1、考研数学一（线性代数）-试卷 36 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似3.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A
2、 * 的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量4.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A * 的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12C.2，4，6D.8，16，245.已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能6.已知 1 ， 2 是方程(2E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列
3、向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1 - 2D. 1 + 27.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，-2，1 TC. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，-2 T8.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 A 是 3 阶矩阵，A=3，且满足A 2 +2A=0，2A 4 +A=0，则 A * 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 是 N 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的
4、特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_11.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_13.与 1 =1，2，3，- T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 A= （分数：2.00）_16.证明：AB，
5、其中 （分数：2.00）_17.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)证明： （分数：2.00）_18.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_19.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A（分数：2.00）_设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2（分数：4.00）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 A
6、p=A（分数：2.00）_设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求：（分数：6.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_(2).A 的特征值和特征向量；（分数：2.00）_(3).A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_设 a 0 ，a 1 ，a n-1 是 n 个实数，方阵 （分数：4.00）(1).若 是 A 的特征值，证明：=1， 2 ， T 是 A 的对应于特征值 的特征向量；（分数：2.00）_(2).若 A 有 n 个互异的特征值 1 ， 2 ， n ，求可逆阵 P
7、，使 p -1 AP=A（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =E2，2，-1 T ， 2 =-1，2，2 T ， 3 =2，-1，2 T 又 =1，2，3 T 计算：（分数：4.00）(1).A n 1 ；（分数：2.00）_(2).A n （分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）(1).写出二次型 f 的矩阵表达式；（分数：2.00）_(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_考研数学一（线
8、性代数）-试卷 36 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似 解析：解析：A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，则 tE-B=tE-P -1 AP=P -1 (tE)P-P -1 AP=
9、P -1 (tE-A)P，即 tE-A 与 tE-B 相似，选(D)对于(A)：由 E-A=E-B，有 A=B；对于(B)：A 与 B 相似，则A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与 B 不一定能够相似对角化3.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A * 的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量 解析：解析：矩阵 A T 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同
10、，故(A)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A * 的特征向量这是由于 但反之， 为 A * 的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n-1 时，A * =O，此时，任意 n 维非零列向量都是 A * 的特征向量，故 A * 的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A 2 的特征向量这是由于 A 2 =A(A)=A= 2 但反之，若 为 A 2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A 1 = 1 ，A 2 =- 2 ，其中 1 ， 2 0此时有 A 2 ( 1 + 2 )=
11、A 2 1 +A 2 2 = 1 + 2 ，可知 1 + 2 为 A 2 的特征向量但 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1 + 2 不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 4.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A * 的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12 C.2，4，6D.8，16，24解析：解析：2A * 的特征值是 5.已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特
12、征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：解析：A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E-A)=1 (0E-A)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：6.已知 1 ， 2 是方程(2E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1 - 2 D. 1 + 2解析：解析：因 1 2 ，故 1 - 2 0，且仍有关系 A( 1 - 2 )= 1 - 2 =( 1 - 2 )，故 1 - 2 是 A 的特征向量 而(A) 1 ，(B) 2 ，(
13、D) 1 + 2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量7.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，-2，1 T C. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，-2 T解析：解析：因 A 2 = 8.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1 = 2 =1，有两个线性无关特征向量对(C)而言，因 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 A 是 3 阶矩阵，A=3，且满足A 2 +2A=0，2A 4 +A=0，则 A * 的特征值
14、是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：AA+2E=0，因A=3，则A+2E=0，故 A 有特征值 1 =-2 又 因A=3= 1 2 3 ，故 3 =3 A=， A * A=A * ， A * 故 A * 有特征值 10.设 A 是 N 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， 2 ， 3 ， n）解析：解析：因 A 是实对称阵， 1 ， 2 ， n 互不相同，对应的特征向量 1 ， 2 ， n 相互正交，故
15、11.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=4）解析：解析：因 或有 AX=4X，即12.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1kr）解析：13.与 1 =1，2，3，- T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 T ，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换
