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【考研类试卷】考研数学一(线性代数)-试卷36及答案解析.doc

1、考研数学一(线性代数)-试卷 36 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 与 B 相似,E 为 n 阶单位矩阵,则 ( )(分数:2.00)A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t,tE-A 与 tE-B 相似3.设 A 为 n 阶矩阵,下列命题正确的是 ( )(分数:2.00)A.若 为 A T 的特征向量,那么 为 A 的特征向量B.若 为 A

2、 * 的特征向量,那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量,那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量,那么 为 A 的特征向量4.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1, 2 =2, 3 =3,则 2A * 的特征值是 ( )(分数:2.00)A.1,2,3B.4,6,12C.2,4,6D.8,16,245.已知 A 是 3 阶矩阵,r(A)=1,则 =0 ( )(分数:2.00)A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能6.已知 1 , 2 是方程(2E-A)X=0 的两个不同的解向量,则下列

3、向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )(分数:2.00)A. 1B. 2C. 1 - 2D. 1 + 27.设 (分数:2.00)A. 1 =1,2,1 TB. 2 =1,-2,1 TC. 3 =2,1,2 TD. 4 =2,1,-2 T8.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)9.设 A 是 3 阶矩阵,A=3,且满足A 2 +2A=0,2A 4 +A=0,则 A * 的特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设 A 是 N 阶实对称阵, 1 , 2 , n 是 A 的 n 个互不相同的

4、特征值, 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量,则矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_11.矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_12.设 A 是 n 阶矩阵, 是 A 的 r 重特征根,A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个,则 k 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_13.与 1 =1,2,3,- T , 2 =0,1,1,2 T , 3 =2,1,3,0 T 都正交的单位向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 A= (分数:2.00)_16.证明:AB,

5、其中 (分数:2.00)_17.设 A 是 n 阶矩阵,满足 A 2 =A,且 r(A)=r(0rn)证明: (分数:2.00)_18.设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 有 n 个互不相同的特征值,且 AB=BA证明:B 相似于对角阵(分数:2.00)_19.设 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,A= T ,求可逆阵 P,使 P -1 AP=A(分数:2.00)_设 A=E+ T ,其中 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,=b 1 ,b 2 ,b n T 0,且 T =2(分数:4.00)(1).求 A 的特征值和特征向量;(分数:2.00)_(2).求可逆矩阵 P,使得 P -1 A

6、p=A(分数:2.00)_设向量 =a 1 ,a 2 ,a n T ,=b 1 ,b 2 ,b n T 都是非零向量,且满足条件 T =0,记 n 阶矩阵 A= T ,求:(分数:6.00)(1).A 2 ;(分数:2.00)_(2).A 的特征值和特征向量;(分数:2.00)_(3).A 能否相似于对角阵,说明理由(分数:2.00)_设 a 0 ,a 1 ,a n-1 是 n 个实数,方阵 (分数:4.00)(1).若 是 A 的特征值,证明:=1, 2 , T 是 A 的对应于特征值 的特征向量;(分数:2.00)_(2).若 A 有 n 个互异的特征值 1 , 2 , n ,求可逆阵 P

7、,使 p -1 AP=A(分数:2.00)_20.设 (分数:2.00)_设 A 是三阶矩阵, 1 =1, 2 =2, 3 =3 是 A 的特征值,对应的特征向量分别是 1 =E2,2,-1 T , 2 =-1,2,2 T , 3 =2,-1,2 T 又 =1,2,3 T 计算:(分数:4.00)(1).A n 1 ;(分数:2.00)_(2).A n (分数:2.00)_已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:4.00)(1).写出二次型 f 的矩阵表达式;(分数:2.00)_(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵(分数:2.00)_考研数学一(线

8、性代数)-试卷 36 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 与 B 相似,E 为 n 阶单位矩阵,则 ( )(分数:2.00)A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t,tE-A 与 tE-B 相似 解析:解析:A 与 B 相似,存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP=B,则 tE-B=tE-P -1 AP=P -1 (tE)P-P -1 AP=

