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【考研类试卷】考研数学一(高等数学)模拟试卷219及答案解析.doc

1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 219 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 = 0 5x (分数:2.00)A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小3.设 a 为任意常数,则级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有关二、填空题(总题数:7,分数:14.00)4.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_5.设 f(x)二阶连续可导,且 =1,f (0)=e,则 (分数:2.00)填空项

2、1:_6.设 f(x)二阶连续可导,且 f(0)=1,f(2)=3,f (2)=5,则 0 1 xf (2x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_7.设 =f(x,y,z)=e x yz 2 ,其中 z=z(x,y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x ,D 为一x+,一y+,则 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 L:x 2 +y 2 =4,则 (分数:2.00)填空项 1:_10.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x 一 t)dt+2,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:1

3、8,分数:36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.求 (分数:2.00)_13.设 (分数:2.00)_14.求 (分数:2.00)_15.设当 x0 时,方程 kx (分数:2.00)_16.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b),且 f(x)在a,b上不恒为常数,证明:存在 ,(a,b),使得 f ()0,f ()0(分数:2.00)_17.计算下列不定积分: (分数:2.00)_18.求 (分数:2.00)_19.求 (分数:2.00)_20.设 f(2)= (分数:2.00)_设 L:y=e x (x0)(分数:4.00)

4、(1).求由 y=e x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)(分数:2.00)_(2).设 V(c)= (分数:2.00)_21.设曲线 y= (分数:2.00)_22.求经过平面 1 :x+y+1=0 与 2 :x+2y+2z=0 的交线,且与平面 3 :2xy 一 z=0 垂直的平面方程(分数:2.00)_23.设 =f(z),其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x,y 的函数,其中 f(z)与 (z)为可微函数。证明:(分数:2.00)_24.计算 (分数:2.00)_25.判断级数 (分数:2.00)_26.求幂级数 (分数

5、:2.00)_27.设 f(x)二阶可导,且 0 x f(t)dt 0 x tf(xt)dt=x,求 f(x)(分数:2.00)_考研数学一(高等数学)模拟试卷 219 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 = 0 5x (分数:2.00)A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小 解析:解析:由 =5 得 5x; 由3.设 a 为任意常数,则级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有

6、关解析:解析:二、填空题(总题数:7,分数:14.00)4.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:5.设 f(x)二阶连续可导,且 =1,f (0)=e,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 =1 得 f(0)=0,f (0)=1, 6.设 f(x)二阶连续可导,且 f(0)=1,f(2)=3,f (2)=5,则 0 1 xf (2x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:7.设 =f(x,y,z)=e x yz 2 ,其中 z=z(x,y)是由 x+y+z+xyz=

7、0 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析: x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得 1+ =0, 将 x=0,y=1,z=一 1 代入得8.设 f(x ,D 为一x+,一y+,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:f(y)f(x+y)= 则 f(y)f(x+y)dxdy= 0 1 ydy y 1y (x+y)dx= 0 1 9.设 L:x 2 +y 2 =4,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:8)解析:解析:由对称性得 I= (x 2 2y)ds= x 2 ds= y 2

8、 ds,则 I= (x 2 +y 2 )ds= 10.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x 一 t)dt+2,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f(x)=2e 3x)解析:解析:由 0 x f(xt)dt 三、解答题(总题数:18,分数:36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:12.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 由麦克劳林公式得 )解析:14.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.设当 x0 时,方程 k

9、x (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=kx+ 一 1,f (x)=k 一 (1)当 k0 时,由 f (x)0得 f(x)在(0,+)内单调减少,再由 f(0+0)=+, 0 得 k0 时,f(x)在(0,+)内有且仅有一个零点,即方程 kx+ =1 在(0,+)内有且仅有一个根; (2)当 k0 时,令 f (x)=0,解得 x= ,因为 f (x)= 为 f(x)的最小值点,令最小值 m= =0解得 )解析:16.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b),且 f(x)在a,b上不恒为常数,证明:存在 ,(a,b),使得 f ()0,f (

10、)0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在a,b上不恒为常数且 f(a)=f(b),所以存在 c(a,b),使得 f(c)f(a)=f(b),不妨设 f(c)f(a)=f(b), 由微分中值定理,存在 (a,c),(c,b),使得 )解析:17.计算下列不定积分: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.设 f(2)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 1 x 2 f (2x)dx= 0 1 (2x) 2 f (2x)d

11、(2x)= 0 2 x 2 f (x)dx = 0 2 x 2 df (x)= x 2 f (x) 0 2 2 0 2 xf (x)dx= 0 2 xdf(x) = xf(x) 0 2 0 2 f(x)dx= )解析:设 L:y=e x (x0)(分数:4.00)(1).求由 y=e x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:V(a)= 0 a e 2x dx= )解析:(2).设 V(c)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 V(C)= )解析:21.设曲线 y= (分数:2.00)_

12、正确答案:(正确答案:设切点为(a, ),则过原点的切线方程为 y= , 将(a, )代入切线方程,得 a=2, =1,故切线方程为 y= x 由曲线 y= 在区间1,2上的一段绕 x轴旋转一周所得旋转面的面积为 S 1 = 1 2 2yds=2 1 2 切线 y= 在区间0,2上一段绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面面积为 S 2 = 0 2 2yds= 0 2 x , 所求旋转曲面的表面积为 S=S 1 +S 2 = )解析:22.求经过平面 1 :x+y+1=0 与 2 :x+2y+2z=0 的交线,且与平面 3 :2xy 一 z=0 垂直的平面方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:

13、设经过两平面 1 , 2 交线的平面方程为 :x+y+1+(x+2y+2z)=0,即:(1+)x+(1+2)y+2z+1=0,因为平面 与平面 3 :2xyz=0 垂直,所以有1+,1+2,22,一 1,一 1=0,即 2+2 一 12 一 2=0,解得 = ,所求平面方程为 : )解析:23.设 =f(z),其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x,y 的函数,其中 f(z)与 (z)为可微函数。证明:(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: ,z=y+x(z)两边对 x 求偏导得 , )解析:24.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:P(x,y)= ,作上半椭圆 C 0 :

14、x 2 +4y 2 =1,方向取逆时针,L 与 C 0 围成的区域为 D 1 ,C 0 与 x 轴围成的区域为 D 2 ,由格林公式得 )解析:25.判断级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 ln(1+x)x(x0)得 ,则原级数为正项级数, 由 收敛, 由正项级数比较审敛法得 )解析:26.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:幂级数 nx n1 的收敛半径为 R=1,收敛区间为(一 1,1) 令 S(x)= lnx n1 , )解析:27.设 f(x)二阶可导,且 0 x f(t)dt 0 x tf(xt)dt=x,求 f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 x tf(xt)dt )解析:

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