16、，有 故 n-r(A)=4-3=1，则 Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为-1，-1，1，0 T ， 将其单位化，得 三、解答题(总题数：12，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A= 1 =0， 2 = 3 =9 )解析：16.证明：AB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于 1 =1 时，( 1 E-A)X=0，有特征向量 1 =1，0，0 T ； 2 =2
17、时，( 2 E-A)X=0，有特征向量 2 =0，1，0 T ； =n 时，(E-A)X=0，有特征向量=0，0，1 T 故有 A n =n n ，A n-1 =(n-1) n-1 ，A 1 = 1 ， 即 A n ， n-1 ， 1 =n n ，(n-1) n-1 ， 1 = n ， n-1 ， 1 故得可逆阵 )解析：17.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 A 2 =A，A 的特征值的取值为 1，0，由 A-A 2 -A(E-A)=O 知 r(A)+r(E-A)n， r(A)+r(E-A)r(A+
18、E-A)=r(E)=n， 故 r(A)+r(E-A)=n，r(A)=r，从而 r(E-A)=n-r 对 =1，(E-A)X=0，因 r(E-A)=n-r，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1 ， 2 ， r ； 对 =0，(0E-A)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n-r 个线性无关特征向量，设为 r+1 ， r+2 ， n 故存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ，使得 P -1 AP= 方法二 r(A)=r，A 有 r 个列向量线性无关，设为前 r 列，将 A 按列分块，有 A 2 =A 1 ， 2 ， n = 1 ， 2 ， n =A， 即 A i = i ，i=1，2，r
19、，故 =1 至少是 r 重根，又 r(A)=r，AX=0 有 n-r 个线性无关解，设为 r+1 ， r+2 ， n ，即 A j =0，j=r+1，n故 =0 是 A 的特征值， j ，j=r+1，n 是对应的特征向量令 P= 1 ， 2 ， r ， r+1 ， n ，有 P -1 AP= )解析：18.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P -1 AP=diag( 1 ， 2 ， n )=A 1 ，其中 i ，i=1，2，n 是 A
20、 的特征值，且 i j (ij) 又 AB=BA，故P -1 APP -1 BP=P -1 BPP -1 AP，即 A 1 P -1 BP=P -1 BPA 1 设 P -1 BP=(c ij ) nn ，则 比较对应元素 i c ij = j c ij ，即( i - j )c ij =0， i j (ij)得 c ij =0，于是 )解析：19.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求 A 的特征值 方法一 利用特征值的定义 设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 则 A= T =
21、 若 T =0，则 =0，0，故 =0； 若 T 0，式两端左乘 T ， T T =( T ) T =( T ) 因 T 0，故= T = 方法二 利用 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T = A 及特征值定义式两端左乘 A，得 方法四 直接用 A 的特征方程 (2)再求 A 的对应于 的特征向量 方法一 当 =0 时， 即解方程 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0， 得特征向量为(设 a 1 0) 1 =a 2 ，-a 1 ，0，0 T ， 2 =a 3 ，0，-a 1 ，0 T ， n- =a n ，0，0，-a 1 T 由观察知 n =a 1 ，a
22、 2 ，a n T 方法二 因为 A= T ，=0 时，(E-A)X=- T X=0，因为满足 T X=0 的 X 必满足 T X=0，故 =0 时，对应的特征方程是 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0对应 =0 的 n-1 个特征向量为 1 =a 2 ，-a 1 ，0，0 T ， 2 =a 3 ，0，-a 1 ，0 T ， n-1 =a n ，0，-a 1 T = = T ，对特征矩阵 E-A= T E- T 右乘 ，得 (E-A)=( T E- T )=( T )-( T )=0， 故知 =a 1 ，a 2 ，a n T 即是所求 (3)由 1 ， 2 ， n ，得可
23、逆阵 P )解析：设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2（分数：4.00）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 (E+ T )= 左乘 T ， T +(E+ T )=( T + T T )=(1+ T ) T = T ， 若 T 0，则 =1+ T =3；若 T =0，则由式，1 =1 时， (E-A)X=- T X= )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 Ap=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 P= 1 ， 2 ， n-1 ， n = )解析：设向量
24、 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求：（分数：6.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A= T 和 T =0，有 A 2 =AA-( T )( T )=( T ) T =( T ) T =( T ) T O，即 A 是 n 阶幂零阵(A 2 =O)解析：(2).A 的特征值和特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 利用(1)A 2 =O 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A，得 A 2 =A= 2
25、因 A 2 =O，所以 2 =0，0，故=0，即矩阵 A 的全部特征值为 0 方法二 直接用特征值的定义 A= T =， 由式若 T =0，则 =0，0，得 =0 若 T 0，式两端左乘 T ，得 T T =( T ) T =0.( T )= T ，得 =0， 故 A 的全部特征值为 0 方法三 利用特征方程E-A=0 因右端行列式中每一列的第 2 子列均成比例，故将行列式拆成 2 n 个行列式时，凡取两列或两列以上第 2 子列的行列式均为零，不为零的行列式只有 n+1 个，它们是 方程组 Ax=0 的非零解即为 A 的特征向量不妨设 a 1 0，b 1 0，有 则 A 的对应于特征值 0 的
26、特征向量为： )解析：(3).A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A= T O，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n-rn 个，故 A 不能对角化)解析：设 a 0 ，a 1 ，a n-1 是 n 个实数，方阵 （分数：4.00）(1).若 是 A 的特征值，证明：=1， 2 ， T 是 A 的对应于特征值 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是 A 的特征值，则 应满足E-A=0，即 将第 2 列乘 ，第 3 列乘 ，第 n
27、列乘 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得 )解析：(2).若 A 有 n 个互异的特征值 1 ， 2 ， n ，求可逆阵 P，使 p -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ， 2 ， n 互异，故特征向量 1 ， 2 ， n 线性无关，取可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ，得 )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于 对换E-A的 1，2 列和1，2 行，得 )解析：设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =E2，2，-1 T ， 2 =-1
28、，2，2 T ， 3 =2，-1，2 T 又 =1，2，3 T 计算：（分数：4.00）(1).A n 1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 1 = 1 1 ，故 )解析：(2).A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用 A i = i i 有 ，将 表成 1 ， 2 ， 3 的线性组合设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ， 即 解得 )解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）(1).写出二次型 f 的矩阵表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵 A= )解析：(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式A-E=-(6+)(1-)(6-)，则 A 的特征值 1 =-6， 2 =1， 3 =6 1 =-6 对应的正交单位化特征向量 p 1 = 2 =1 对应的正交单位化特征向量 p 2 = 3 =6 对应的正交单位化特征向量 p 3 = 令正交矩阵 P=p 1 ，p 2 ，p 3 = 所求正交变换 )解析：
