1、考研数学一（线性代数）-试卷 8 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线
2、性无关。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关。D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关。4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量组，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A * 为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T ，则 A * x=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 。C. 2 ， 3 ， 4 。D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。5.已知 A 是四阶
3、矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.A-E。B.2A-E。C.A+2E。D.A-4E。6.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 P -1 AP=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.关于二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）A.是正定的。B.其矩阵可逆。C.其秩为 1。D.其秩为 2。8.设 A 为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x，y，z) 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，
4、则 A 的正特征值的个数为( ) （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T = （分数：2.00）填空项 1:_11.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_14.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，-1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0)
5、 T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.若三维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.计算行列式 D n = （分数：2.00）_19.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，证明：(A * ) T =(A T ) * 。（分数：2.00）_20.已知 A 是三阶矩阵， i (i=1，2，3)是三维非零列向量，令 = 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1
6、，2，3)，证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_21.已知 R 3 的两个基为 （分数：2.00）_22.已知 A、B 为三阶非零矩阵，且 A= （分数：2.00）_23.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。（分数：2.00）_24.设矩阵 A= （分数：2.00）_25.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =-1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为 p 1 =(1，2，2) T ，p 2 =
7、(2，1，-2) T ，求 A。（分数：2.00）_26.设二次型 f= -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 （分数：2.00）_27.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵。 ()计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 8 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B
8、 的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若矩阵 A 的行列式A0，则 A 可逆，且 A -1 = 。因为分块矩阵 的行列式 =(-1) 22 AB=23=6，即分块矩阵可逆，所以 3.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关。 D. 1 + 2 ， 2 + 3
9、 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关。解析：解析：因向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以由向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 到向量组 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 的过渡矩阵 A= 4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量组，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A * 为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T ，则 A * x=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 。C. 2 ， 3 ， 4 。 D. 1 +
10、 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。解析：解析：方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A 的秩 r(A)=4-1=3，则其伴随矩阵A * 的秩 r(A * )=1，于是方程组 A * x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A * ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=A * A=AE=O，所以向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是方程组 A * x=0 的解。将(1，0，2，0) T 代入方程组 Ax=0 可得 1 +2 3 =0，这说明 可由向量组 2 ， 3 ， 4 线性表出，而向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩等于 3，所以向量组
11、2 ， 3 ， 4 必线性无关。所以选 C。 事实上，由 1 +2 3 =0 可知向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，选项 A 不正确；显然，选项 B 中的向量都能被 1 ， 2 ， 3 线性表出，说明向量组 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 线性相关，选项 B 不正确；而选项 D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D 也不正确。5.已知 A 是四阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.A-E。B.2A-E。C.A+2E。 D.A-4E。解析：解析：因为 A * 的特征值是 1，-1，2
12、，4，所以A * =-8，又A * =A 4-1 ，因此A 3 =-8，于是A=-2。那么，矩阵 A 的特征值是：-2，2，-1， 。因此，A-E 的特征值是-3，1，-2， 6.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 P -1 AP=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 A 2 =3 2 ，有 A(- 2 )=3(- 2 )，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =-2
13、的特征向量。 当 P -1 AP=A 时，P 由 A 的特征向量构成，A 由 A 的特征值构成，且 P 与 A 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，-2，故对角矩阵 A 应当由 1，3，-2 构成，因此排除选项 B、C。由于 2 3 是属于 =-2 的特征向量，所以-2 在对角矩阵 A 中应当是第二列，所以应选 A。7.关于二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）A.是正定的。B.其矩阵可逆。C.其秩为 1。 D.其秩为 2。解析：解析：二次型的矩阵8.设 A 为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x，y，z) 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则
