1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 219 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 = 0 5x （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小3.设 a 为任意常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有关二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)二阶连续可导，且 =1，f (0)=e，则 （分数：2.00）填空项
2、1:_6.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f (2)=5，则 0 1 xf (2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 =f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x ，D 为一x+，一y+，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 L：x 2 +y 2 =4，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x 一 t)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：1
3、8，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.求 （分数：2.00）_13.设 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.设当 x0 时，方程 kx （分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数，证明：存在 ，(a，b)，使得 f ()0，f ()0（分数：2.00）_17.计算下列不定积分： （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.设 f(2)= （分数：2.00）_设 L：y=e x (x0)（分数：4.00）
4、(1).求由 y=e x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)（分数：2.00）_(2).设 V(c)= （分数：2.00）_21.设曲线 y= （分数：2.00）_22.求经过平面 1 ：x+y+1=0 与 2 ：x+2y+2z=0 的交线，且与平面 3 ：2xy 一 z=0 垂直的平面方程（分数：2.00）_23.设 =f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数。证明：（分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数
5、：2.00）_27.设 f(x)二阶可导，且 0 x f(t)dt 0 x tf(xt)dt=x，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 219 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 = 0 5x （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小 解析：解析：由 =5 得 5x； 由3.设 a 为任意常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有
6、关解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.设 f(x)二阶连续可导，且 =1，f (0)=e，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 =1 得 f(0)=0，f (0)=1， 6.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f (2)=5，则 0 1 xf (2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：7.设 =f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=
7、0 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得 1+ =0， 将 x=0，y=1，z=一 1 代入得8.设 f(x ，D 为一x+，一y+，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(y)f(x+y)= 则 f(y)f(x+y)dxdy= 0 1 ydy y 1y (x+y)dx= 0 1 9.设 L：x 2 +y 2 =4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：由对称性得 I= (x 2 2y)ds= x 2 ds= y 2
8、 ds，则 I= (x 2 +y 2 )ds= 10.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x 一 t)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=2e 3x）解析：解析：由 0 x f(xt)dt 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由麦克劳林公式得 )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设当 x0 时，方程 k
9、x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=kx+ 一 1，f (x)=k 一 (1)当 k0 时，由 f (x)0得 f(x)在(0，+)内单调减少，再由 f(0+0)=+， 0 得 k0 时，f(x)在(0，+)内有且仅有一个零点，即方程 kx+ =1 在(0，+)内有且仅有一个根； (2)当 k0 时，令 f (x)=0，解得 x= ，因为 f (x)= 为 f(x)的最小值点，令最小值 m= =0解得 )解析：16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数，证明：存在 ，(a，b)，使得 f ()0，f (
10、)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c，b)，使得 )解析：17.计算下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 x 2 f (2x)dx= 0 1 (2x) 2 f (2x)d
11、(2x)= 0 2 x 2 f (x)dx = 0 2 x 2 df (x)= x 2 f (x) 0 2 2 0 2 xf (x)dx= 0 2 xdf(x) = xf(x) 0 2 0 2 f(x)dx= )解析：设 L：y=e x (x0)（分数：4.00）(1).求由 y=e x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V(a)= 0 a e 2x dx= )解析：(2).设 V(c)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 V(C)= )解析：21.设曲线 y= （分数：2.00）_
12、正确答案：(正确答案：设切点为(a， )，则过原点的切线方程为 y= ， 将(a， )代入切线方程，得 a=2， =1，故切线方程为 y= x 由曲线 y= 在区间1，2上的一段绕 x轴旋转一周所得旋转面的面积为 S 1 = 1 2 2yds=2 1 2 切线 y= 在区间0，2上一段绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面面积为 S 2 = 0 2 2yds= 0 2 x ， 所求旋转曲面的表面积为 S=S 1 +S 2 = )解析：22.求经过平面 1 ：x+y+1=0 与 2 ：x+2y+2z=0 的交线，且与平面 3 ：2xy 一 z=0 垂直的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
13、设经过两平面 1 ， 2 交线的平面方程为 ：x+y+1+(x+2y+2z)=0，即：(1+)x+(1+2)y+2z+1=0，因为平面 与平面 3 ：2xyz=0 垂直，所以有1+，1+2，22，一 1，一 1=0，即 2+2 一 12 一 2=0，解得 = ，所求平面方程为 ： )解析：23.设 =f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数。证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，z=y+x(z)两边对 x 求偏导得 ， )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(x，y)= ，作上半椭圆 C 0 ：
14、x 2 +4y 2 =1，方向取逆时针，L 与 C 0 围成的区域为 D 1 ，C 0 与 x 轴围成的区域为 D 2 ，由格林公式得 )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(1+x)x(x0)得 ，则原级数为正项级数， 由 收敛， 由正项级数比较审敛法得 )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：幂级数 nx n1 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1) 令 S(x)= lnx n1 ， )解析：27.设 f(x)二阶可导，且 0 x f(t)dt 0 x tf(xt)dt=x，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x tf(xt)dt )解析：
