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【考研类试卷】考研数学一(线性代数)-试卷44及答案解析.doc

1、考研数学一(线性代数)-试卷 44 及答案解析(总分:78.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 为两个 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.ABABB.若AB0,则 A0 或 B0C.ABABD.ABAB3.设 1 , 2 , 3 , 1 , 2 都是四维列向量,且A 1 , 2 , 3 , 1 m,B 1 , 2 , 2 , 3 n,则 3 , 2 , 1 , 1 2 为( )(分数:2.00)A.mnB.m 一 nC.一(mn)D.n 一

2、 m4.设 A 是 mn 阶矩阵,B 是 nm 阶矩阵,则( )(分数:2.00)A.当 mn 时,必有AB0B.当 mn 时,必有AB0C.当 nm 时,必有AB0D.当 nm 时,必有AB05.设 A,B,AB,A 1 B 1 皆为可逆矩阵,则(A 1 B 1 ) 1 等于( )(分数:2.00)A.ABB.A 1 B 1C.A(AB) 1 BD.(AB) 16.设 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.(AB) * A * B *B.(AB) * B * A *C.(AB) * A * 一 B *D.(AB) * 一定可逆7.设 A 为 n 阶矩阵,k 为常数,则(

3、kA) * 等于( )(分数:2.00)A.kA *B.k n A *C.k n1 A *D.k n(n1) A *8.设 A 为 n 阶矩阵,A 2 A,则下列成立的是( )(分数:2.00)A.A0B.AEC.若 A 不可逆,则 A0D.若 A 可逆,则 AE9.设 A 为 mn 阶矩阵,且 r(A)mn,则( )(分数:2.00)A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 10.设 (分数:2.00)A.m3,n2B.m3,n5C.m2,n3D.m2,n211.

4、(分数:2.00)A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1D.P 2 A 1 P 112.设 (分数:2.00)A.当 t6 时,r(Q)1B.当 t6 时,r(Q)2C.当 t6 时,r(Q)1D.当 t6 时,r(Q)2二、填空题(总题数:9,分数:18.00)13. (分数:2.00)填空项 1:_14.设 A,B 都是三阶矩阵,A 相似于 B,且EAE 一 2AE 一 3A0,则B 1 2E 1(分数:2.00)填空项 1:_15.设 A 为三阶正交阵,且A0,BA一 4,则EAB T 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设 A 为 n 阶矩阵

5、,且Aa0,则(kA) * 1(分数:2.00)填空项 1:_17.设 A,B 都是三阶矩阵, (分数:2.00)填空项 1:_18.设矩阵 A,B 满足 A * BA2BA 一 8E,且 (分数:2.00)填空项 1:_19. (分数:2.00)填空项 1:_20.设 A (分数:2.00)填空项 1:_21.设 A (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:36.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.设 A 是正交矩阵,且A0证明:EA0(分数:2.00)_24.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵,且A中每个元素 a ij 与其代数余子

6、式 A ij 相等证明:A0(分数:2.00)_25. (分数:2.00)_26. (分数:2.00)_27. (分数:2.00)_28.设 A,B 为三阶矩阵,且 AB,且 1 1, 2 2 为 A 的两个特征值,B2,求 (分数:2.00)_设 AE 一 T ,其中 为 n 维非零列向量证明:(分数:4.00)(1).A 2 A 的充分必要条件是 为单位向量;(分数:2.00)_(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵(分数:2.00)_设 A 为 n 阶非奇异矩阵,a 是 n 维列向量,b 为常数, (分数:4.00)(1).计算 PQ;(分数:2.00)_(2).证明 PQ 可逆的充

7、分必要条件是 T A 1 b(分数:2.00)_29.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T C 1 ,且 (分数:2.00)_30.设 , 是 n 维非零列向量,A T T 证明:r(A)2(分数:2.00)_31.设 是 n 维单位列向量,AE 一 T 证明:r(A)n(分数:2.00)_32.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A * ) (分数:2.00)_33.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ,使得 A T (分数:2.00)_34.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)n 一 1证明:存在常数 k,使得(A * ) 2 kA * (分数

8、:2.00)_35.设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(A * ) * A n2 A(分数:2.00)_36.设 A,B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵,且 AB0证明:r(A)r(B)n(分数:2.00)_考研数学一(线性代数)-试卷 44 答案解析(总分:78.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B 为两个 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.ABABB.若AB0,则 A0 或 B0C.ABABD.ABAB 解析:解析:(A)、(C)