14、A 的正特征值的个数为( ) （分数：2.00）A.0。B.1。 C.2。D.3。解析：解析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：120）解析：解析：将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子 10，然后将第四行逐行换至第二行，即10.设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，则 而 T
15、 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) 11.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 AA * =AE 可得 A=A(A * ) -1 ，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得 A * =-8=A 3 ，因此A=-2，又 12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 BA T =O 可知，r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3。又因为 B0，因此 r(B)1， 从而有 r(A)3，即A=0，因此 13.已知向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
16、答案：正确答案：-2）解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行交换14.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得15.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，-1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(13，-3，1，5) T ，k 为任意常数）解析：解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解 16.若三维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的
17、转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 T =2，所以( T )=( T )=2，故 T 的非零特征值为 2。三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.计算行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用行列式的性质，得 同理可得 D n-1 =(n-1)D n-2 +(n-2)! ，所以 D n =n(n-1)D n-2 +(n-2)! 依次递推可得 )解析：19.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A * 为 A 的伴随
18、矩阵，证明：(A * ) T =(A T ) * 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 可逆，所以A=A T ，且 AA -1 =E。 在 AA -1 =E 两边同时取转置可得(A -1 ) T A T =E，即(A T ) -1 =(A -1 ) T ，所以 (A * ) T =(AA -1 ) T =A(A -1 ) T =A T (A T ) -1 =(A T ) * 。)解析：20.已知 A 是三阶矩阵， i (i=1，2，3)是三维非零列向量，令 = 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1，2，3)，证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_正确
19、答案：(正确答案：由 A i =i i (i=1，2，3)，且 j (i=1，2，3)非零可知， 1 ， 2 ， 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故 1 ， 2 ， 3 线性无关。又 A= 1 +2 2 +3 3 ，A 2 = 1 +4 2 +9 3 ， 所以 (，A，A 2 )=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：21.已知 R 3 的两个基为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，B=(b 1 ，b 2 ，b 3 )。因 a 1 ，a 2 ，a 3 与 b 1 ，b 2 ，b 3 均为 R 3 中的基，故 A 与 B 均为三阶可
20、逆矩阵。由过渡矩阵定义(b 1 ，b 2 ，b 3 )=(a 1 ，a 2 ，a 3 )P 可得 P=A -1 B。 )解析：22.已知 A、B 为三阶非零矩阵，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 BO，且 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 必线性相关，于是 1 ， 2 ， 3 = =0， 解得 a=3b。 由 Ax= 3 有解可知，线性方程组 Ax= 3 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得 )解析：23.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2
21、：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设三条直线 l 1 ，l 2 ，l 3 交于一点，则其线性方程组 有唯一解，故系数矩阵 A= 因为 =6(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-ac-bc) =3(a+b+c)(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ， 但根据题设可知(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 0，故 a+b+c=0。 充分性：由 a+6+c=0，则从必要性的证明中可知， 。由于 故 r(A)=2。于是 r(A)
22、= )解析：24.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于A=70，所以 0。 又因 A * A=AE，故有 A * = 。于是有 B(P -1 )=P -1 A * P(P -1 )= (P -1 ) (B+2E)P -1 = P -1 因此， +2 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P -1 。 由于 E-A= =(-1) 2 (-7)， 故 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7。 当 1 = 2 =1 时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 1 = 当 3 =7 时，对应的一个特征向量可取为 3 =
23、由 P -1 = 因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3。 对应于特征值 9 的全部特征向量为 k 1 P -1 1 +k 2 P -1 2 =k 1 ，其中 k 1 ，k 2 是不全为零的任意常数； 对应于特征值3 的全部特征向量为 k 3 P -1 3 =k 3 )解析：25.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =-1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为 p 1 =(1，2，2) T ，p 2 =(2，1，-2) T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=(q 1 ，q 2 ，q 3 )，使 Q
24、T AQ=Q -1 AQ= =。 将对应于特征值 1 、 2 的特征向量 P 1 单位化，得 由正交矩阵的性质，q 3 可取为 的单位解向量，则由 )解析：26.设二次型 f= -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是 由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似。由 1+1+1=3+3+b 得 b=-3。 对 =3，则有 3E-A= =-2(a+2) 2 =0，因此a=-2(二重根)。 由(3E-A)x=0，得特征向量 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(1，0，-1
25、) T 。 由(-3E-A)x=0，得特征向量 3 =(1，1，1) T 。 因为 =3 是二重特征值，对 1 ， 2 正交化有 1 = 1 =(1，-1，0) T ， 单位化，有 )解析：27.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵。 ()计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 P T = ()由()中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B-C T A -1 C 是对称矩阵。 对 m 维零向量 x=(0，0，0) T 和任意 n 维非零向量 y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T ，都有 )解析：
