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【考研类试卷】考研数学一(线性代数)-试卷8及答案解析.doc

1、考研数学一(线性代数)-试卷 8 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 均为二阶矩阵,A * ,B * 分别为 A,B 的伴随矩阵,若A=2,B=3,则分块矩阵 的伴随矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则向量组( )(分数:2.00)A. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 4 , 4 - 1 线性无关。B. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线

2、性无关。C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 - 1 线性无关。D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 - 4 , 4 - 1 线性无关。4.设 1 , 2 , 3 , 4 是四维非零列向量组,A=( 1 , 2 , 3 , 4 ),A * 为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1,0,2,0) T ,则 A * x=0 的基础解系为( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 3 。B. 1 + 2 , 2 + 3 , 1 + 3 。C. 2 , 3 , 4 。D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 。5.已知 A 是四阶

3、矩阵,A * 是 A 的伴随矩阵,若 A * 的特征值是 1,-1,2,4,那么不可逆矩阵是( )(分数:2.00)A.A-E。B.2A-E。C.A+2E。D.A-4E。6.设 A 是三阶矩阵,其特征值是 1,3,-2,相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ,若 P=( 1 ,2 3 ,- 2 ),则 P -1 AP=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.关于二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:2.00)A.是正定的。B.其矩阵可逆。C.其秩为 1。D.其秩为 2。8.设 A 为三阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z) 在正交变换下的标准方程的图形如图所示,

4、则 A 的正特征值的个数为( ) (分数:2.00)A.0。B.1。C.2。D.3。二、填空题(总题数:8,分数:16.00)9.行列式 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 , 均为三维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T = (分数:2.00)填空项 1:_11.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = (分数:2.00)填空项 1:_12.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_13.已知向量组 1 = (分数:2.00)填空项 1:_14.已知线性方程组 (分数:2.00)填空项 1:_15.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2,-1,0,1) T +k 2 (3,2,1,0)

5、 T ,则方程组 (分数:2.00)填空项 1:_16.若三维列向量 , 满足 T =2,其中 T 为 的转置,则矩阵 T 的非零特征值为 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_18.计算行列式 D n = (分数:2.00)_19.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A * 为 A 的伴随矩阵,证明:(A * ) T =(A T ) * 。(分数:2.00)_20.已知 A 是三阶矩阵, i (i=1,2,3)是三维非零列向量,令 = 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1

6、,2,3),证明:,A,A 2 线性无关。(分数:2.00)_21.已知 R 3 的两个基为 (分数:2.00)_22.已知 A、B 为三阶非零矩阵,且 A= (分数:2.00)_23.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 :ax+2by+3c=0, l 2 :bx+2cy+3a=0, l 3 :cx+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。(分数:2.00)_24.设矩阵 A= (分数:2.00)_25.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =-1, 3 =0;对应 1 , 2 的特征向量依次为 p 1 =(1,2,2) T ,p 2 =

7、(2,1,-2) T ,求 A。(分数:2.00)_26.设二次型 f= -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 (分数:2.00)_27.设 D= 为正定矩阵,其中 A,B 分别为 m 阶,n 阶对称矩阵,C 为 mn 矩阵。 ()计算 P T DP,其中 P= (分数:2.00)_考研数学一(线性代数)-试卷 8 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B 均为二阶矩阵,A * ,B * 分别为 A,B

8、 的伴随矩阵,若A=2,B=3,则分块矩阵 的伴随矩阵为( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:若矩阵 A 的行列式A0,则 A 可逆,且 A -1 = 。因为分块矩阵 的行列式 =(-1) 22 AB=23=6,即分块矩阵可逆,所以 3.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则向量组( )(分数:2.00)A. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 4 , 4 - 1 线性无关。B. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关。C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 - 1 线性无关。 D. 1 + 2 , 2 + 3

9、 , 3 - 4 , 4 - 1 线性无关。解析:解析:因向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,所以由向量组 1 , 2 , 3 , 4 到向量组 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 - 1 的过渡矩阵 A= 4.设 1 , 2 , 3 , 4 是四维非零列向量组,A=( 1 , 2 , 3 , 4 ),A * 为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1,0,2,0) T ,则 A * x=0 的基础解系为( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 3 。B. 1 + 2 , 2 + 3 , 1 + 3 。C. 2 , 3 , 4 。 D. 1 +

