1、考研数学一（线性代数）-试卷 44 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABABB.若AB0，则 A0 或 B0C.ABABD.ABAB3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A 1 ， 2 ， 3 ， 1 m，B 1 ， 2 ， 2 ， 3 n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 为( )（分数：2.00）A.mnB.m 一 nC.一(mn)D.n 一
2、 m4.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB0C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB05.设 A，B，AB，A 1 B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 B 1 ) 1 等于( )（分数：2.00）A.ABB.A 1 B 1C.A(AB) 1 BD.(AB) 16.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(AB) * A * B *B.(AB) * B * A *C.(AB) * A * 一 B *D.(AB) * 一定可逆7.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(
3、kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A *D.k n(n1) A *8.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A0B.AEC.若 A 不可逆，则 A0D.若 A 可逆，则 AE9.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 10.设 （分数：2.00）A.m3，n2B.m3，n5C.m2，n3D.m2，n211.
4、（分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1D.P 2 A 1 P 112.设 （分数：2.00）A.当 t6 时，r(Q)1B.当 t6 时，r(Q)2C.当 t6 时，r(Q)1D.当 t6 时，r(Q)2二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13. （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EAE 一 2AE 一 3A0，则B 1 2E 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为三阶正交阵，且A0，BA一 4，则EAB T 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 为 n 阶矩阵
5、，且Aa0，则(kA) * 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A，B 都是三阶矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_18.设矩阵 A，B 满足 A * BA2BA 一 8E，且 （分数：2.00）填空项 1:_19. （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A （分数：2.00）填空项 1:_21.设 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.设 A 是正交矩阵，且A0证明：EA0（分数：2.00）_24.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子
6、式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 1， 2 2 为 A 的两个特征值，B2，求 （分数：2.00）_设 AE 一 T ，其中 为 n 维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_(2).证明 PQ 可逆的充
7、分必要条件是 T A 1 b（分数：2.00）_29.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T C 1 ，且 （分数：2.00）_30.设 ， 是 n 维非零列向量，A T T 证明：r(A)2（分数：2.00）_31.设 是 n 维单位列向量，AE 一 T 证明：r(A)n（分数：2.00）_32.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * ) （分数：2.00）_33.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A T （分数：2.00）_34.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)n 一 1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 kA * （分数
8、：2.00）_35.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * A n2 A（分数：2.00）_36.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB0证明：r(A)r(B)n（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 44 答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABABB.若AB0，则 A0 或 B0C.ABABD.ABAB 解析：解析：(A)、(C)
9、显然不对，设3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A 1 ， 2 ， 3 ， 1 m，B 1 ， 2 ， 2 ， 3 n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 为( )（分数：2.00）A.mnB.m 一 nC.一(mn)D.n 一 m 解析：解析： 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 3 ， 2 ， 1 ， 1 3 ， 2 ， 1 ， 2 一 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 ， 2 一 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 2 ， 3 n 一 m， 选(D)4.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，
10、必有AB0B.当 mn 时，必有AB0 C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB0解析：解析：AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是AB0，选(B)5.设 A，B，AB，A 1 B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 B 1 ) 1 等于( )（分数：2.00）A.ABB.A 1 B 1C.A(AB) 1 B D.(AB) 1解析：解析：A(AB) 1 B(A 1 B 1 )一(AB)A 1 1 (BA 1 E)(BA 1 E) 1 (BA 1 E
11、)E，所以选(C)6.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(AB) * A * B *B.(AB) * B * A * C.(AB) * A * 一 B *D.(AB) * 一定可逆解析：解析：因为(AB) * AB(AB) 1 ABB 1 A 1 BB 1 ?AA 1 B * A * ，所以选(B)7.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A * D.k n(n1) A *解析：解析：因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n 一 1 阶子式，所以(kA
12、) * k n1 A * ，选(C)8.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A0B.AEC.若 A 不可逆，则 A0D.若 A 可逆，则 AE 解析：解析：因为 A 2 A，所以 A(EA)0，由矩阵秩的性质得 r(A)r(EA)n，若 A 可逆，则 r(A)n，所以 r(EA)0，AE，选(D)9.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 解析：解析：显
13、然由 r(A)mn，得 r(A)10.设 （分数：2.00）A.m3，n2B.m3，n5 C.m2，n3D.m2，n2解析：解析：11. （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1 D.P 2 A 1 P 1解析：解析：BAE 14 E 23 或 BAE 23 E 14 即 BAP 1 P 2 或 BAP 2 P 1 ，所以 B 1 P 2 1 P 1 1 A 1 或 B 1 P 1 1 P 2 1 A 1 ，注意到 E ij 1 E ij ，于是 B 1 P 2 P 1 A 1 或 B 1 P 1 P 2 A 1 ，选(C)12.设 （分
14、数：2.00）A.当 t6 时，r(Q)1B.当 t6 时，r(Q)2C.当 t6 时，r(Q)1 D.当 t6 时，r(Q)2解析：解析：因为 Q0，所以 r(Q)1，又由 PQ0 得 r(P)r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)1，选(C)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 31 A 32 A 33 A 31 A 32 A 33 0A 34 0A 35 14.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EAE 一 2AE 一 3A0，则B 1 2E 1（分数：2.00）
15、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为EAE 一 2AE 一 3A0，所以 A 的三个特征值为 ，又 AB，所以 B 的特征值为 15.设 A 为三阶正交阵，且A0，BA一 4，则EAB T 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：A0 16.设 A 为 n 阶矩阵，且Aa0，则(kA) * 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：K n(n1) a n1 ）解析：解析：因为(kA) * K n1 A * ，且A * A n1 ，所以(kA) * k n1 A * k n(n1) A N1 K n(n1) a n117.