9、P -1 (tE-A)P,即 tE-A 与 tE-B 相似,选(D)对于(A):由 E-A=E-B,有 A=B;对于(B):A 与 B 相似,则A 与 B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同;对于(C):A 与 B 不一定能够相似对角化3.设 A 为 n 阶矩阵,下列命题正确的是 ( )(分数:2.00)A.若 为 A T 的特征向量,那么 为 A 的特征向量B.若 为 A * 的特征向量,那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量,那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量,那么 为 A 的特征向量 解析:解析:矩阵 A T 与 A 的特征值相同,但特征向量不一定相同

10、,故(A)错误 假设 为 A 的特征向量, 为其特征值,当 0 时 也为 A * 的特征向量这是由于 但反之, 为 A * 的特征向量,那么 不一定为 A 的特征向量例如:当 r(A)n-1 时,A * =O,此时,任意 n 维非零列向量都是 A * 的特征向量,故 A * 的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 假设 为 A 的特征向量, 为其特征值,则 为 A 2 的特征向量这是由于 A 2 =A(A)=A= 2 但反之,若 为 A 2 的特征向量, 不一定为 A 的特征向量例如:假设 A 1 = 1 ,A 2 =- 2 ,其中 1 , 2 0此时有 A 2 ( 1 + 2 )=

11、A 2 1 +A 2 2 = 1 + 2 ,可知 1 + 2 为 A 2 的特征向量但 1 , 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量,它们的和 1 + 2 不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A 的特征向量,则存在实数 使得 2A=,此时有 4.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1, 2 =2, 3 =3,则 2A * 的特征值是 ( )(分数:2.00)A.1,2,3B.4,6,12 C.2,4,6D.8,16,24解析:解析:2A * 的特征值是 5.已知 A 是 3 阶矩阵,r(A)=1,则 =0 ( )(分数:2.00)A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特

12、征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析:解析:A 是三阶矩阵,r(A)=1,r(0E-A)=1 (0E-A)X=0 有两个线性无关特征向量,故 =0 至少是二重特征值,也可能是三重,例如:6.已知 1 , 2 是方程(2E-A)X=0 的两个不同的解向量,则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )(分数:2.00)A. 1B. 2C. 1 - 2 D. 1 + 2解析:解析:因 1 2 ,故 1 - 2 0,且仍有关系 A( 1 - 2 )= 1 - 2 =( 1 - 2 ),故 1 - 2 是 A 的特征向量 而(A) 1 ,(B) 2 ,(

13、D) 1 + 2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量7.设 (分数:2.00)A. 1 =1,2,1 TB. 2 =1,-2,1 T C. 3 =2,1,2 TD. 4 =2,1,-2 T解析:解析:因 A 2 = 8.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:四个选项的矩阵,特征值均为 1,1,2,能相似于对角阵的矩阵,要求对应二重特征值 1 = 2 =1,有两个线性无关特征向量对(C)而言,因 二、填空题(总题数:5,分数:10.00)9.设 A 是 3 阶矩阵,A=3,且满足A 2 +2A=0,2A 4 +A=0,则 A * 的特征值

14、是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:AA+2E=0,因A=3,则A+2E=0,故 A 有特征值 1 =-2 又 因A=3= 1 2 3 ,故 3 =3 A=, A * A=A * , A * 故 A * 有特征值 10.设 A 是 N 阶实对称阵, 1 , 2 , n 是 A 的 n 个互不相同的特征值, 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量,则矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0, 2 , 3 , n)解析:解析:因 A 是实对称阵, 1 , 2 , n 互不相同,对应的特征向量 1 , 2 , n 相互正交,故

15、11.矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:=4)解析:解析:因 或有 AX=4X,即12.设 A 是 n 阶矩阵, 是 A 的 r 重特征根,A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个,则 k 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1kr)解析:13.与 1 =1,2,3,- T , 2 =0,1,1,2 T , 3 =2,1,3,0 T 都正交的单位向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设 =x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 T ,那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换

