA T AB T =A(AB) T =一A 一B=BA=一 416.设 A 为 n 阶矩阵，且A“=a0，则(kA) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k n(n1) a n1）解析：解析：因为(kA) * =k n1 A *
17、 ，且A * =A n1 ，所以 (ka) * =k n1 A * =k n(n1) A=k n(n1) a n117.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=3，A * =AA -1 =一 3A -1 ，则(A * ) -1 B=ABA+2A 2 化为一550*AB=ABA+2A 2 ，注意到 A 可逆，得一 B=BA+2A 或一 B=3BA+6A，则 B=一 6A(E+3A) -1 ，E+3A= 18.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA8E，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析
18、：解析：由 A * BA=2BA8E，得 AA * BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA 一 8A，于是一 2B=2AB 一8E，(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E) -1 = 19.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 r(B * )=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=621.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）
19、解析：解析：BA=Or(A)+r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)=1三、解答题(总题数：17，分数：34.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设 A 是正交矩阵，且A0证明：E+A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T A=E，两边取行列式得A 2 =1，因为A0，所以A=一 1 由E+A=A T A+A=(A T +E)A=AA T +E=一A T +E =一(A+E) T =一E+A 得E+A=0)解析：24.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且
20、A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 A=a k1 A k1 +a k2 2A k2 +a kn A kn =a k1 2 +a k2 2 +a kn 2 0)解析：25.计算 D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 2n =a 2 D 2n2 b 2 D 2n2 =(a 2 一 b 2 )D 2n2 =(a 2 一 b 2 ) n)解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =a 1 a 2 a n1 +
21、a n (a 1 a 2 a n2 +a n1 D n2 ) =a 1 a 2 a n1 +a 1 a 2 a n2 a n +a n a n1 D n2 )解析：27.设 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3 ，由B= 1 2 3 =2 得 3 =1 A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) -1 的特征值为 因为 B 的特征值为1，2，1，所以 B * 的特征值为 ，即为
22、 2，1，2，于是B * =4，(2B) * =4B * =4 3 B * =256故 )解析：29.设 A=E 一 T ，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；(2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 T =k，则 A 2 =(E 一 T )(E 一 T )=E 一 2 T +k T ，因为 a 为非零向量，所以 T O，于是 A 2 =A 的充分必要条件是 k=1，而 T = 2 ，所以 A 2 =A 的充要条件是 为单位向量 (2)当 是单位向量时，由 A 2 =A 得 r(A)+r(E 一
23、A)=n，因为E 一 A= T O，所以 r(EA)1，于是 r(A)n 一 1n，故 A 是不可逆矩阵)解析：30.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)PQ= )解析：31.设矩薛 A 满足(2E 一 C -1 B)A T =C -1 ，且 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2E 一 C -1 B)A T =C -1 ，得 A T =(2EC -1 B) -1 C -1 =C(2EC -1 B) -1 =(2CB) -1 )解析：32.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A
24、)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )，而 r( T )r()=1，r( T )r()=1，所以 r(A)r( T )+r( T )2)解析：33.设 a 是 n 维单位列向量，A=E 一 T 证明：r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =(E 一 T )(E 一 T )=E 一 2 T + T T ，因为 为单位列向量，所以 T =1，于是 A 2 =A由 A(E 一 A)=O 得 r(A)+r(EA)n，又由 r(A)+r(EA)rA+(EA)=r(E)=n，得 r(A)+r(EA)=n因为 EA= T
25、O，所以 r(EA)=r( T )=r()=1，故 r(A)=n 一 1n)解析：34.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =A * A=AE 当 r(A)=n 时，A0，因为A * =A n1 ，所以A * 0，从而 r(A * )=n； 当 r(A)=n 一 1 时，由于 A 至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，所以存在一个 M ij 0，进而 A ij 0，于是 A * O，故 r(A * )1，又因为A=0，所以 AA * =AE=O，根据矩 阵秩的性质有 r(A)+r(A * )n，而 r(A)=n 一 1，于是得 r
26、(A * )1，故 r(A * )=1； 当 r(A)n 一 1 时，由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，所以 A * =O，故 r(A * )=0)解析：35.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例， 令 A= )解析：36.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n 一 1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(
27、A * ) * =A n2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) * A * =A * E=A n1 E，当 r(A)=n 时，r(A * )=n，A * =AA -1 ，则(A * ) * A * =A * E=A n1 E，故(A * ) * =A n2 A当 r(A)=n 一 1 时，A=0，r(A * )=1，r(A * ) * =0，即(A * ) * =O，原式显然成立当 r(A)n1 时，A=0，r(A * )=0，(A * ) * =O，原式也成立)解析：38.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=( 1 ， 2 ， s )，因为 AB=O，所以 B 的列向量组 1 ， 2 ， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n 一r(A)，所以向量组 1 ， 2 ， s 的秩不超过 nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)+r(B)n)解析：