16、设 A，B 都是三阶矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A一 3，A * AA 1 一 3A 1 ，则(A * ) 1 BABA2A 2 化为 ABA2A 2 ，注意到 A 可逆，得 BA2A 或一 B3BA6A，则 B一 6A(E3A) 1 ， 18.设矩阵 A，B 满足 A * BA2BA 一 8E，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * BA2BA 一 8E，得 AA * BA2ABA 一 8A，即一 2BA2ABA 一 8A，于是一 2B2AB 一8E，(AE)B4E，所以 B4(AE) 1 1
17、9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：20.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 r(B * )1，所以 r(B)2，又因为 AB0，所以 r(A)r(B)3，从而 r(A)1，又r(A)1，r(A)1，于是 t621.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：BA0r(A)r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 B0，所以 r(B)1三、解答题(总题数：17，分数：36.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.设 A 是
18、正交矩阵，且A0证明：EA0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T AE，两边取行列式得A 2 1，因为A0，所以A一 1。 由EAA T AA(A T E)AAA T E一A T E一(AE) T 一EA 得EA0)解析：24.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 Aa k1 A k1 a k2 A k2 a kn A kn a k1 2 a k2 2 a kn
19、2 0)解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 1， 2 2 为 A 的两个特征值，B2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3 ，由B 1 2 3 2 得 3 1AE 的特征值为 2，3，2，(AE) 1 的特征值为 ，则(AE) 1 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B * 的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B * 4，(2B)
20、 * 4B * 4 3 B * 256，故 )解析：设 AE 一 T ，其中 为 n 维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T k，则 A 2 (E 一 T )(E 一 T )E 一 2 T k T ，因为 为非零 向量，所以 T 0，于是 A 2 A 的充分必要条件是 k1，而 T 2 ，所以 A 2 A 的充要条件是 为单位向量)解析：(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 是单位向量时，由 A 2 A 得 r(A)r(EA)n，因为 E 一 A T
21、 0，所以 r(EA)1，于是 r(A)n 一 1n，故 A 是不可逆矩阵)解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A 1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PQA 2 (b 一 T A 1 )，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即 T A 1 b)解析：29.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T C 1 ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2EC 1 B)A T C 1 ，得 A T (2EC 1
22、 B) 1 C 1 C(2EC 1 B)1 (2CB) 1 )解析：30.设 ， 是 n 维非零列向量，A T T 证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)r( T T )r( T )r( T )，而 r( T )r()1，r( T )r()1，所以 r(A)r( T )r( T )2)解析：31.设 是 n 维单位列向量，AE 一 T 证明：r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 (E 一 T )(E 一 T )E 一 2 T T . T ，因为 为单位列向量，所以 T 1，于是 A 2 A由 A(EA)0 得 r(A)r(EA)n，又由 r(A
23、)r(EA)rA(EA)r(E)n，得 r(A)r(EA)n因为 E 一 A T 0，所以 r(EA)r( T )r()1，故 r(A)n 一 ln)解析：32.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * A * AAE 当 r(A)n 时，A0，因为A * A n1 ，所以A * 0，从而 r(A * )n； 当 r(A)n 一 1 时，由于 A 至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，所以存在一个 M ij 0，进而 A ij 0，于是 A * 0，故 r(A * )1，又因为A0，所以 AA * AE0，根据矩 阵秩的性质有 r(A)r
24、(A * )n，而 r(A)n 一 1，于是得 r(A * )1，故 r(A * )1； 当 r(A)n 一 1 时，由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，所以 A * 0，故 r(A * )0)解析：33.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例， )解析：34.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)n 一 1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 kA * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.设 A 是 n
25、(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * A n2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) * A * A * EA n1 E，当 r(A)n 时，r(A * )n，A * AA 1 ，则 (A * ) * A * (A * ) * AA 1 A n1 E，故(A * ) * A n2 A当r(A)n 一 1 时，A0，r(A * )1，r(A * ) * 0，即(A * ) * 0，原式显然成立当 r(A)n 一 1 时，A0，r(A * )0，(A * ) * 0，原式也成立)解析：36.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB0证明：r(A)r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B( 1 ， 2 ， s )，因为 AB0，所以 B 的列向量组 1 ， 2 ， s 为方程组 AX0 的一组解，而方程组 AX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n一 r(A)，所以向量组 1 ， 2 ， s 的秩不超过 n 一 r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)r(B)n)解析：