10、 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 。解析:解析:方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量,所以四阶方阵 A 的秩 r(A)=4-1=3,则其伴随矩阵A * 的秩 r(A * )=1,于是方程组 A * x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A * ( 1 , 2 , 3 , 4 )=A * A=AE=O,所以向量 1 , 2 , 3 , 4 都是方程组 A * x=0 的解。将(1,0,2,0) T 代入方程组 Ax=0 可得 1 +2 3 =0,这说明 可由向量组 2 , 3 , 4 线性表出,而向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩等于 3,所以向量组

11、2 , 3 , 4 必线性无关。所以选 C。 事实上,由 1 +2 3 =0 可知向量组 1 , 2 , 3 线性相关,选项 A 不正确;显然,选项 B 中的向量都能被 1 , 2 , 3 线性表出,说明向量组 1 + 2 , 2 + 3 , 1 + 3 线性相关,选项 B 不正确;而选项 D 中的向量组含有四个向量,不是基础解系,所以选型 D 也不正确。5.已知 A 是四阶矩阵,A * 是 A 的伴随矩阵,若 A * 的特征值是 1,-1,2,4,那么不可逆矩阵是( )(分数:2.00)A.A-E。B.2A-E。C.A+2E。 D.A-4E。解析:解析:因为 A * 的特征值是 1,-1,2

12、,4,所以A * =-8,又A * =A 4-1 ,因此A 3 =-8,于是A=-2。那么,矩阵 A 的特征值是:-2,2,-1, 。因此,A-E 的特征值是-3,1,-2, 6.设 A 是三阶矩阵,其特征值是 1,3,-2,相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ,若 P=( 1 ,2 3 ,- 2 ),则 P -1 AP=( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:由 A 2 =3 2 ,有 A(- 2 )=3(- 2 ),即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时,- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理,2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =-2

13、的特征向量。 当 P -1 AP=A 时,P 由 A 的特征向量构成,A 由 A 的特征值构成,且 P 与 A 的位置是对应一致的,已知矩阵 A 的特征值是 1,3,-2,故对角矩阵 A 应当由 1,3,-2 构成,因此排除选项 B、C。由于 2 3 是属于 =-2 的特征向量,所以-2 在对角矩阵 A 中应当是第二列,所以应选 A。7.关于二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:2.00)A.是正定的。B.其矩阵可逆。C.其秩为 1。 D.其秩为 2。解析:解析:二次型的矩阵8.设 A 为三阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z) 在正交变换下的标准方程的图形如图所示,则

14、A 的正特征值的个数为( ) (分数:2.00)A.0。B.1。 C.2。D.3。解析:解析:此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为二、填空题(总题数:8,分数:16.00)9.行列式 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:120)解析:解析:将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后,提出公因子 10,然后将第四行逐行换至第二行,即10.设 , 均为三维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:5)解析:解析:设 =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) T ,=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T ,则 而 T

15、 =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) 11.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 AA * =AE 可得 A=A(A * ) -1 ,对等式两端取行列式并结合已知条件,可得 A * =-8=A 3 ,因此A=-2,又 12.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据 BA T =O 可知,r(B)+r(A T )3,即 r(A)+r(B)3。又因为 B0,因此 r(B)1, 从而有 r(A)3,即A=0,因此 13.已知向量组 1 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确

16、答案:正确答案:-2)解析:解析:对向量组构成的矩阵作初等行交换14.已知线性方程组 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-1)解析:解析:对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得15.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2,-1,0,1) T +k 2 (3,2,1,0) T ,则方程组 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:k(13,-3,1,5) T ,k 为任意常数)解析:解析:方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中,且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解,将(1)的通解 16.若三维列向量 , 满足 T =2,其中 T 为 的

17、转置,则矩阵 T 的非零特征值为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为 T =2,所以( T )=( T )=2,故 T 的非零特征值为 2。三、解答题(总题数:11,分数:22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:18.计算行列式 D n = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用行列式的性质,得 同理可得 D n-1 =(n-1)D n-2 +(n-2)! ,所以 D n =n(n-1)D n-2 +(n-2)! 依次递推可得 )解析:19.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A * 为 A 的伴随

18、矩阵,证明:(A * ) T =(A T ) * 。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 可逆,所以A=A T ,且 AA -1 =E。 在 AA -1 =E 两边同时取转置可得(A -1 ) T A T =E,即(A T ) -1 =(A -1 ) T ,所以 (A * ) T =(AA -1 ) T =A(A -1 ) T =A T (A T ) -1 =(A T ) * 。)解析:20.已知 A 是三阶矩阵, i (i=1,2,3)是三维非零列向量,令 = 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1,2,3),证明:,A,A 2 线性无关。(分数:2.00)_正确