16、,有 故 n-r(A)=4-3=1,则 Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为-1,-1,1,0 T , 将其单位化,得 三、解答题(总题数:12,分数:34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:15.设 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E-A= 1 =0, 2 = 3 =9 )解析:16.证明:AB,其中 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 知,A 的全部特征值是 1,2,n,互不相同,故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于 1 =1 时,( 1 E-A)X=0,有特征向量 1 =1,0,0 T ; 2 =2

17、时,( 2 E-A)X=0,有特征向量 2 =0,1,0 T ; =n 时,(E-A)X=0,有特征向量=0,0,1 T 故有 A n =n n ,A n-1 =(n-1) n-1 ,A 1 = 1 , 即 A n , n-1 , 1 =n n ,(n-1) n-1 , 1 = n , n-1 , 1 故得可逆阵 )解析:17.设 A 是 n 阶矩阵,满足 A 2 =A,且 r(A)=r(0rn)证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方法一 A 2 =A,A 的特征值的取值为 1,0,由 A-A 2 -A(E-A)=O 知 r(A)+r(E-A)n, r(A)+r(E-A)r(A+

18、E-A)=r(E)=n, 故 r(A)+r(E-A)=n,r(A)=r,从而 r(E-A)=n-r 对 =1,(E-A)X=0,因 r(E-A)=n-r,故有 r 个线性无关特征向量,设为 1 , 2 , r ; 对 =0,(0E-A)X=0,即 AX=0,因 r(A)=r,有 n-r 个线性无关特征向量,设为 r+1 , r+2 , n 故存在可逆阵 P= 1 , 2 , n ,使得 P -1 AP= 方法二 r(A)=r,A 有 r 个列向量线性无关,设为前 r 列,将 A 按列分块,有 A 2 =A 1 , 2 , n = 1 , 2 , n =A, 即 A i = i ,i=1,2,r

19、,故 =1 至少是 r 重根,又 r(A)=r,AX=0 有 n-r 个线性无关解,设为 r+1 , r+2 , n ,即 A j =0,j=r+1,n故 =0 是 A 的特征值, j ,j=r+1,n 是对应的特征向量令 P= 1 , 2 , r , r+1 , n ,有 P -1 AP= )解析:18.设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 有 n 个互不相同的特征值,且 AB=BA证明:B 相似于对角阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 有 n 个互不相同的特征值,故存在可逆阵 P,使得 P -1 AP=diag( 1 , 2 , n )=A 1 ,其中 i ,i=1,2,n 是 A

20、 的特征值,且 i j (ij) 又 AB=BA,故P -1 APP -1 BP=P -1 BPP -1 AP,即 A 1 P -1 BP=P -1 BPA 1 设 P -1 BP=(c ij ) nn ,则 比较对应元素 i c ij = j c ij ,即( i - j )c ij =0, i j (ij)得 c ij =0,于是 )解析:19.设 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,A= T ,求可逆阵 P,使 P -1 AP=A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)先求 A 的特征值 方法一 利用特征值的定义 设 A 的任一特征值为 ,对应于 的特征向量为 则 A= T =

21、 若 T =0,则 =0,0,故 =0; 若 T 0,式两端左乘 T , T T =( T ) T =( T ) 因 T 0,故= T = 方法二 利用 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T = A 及特征值定义式两端左乘 A,得 方法四 直接用 A 的特征方程 (2)再求 A 的对应于 的特征向量 方法一 当 =0 时, 即解方程 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0, 得特征向量为(设 a 1 0) 1 =a 2 ,-a 1 ,0,0 T , 2 =a 3 ,0,-a 1 ,0 T , n- =a n ,0,0,-a 1 T 由观察知 n =a 1 ,a

22、 2 ,a n T 方法二 因为 A= T ,=0 时,(E-A)X=- T X=0,因为满足 T X=0 的 X 必满足 T X=0,故 =0 时,对应的特征方程是 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0对应 =0 的 n-1 个特征向量为 1 =a 2 ,-a 1 ,0,0 T , 2 =a 3 ,0,-a 1 ,0 T , n-1 =a n ,0,-a 1 T = = T ,对特征矩阵 E-A= T E- T 右乘 ,得 (E-A)=( T E- T )=( T )-( T )=0, 故知 =a 1 ,a 2 ,a n T 即是所求 (3)由 1 , 2 , n ,得可