9、显然不对,设3.设 1 , 2 , 3 , 1 , 2 都是四维列向量,且A 1 , 2 , 3 , 1 m,B 1 , 2 , 2 , 3 n,则 3 , 2 , 1 , 1 2 为( )(分数:2.00)A.mnB.m 一 nC.一(mn)D.n 一 m 解析:解析: 3 , 2 , 1 , 1 2 3 , 2 , 1 , 1 3 , 2 , 1 , 2 一 1 , 2 , 3 , 1 1 , 2 , 3 , 2 一 1 , 2 , 3 , 1 1 , 2 , 2 , 3 n 一 m, 选(D)4.设 A 是 mn 阶矩阵,B 是 nm 阶矩阵,则( )(分数:2.00)A.当 mn 时,

10、必有AB0B.当 mn 时,必有AB0 C.当 nm 时,必有AB0D.当 nm 时,必有AB0解析:解析:AB 为 m 阶矩阵,因为 r(A)minm,n,r(B)minm,n,且 r(AB)minr(A),r(B),所以 r(AB)minm,n,故当 mn 时,r(AB)nm,于是AB0,选(B)5.设 A,B,AB,A 1 B 1 皆为可逆矩阵,则(A 1 B 1 ) 1 等于( )(分数:2.00)A.ABB.A 1 B 1C.A(AB) 1 B D.(AB) 1解析:解析:A(AB) 1 B(A 1 B 1 )一(AB)A 1 1 (BA 1 E)(BA 1 E) 1 (BA 1 E

11、)E,所以选(C)6.设 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.(AB) * A * B *B.(AB) * B * A * C.(AB) * A * 一 B *D.(AB) * 一定可逆解析:解析:因为(AB) * AB(AB) 1 ABB 1 A 1 BB 1 ?AA 1 B * A * ,所以选(B)7.设 A 为 n 阶矩阵,k 为常数,则(kA) * 等于( )(分数:2.00)A.kA *B.k n A *C.k n1 A * D.k n(n1) A *解析:解析:因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式,而余子式为 n 一 1 阶子式,所以(kA

12、) * k n1 A * ,选(C)8.设 A 为 n 阶矩阵,A 2 A,则下列成立的是( )(分数:2.00)A.A0B.AEC.若 A 不可逆,则 A0D.若 A 可逆,则 AE 解析:解析:因为 A 2 A,所以 A(EA)0,由矩阵秩的性质得 r(A)r(EA)n,若 A 可逆,则 r(A)n,所以 r(EA)0,AE,选(D)9.设 A 为 mn 阶矩阵,且 r(A)mn,则( )(分数:2.00)A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 解析:解析:显

13、然由 r(A)mn,得 r(A)10.设 (分数:2.00)A.m3,n2B.m3,n5 C.m2,n3D.m2,n2解析:解析:11. (分数:2.00)A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1 D.P 2 A 1 P 1解析:解析:BAE 14 E 23 或 BAE 23 E 14 即 BAP 1 P 2 或 BAP 2 P 1 ,所以 B 1 P 2 1 P 1 1 A 1 或 B 1 P 1 1 P 2 1 A 1 ,注意到 E ij 1 E ij ,于是 B 1 P 2 P 1 A 1 或 B 1 P 1 P 2 A 1 ,选(C)12.设 (分

14、数:2.00)A.当 t6 时,r(Q)1B.当 t6 时,r(Q)2C.当 t6 时,r(Q)1 D.当 t6 时,r(Q)2解析:解析:因为 Q0,所以 r(Q)1,又由 PQ0 得 r(P)r(Q)3,当 t6 时,r(P)2,则 r(Q)1,于是 r(Q)1,选(C)二、填空题(总题数:9,分数:18.00)13. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:A 31 A 32 A 33 A 31 A 32 A 33 0A 34 0A 35 14.设 A,B 都是三阶矩阵,A 相似于 B,且EAE 一 2AE 一 3A0,则B 1 2E 1(分数:2.00)

15、填空项 1:_ (正确答案:正确答案:60)解析:解析:因为EAE 一 2AE 一 3A0,所以 A 的三个特征值为 ,又 AB,所以 B 的特征值为 15.设 A 为三阶正交阵,且A0,BA一 4,则EAB T 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:A0 16.设 A 为 n 阶矩阵,且Aa0,则(kA) * 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:K n(n1) a n1 )解析:解析:因为(kA) * K n1 A * ,且A * A n1 ,所以(kA) * k n1 A * k n(n1) A N1 K n(n1) a n117.