19、答案:(正确答案:由 A i =i i (i=1,2,3),且 j (i=1,2,3)非零可知, 1 , 2 , 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量,故 1 , 2 , 3 线性无关。又 A= 1 +2 2 +3 3 ,A 2 = 1 +4 2 +9 3 , 所以 (,A,A 2 )=( 1 , 2 , 3 ) )解析:21.已知 R 3 的两个基为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记矩阵 A=(a 1 ,a 2 ,a 3 ),B=(b 1 ,b 2 ,b 3 )。因 a 1 ,a 2 ,a 3 与 b 1 ,b 2 ,b 3 均为 R 3 中的基,故 A 与 B 均为三阶可

20、逆矩阵。由过渡矩阵定义(b 1 ,b 2 ,b 3 )=(a 1 ,a 2 ,a 3 )P 可得 P=A -1 B。 )解析:22.已知 A、B 为三阶非零矩阵,且 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由 BO,且 1 , 2 , 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知,向量组 1 , 2 , 3 , 必线性相关,于是 1 , 2 , 3 = =0, 解得 a=3b。 由 Ax= 3 有解可知,线性方程组 Ax= 3 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,对增广矩阵作初等行变换得 )解析:23.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 :ax+2by+3c=0, l 2

21、:bx+2cy+3a=0, l 3 :cx+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:必要性:设三条直线 l 1 ,l 2 ,l 3 交于一点,则其线性方程组 有唯一解,故系数矩阵 A= 因为 =6(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-ac-bc) =3(a+b+c)(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 , 但根据题设可知(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 0,故 a+b+c=0。 充分性:由 a+6+c=0,则从必要性的证明中可知, 。由于 故 r(A)=2。于是 r(A)

22、= )解析:24.设矩阵 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A 的特征值为 ,对应特征向量为 ,则有 A=。由于A=70,所以 0。 又因 A * A=AE,故有 A * = 。于是有 B(P -1 )=P -1 A * P(P -1 )= (P -1 ) (B+2E)P -1 = P -1 因此, +2 为 B+2E 的特征值,对应的特征向量为 P -1 。 由于 E-A= =(-1) 2 (-7), 故 A 的特征值为 1 = 2 =1, 3 =7。 当 1 = 2 =1 时,对应的线性无关的两个特征向量可取为 1 = 当 3 =7 时,对应的一个特征向量可取为 3 =

23、由 P -1 = 因此,B+2E 的三个特征值分别为 9,9,3。 对应于特征值 9 的全部特征向量为 k 1 P -1 1 +k 2 P -1 2 =k 1 ,其中 k 1 ,k 2 是不全为零的任意常数; 对应于特征值3 的全部特征向量为 k 3 P -1 3 =k 3 )解析:25.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =-1, 3 =0;对应 1 , 2 的特征向量依次为 p 1 =(1,2,2) T ,p 2 =(2,1,-2) T ,求 A。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 为实对称矩阵,故必存在正交矩阵 Q=(q 1 ,q 2 ,q 3 ),使 Q

24、T AQ=Q -1 AQ= =。 将对应于特征值 1 、 2 的特征向量 P 1 单位化,得 由正交矩阵的性质,q 3 可取为 的单位解向量,则由 )解析:26.设二次型 f= -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型及其标准形的矩阵分别是 由于是用正交变换化为标准形,故 A 与 B不仅合同而且相似。由 1+1+1=3+3+b 得 b=-3。 对 =3,则有 3E-A= =-2(a+2) 2 =0,因此a=-2(二重根)。 由(3E-A)x=0,得特征向量 1 =(1,-1,0) T , 2 =(1,0,-1

25、) T 。 由(-3E-A)x=0,得特征向量 3 =(1,1,1) T 。 因为 =3 是二重特征值,对 1 , 2 正交化有 1 = 1 =(1,-1,0) T , 单位化,有 )解析:27.设 D= 为正定矩阵,其中 A,B 分别为 m 阶,n 阶对称矩阵,C 为 mn 矩阵。 ()计算 P T DP,其中 P= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()因为 P T = ()由()中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同,又因 D是正定矩阵,所以矩阵 M 为正定矩阵,从而可知 M 是对称矩阵,那么 B-C T A -1 C 是对称矩阵。 对 m 维零向量 x=(0,0,0) T 和任意 n 维非零向量 y=(y 1 ,y 2 ,y n ) T ,都有 )解析:

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