23、逆阵 P )解析:设 A=E+ T ,其中 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,=b 1 ,b 2 ,b n T 0,且 T =2(分数:4.00)(1).求 A 的特征值和特征向量;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 (E+ T )= 左乘 T , T +(E+ T )=( T + T T )=(1+ T ) T = T , 若 T 0,则 =1+ T =3;若 T =0,则由式,1 =1 时, (E-A)X=- T X= )解析:(2).求可逆矩阵 P,使得 P -1 Ap=A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:取 P= 1 , 2 , n-1 , n = )解析:设向量

24、 =a 1 ,a 2 ,a n T ,=b 1 ,b 2 ,b n T 都是非零向量,且满足条件 T =0,记 n 阶矩阵 A= T ,求:(分数:6.00)(1).A 2 ;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A= T 和 T =0,有 A 2 =AA-( T )( T )=( T ) T =( T ) T =( T ) T O,即 A 是 n 阶幂零阵(A 2 =O)解析:(2).A 的特征值和特征向量;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方法一 利用(1)A 2 =O 的结果设 A 的任一特征值为 ,对应于 的特征向量为 ,则 A= 两边左乘 A,得 A 2 =A= 2

25、因 A 2 =O,所以 2 =0,0,故=0,即矩阵 A 的全部特征值为 0 方法二 直接用特征值的定义 A= T =, 由式若 T =0,则 =0,0,得 =0 若 T 0,式两端左乘 T ,得 T T =( T ) T =0.( T )= T ,得 =0, 故 A 的全部特征值为 0 方法三 利用特征方程E-A=0 因右端行列式中每一列的第 2 子列均成比例,故将行列式拆成 2 n 个行列式时,凡取两列或两列以上第 2 子列的行列式均为零,不为零的行列式只有 n+1 个,它们是 方程组 Ax=0 的非零解即为 A 的特征向量不妨设 a 1 0,b 1 0,有 则 A 的对应于特征值 0 的

26、特征向量为: )解析:(3).A 能否相似于对角阵,说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 不能相似于对角阵,因 0,0,故 A= T O,r(A)=r0(其实 r(A)=1,为什么?)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n-rn 个,故 A 不能对角化)解析:设 a 0 ,a 1 ,a n-1 是 n 个实数,方阵 (分数:4.00)(1).若 是 A 的特征值,证明:=1, 2 , T 是 A 的对应于特征值 的特征向量;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 是 A 的特征值,则 应满足E-A=0,即 将第 2 列乘 ,第 3 列乘 ,第 n

27、列乘 加到第 1 列,再按第 1 列展开,得 )解析:(2).若 A 有 n 个互异的特征值 1 , 2 , n ,求可逆阵 P,使 p -1 AP=A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 1 , 2 , n 互异,故特征向量 1 , 2 , n 线性无关,取可逆阵 P= 1 , 2 , n ,得 )解析:20.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A,B 均是实对称阵,均可相似于对角阵,由于 对换E-A的 1,2 列和1,2 行,得 )解析:设 A 是三阶矩阵, 1 =1, 2 =2, 3 =3 是 A 的特征值,对应的特征向量分别是 1 =E2,2,-1 T , 2 =-1

28、,2,2 T , 3 =2,-1,2 T 又 =1,2,3 T 计算:(分数:4.00)(1).A n 1 ;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 A 1 = 1 1 ,故 )解析:(2).A n (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用 A i = i i 有 ,将 表成 1 , 2 , 3 的线性组合设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 , 即 解得 )解析:已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:4.00)(1).写出二次型 f 的矩阵表达式;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型的矩阵 A= )解析:(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 的特征多项式A-E=-(6+)(1-)(6-),则 A 的特征值 1 =-6, 2 =1, 3 =6 1 =-6 对应的正交单位化特征向量 p 1 = 2 =1 对应的正交单位化特征向量 p 2 = 3 =6 对应的正交单位化特征向量 p 3 = 令正交矩阵 P=p 1 ,p 2 ,p 3 = 所求正交变换 )解析:

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