16、设 A,B 都是三阶矩阵, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:A一 3,A * AA 1 一 3A 1 ,则(A * ) 1 BABA2A 2 化为 ABA2A 2 ,注意到 A 可逆,得 BA2A 或一 B3BA6A,则 B一 6A(E3A) 1 , 18.设矩阵 A,B 满足 A * BA2BA 一 8E,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 A * BA2BA 一 8E,得 AA * BA2ABA 一 8A,即一 2BA2ABA 一 8A,于是一 2B2AB 一8E,(AE)B4E,所以 B4(AE) 1 1

17、9. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:20.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:6)解析:解析:因为 r(B * )1,所以 r(B)2,又因为 AB0,所以 r(A)r(B)3,从而 r(A)1,又r(A)1,r(A)1,于是 t621.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:BA0r(A)r(B)3,因为 r(A)2,所以 r(B)1,又因为 B0,所以 r(B)1三、解答题(总题数:17,分数:36.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:23.设 A 是

18、正交矩阵,且A0证明:EA0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 是正交矩阵,所以 A T AE,两边取行列式得A 2 1,因为A0,所以A一 1。 由EAA T AA(A T E)AAA T E一A T E一(AE) T 一EA 得EA0)解析:24.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵,且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明:A0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 是非零矩阵,所以 A 至少有一行不为零,设 A 的第 k 行是非零行,则 Aa k1 A k1 a k2 A k2 a kn A kn a k1 2 a k2 2 a kn

19、2 0)解析:25. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.设 A,B 为三阶矩阵,且 AB,且 1 1, 2 2 为 A 的两个特征值,B2,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AB,所以 A,B 特征值相同,设另一特征值为 3 ,由B 1 2 3 2 得 3 1AE 的特征值为 2,3,2,(AE) 1 的特征值为 ,则(AE) 1 因为 B 的特征值为 1,2,1,所以 B * 的特征值为 ,即为 2,1,2,于是B * 4,(2B)

20、 * 4B * 4 3 B * 256,故 )解析:设 AE 一 T ,其中 为 n 维非零列向量证明:(分数:4.00)(1).A 2 A 的充分必要条件是 为单位向量;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 T k,则 A 2 (E 一 T )(E 一 T )E 一 2 T k T ,因为 为非零 向量,所以 T 0,于是 A 2 A 的充分必要条件是 k1,而 T 2 ,所以 A 2 A 的充要条件是 为单位向量)解析:(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 是单位向量时,由 A 2 A 得 r(A)r(EA)n,因为 E 一 A T

21、 0,所以 r(EA)1,于是 r(A)n 一 1n,故 A 是不可逆矩阵)解析:设 A 为 n 阶非奇异矩阵,a 是 n 维列向量,b 为常数, (分数:4.00)(1).计算 PQ;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A 1 b(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:PQA 2 (b 一 T A 1 ),PQ 可逆的充分必要条件是PQ0,即 T A 1 b)解析:29.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T C 1 ,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(2EC 1 B)A T C 1 ,得 A T (2EC 1

22、 B) 1 C 1 C(2EC 1 B)1 (2CB) 1 )解析:30.设 , 是 n 维非零列向量,A T T 证明:r(A)2(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:r(A)r( T T )r( T )r( T ),而 r( T )r()1,r( T )r()1,所以 r(A)r( T )r( T )2)解析:31.设 是 n 维单位列向量,AE 一 T 证明:r(A)n(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 2 (E 一 T )(E 一 T )E 一 2 T T . T ,因为 为单位列向量,所以 T 1,于是 A 2 A由 A(EA)0 得 r(A)r(EA)n,又由 r(A

23、)r(EA)rA(EA)r(E)n,得 r(A)r(EA)n因为 E 一 A T 0,所以 r(EA)r( T )r()1,故 r(A)n 一 ln)解析:32.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A * ) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:AA * A * AAE 当 r(A)n 时,A0,因为A * A n1 ,所以A * 0,从而 r(A * )n; 当 r(A)n 一 1 时,由于 A 至少有一个 n 一 1 阶子式不为零,所以存在一个 M ij 0,进而 A ij 0,于是 A * 0,故 r(A * )1,又因为A0,所以 AA * AE0,根据矩 阵秩的性质有 r(A)r

24、(A * )n,而 r(A)n 一 1,于是得 r(A * )1,故 r(A * )1; 当 r(A)n 一 1 时,由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零,所以 A * 0,故 r(A * )0)解析:33.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ,使得 A T (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 r(A)1,则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例, )解析:34.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)n 一 1证明:存在常数 k,使得(A * ) 2 kA * (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:35.设 A 是 n

25、(n3)阶矩阵,证明:(A * ) * A n2 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(A * ) * A * A * EA n1 E,当 r(A)n 时,r(A * )n,A * AA 1 ,则 (A * ) * A * (A * ) * AA 1 A n1 E,故(A * ) * A n2 A当r(A)n 一 1 时,A0,r(A * )1,r(A * ) * 0,即(A * ) * 0,原式显然成立当 r(A)n 一 1 时,A0,r(A * )0,(A * ) * 0,原式也成立)解析:36.设 A,B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵,且 AB0证明:r(A)r(B)n(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 B( 1 , 2 , s ),因为 AB0,所以 B 的列向量组 1 , 2 , s 为方程组 AX0 的一组解,而方程组 AX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n一 r(A),所以向量组 1 , 2 , s 的秩不超过 n 一 r(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等,因此 r(B)nr(A),即 r(A)r(B)n)解析:

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